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Durée : 4 heures

?Corrigédu baccalauréat S Nouvelle-Calédonie?

15 novembre 2010

EXERCICE17 points

Commun à tous lescandidats

PARTIEA : restitution organiséede connaissances

PARTIEB :

1. a.fsomme de fonctions dérivables sur [1 ;+∞[ est dérivable et sur cet intervalle :

?(x)=2x-4xlnx-2x2×1 x=2x-4xlnx-2x=-4xlnx. Commex?1?lnx?0, il en résulte que sur [1 ;+∞[,??(x)?0 :?est donc décroissante sur [1 ;+∞[. b.?(e)=1+e2-2e2×lne=1-e2≈-6,4.

D"autre part?(1)=1+1-2×0=2.

La fonction est décroissante sur [1 ; e],?(e)<0 et?(1)>0, donc la fonction?continue car déri- vable s"annule une seule fois enα?[0 ; 1].

La calculatrice donne :

?(1,8)≈0,4;?(1,9)≈-0,02, donc :

1,8<α<1,9.

c.La variation de?montre que :

sur [1 ;α[,?(x)>0;

?(α)=0;

sur ]α;+∞[,?(x)<0.

2. a.Le dénominateur ne peut s"annuler, doncfquotient de fonctions dérivables sur [1 ;+∞[ est

dérivable et sur cet intervalle : f ?(x)=1

b.De la question 1. c. on déduit que :- sur [1 ; e[,f?(x)>0 : la fonction est croissante sur cet intervalle;

-f?(α)=0; - sur ]α;+∞[,f?(x)<0 : la fonction est décroissante sur cet intervalle. c.On ax21+x2<1x2et en multipliant par lnx?0, carx?1, on obtient : lnx

1+x2?lnxx2, soitf(x)?lnxx2.

De plus sur [1 ;+∞[, lnx?0 et 1+x2>1>0, doncf(x)?0. Finalement : pour toutxappartenant à l"intervalle [1 ;+∞[ on a :

0?f(x)?lnx

x2. d.On sait que limx→+∞lnx x2=0, donc d"après le théorème des gendarmes l"encadrement précédent montre que lim x→+∞f(x)=0.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3. a.Posons :?u(x)=lnx

v ?(x)=1 x2u ?(x)=1 x v(x)= -1 x.

Toutes ces fonctions étant continues car dérivables sur l"intervalle [1 ; e], on peut intégrer par

parties : e 1lnx x2dx=? -lnx×1x? e 1-? e 1 -1x2dx=? -lnxx-1x? e

1=-lnee-1e-?ln11-11?

=1-2e.

b.Puisque l"unité d"aire est égale à 1 cm2, on sait que l"intégrale précédente est égale àA.

On a vu que 0?f(x)?lnx

x2, donc d"après la restitution organisée de connaissances dela partie

A, on a

0?A?1-2

e(soit à peu près 0EXERCICE25 points Candidatsn"ayantpas choisi l"enseignementde spécialité

1. a.zA=-2i=2e-iπ

2. z B=-?

3+i donc|zB|2=3+1=4=2?|zB|=2.

On peut donc écrirezB=2?

2+i12?

=2?cos5π6+isin5π6?=2ei5π6.

On a de même

|zC|=2, d"oùzC=2? 3

2+i12?

=2?cosπ6+isinπ6?=2eiπ6. b.zA,zBetzCont pour module 2, soit OA = OB = OC= 2, ce qui signifie que A, B et Cappartiennent au cercleΓde centre O et de rayon 2. c. O AB CΓ O D 2. a. zB-zA zC-zA=-?

3+i+2i?3+i+2i=-?

3+3i?3+3i=?-?

3+3i???3-3i???3+3i???3-3i?=-3+6i?

3+9

3+9=6+6i12=1+i2=

z B-zA zC-zA=12+i? 3

2=cosπ3+isinπ3=eiπ3.

b.Le résultat précédent peut s"écrire :

Nouvelle-Calédonie215 novembre2010

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

zB-zA=eiπ3(zC-zA): cette égalité signifie que B est l"image de C dans la rotationde centre A et

d"angleπ 3. Le triangle ABC est isocèle en A d"angle au sommet

3; tous ses angles sont donc égaux et le tri-

angle (ABC) est équilatéral (indirect).

3. a.SiMd"affixeza pour imageM?d"affixez?parr, on a :z?-zA=eiπ

3(z-zA).

En particulier si O d"affixe 0 a pour image O

?d"affixezO?, alors : z

O?+2i=eiπ

3(0+2i) ou encorezO?=-2i+?

12+i? 3 2?

×(2i)=-2i+i-?3=-?3-i.

b.On azO?+zC=0, ce qui signifie que O est le milieu de [CO?] qui est un diamètre deΓ. c.L"image deΓa pour centre l"image de O, soit O?et pour rayon 2. On trace donc le cercleΓ?de centre O ?et de rayon O?O

d.Le point A appartient àΓ; c"est le centre de la rotationr; il est donc invariant et appartient donc

De même le point C appartient àΓ; son image parrest B qui appartient donc àΓ?. Les cerclesΓetΓ?ont en commun les points A et B.

4. a.|z| =??z+?

3+i??peut s"écrire|z| =??z-?-?3-i???ce qui signifie géométriquement que OM=

O ?M??Mest équidistant de O et de O?, c"est-à-dire queMappartient à la médiatrice du seg- ment [OO ?] qui est donc l"ensemble (E). b.Par définition de la rotationr, on a AO = AO?, donc A appartient à (E). On vient de voir que B appartient au cercleΓ?de rayon 2, donc O?B = 2 = OB. B est donc lui aussi

équidistant de O et de O

?: il appartient à (E).

EXERCICE25 points

Candidatsayantchoisi l"enseignementde spécialité

1. a.zA=?

6+i?2, donc

zA|2=6+2=8=?2?

2?2?|zA|=2?2.

On peut en factorisant ce module écrire :

z A=2? 2? ?3

2+i12?

=2?2?cosπ6+isinπ6?=2?2eiπ6.

De mêmezB=-?

2+i?6, donc|zB|2=2+6=8=?2?2?2?|zB|=2?2.

On peut en factorisant ce module écrire :

z B=2? 2? 12+i? 3 2? =2?2?cos2π3+isin2π3?=2?2ei2π3. b.On azB=2?

2ei2π3=2?2ei?π6+3π6?

=2?2ei?π6+π2? =eiπ2×2?2eiπ6.

Finalement :zB=eiπ

2zAce qui montre que le point B est l"image du point A dans la rotation de

centre O et d"angleπ

2, (donc dans le quart-de-tour direct de centre O).

On a donc OA = OB : le triangle est isocèle en O; --→OA ;--→OB?

2: le triangle est rectangle en O.

Remarque :on pouvait également montrer que OA = OB=2?

2, donc le triangle est isocèle et

montrer ensuite que?--→OA ;--→OB? =2π

3-π6=π2: le triangle OAB est donc rectangle direct en O.

c.Comme?1+i?

3?0=0, le point O est invariant parf. A a pour image A?, B a pour image B?.

L"image par une similitude indirecte du triangle rectangledirect OAB est le triangle indirect, rec- tangle en O, OA ?B?.

Nouvelle-Calédonie315 novembre2010

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

6+2i?2=2zA.

Ce dernier résultat montre que les points O, A et A ?sont alignés et que A est le milieu de [OA?] : A?

est donc le symétrique de O autour de A. Il suffit ensuite de compléter le triangle rectangle en O

indirect, OA ?B?.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Durée : 4 heures

15 novembre 2010

EXERCICE17 points

Commun à tous lescandidats

PARTIEB :

1. a.fsomme de fonctions dérivables sur [1 ;+∞[ est dérivable et sur cet intervalle :

D"autre part?(1)=1+1-2×0=2.

La calculatrice donne :

1,8<α<1,9.

 sur [1 ;α[,?(x)>0;

?(α)=0;

 sur ]α;+∞[,?(x)<0.

2. a.Le dénominateur ne peut s"annuler, doncfquotient de fonctions dérivables sur [1 ;+∞[ est

1+x2?lnxx2, soitf(x)?lnxx2.

0?f(x)?lnx

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3. a.Posons :?u(x)=lnx

1=-lnee-1e-?ln11-11?

On a vu que 0?f(x)?lnx

A, on a

0?A?1-2

1. a.zA=-2i=2e-iπ

3+i donc|zB|2=3+1=4=2?|zB|=2.

On peut donc écrirezB=2?

2+i12?

On a de même

2+i12?

3+i+2i?3+i+2i=-?

3+3i?3+3i=?-?

3+3i???3-3i???3+3i???3-3i?=-3+6i?

3+9=6+6i12=1+i2=

2=cosπ3+isinπ3=eiπ3.

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Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3; tous ses angles sont donc égaux et le tri-

3. a.SiMd"affixeza pour imageM?d"affixez?parr, on a :z?-zA=eiπ

3(z-zA).

En particulier si O d"affixe 0 a pour image O

O?+2i=eiπ

3(0+2i) ou encorezO?=-2i+?

×(2i)=-2i+i-?3=-?3-i.

4. a.|z| =??z+?

3+i??peut s"écrire|z| =??z-?-?3-i???ce qui signifie géométriquement que OM=

équidistant de O et de O

EXERCICE25 points

1. a.zA=?

6+i?2, donc

2?2?|zA|=2?2.

On peut en factorisant ce module écrire :

2+i12?

De mêmezB=-?

2+i?6, donc|zB|2=2+6=8=?2?2?2?|zB|=2?2.

On peut en factorisant ce module écrire :

2ei2π3=2?2ei?π6+3π6?

Finalement :zB=eiπ

2zAce qui montre que le point B est l"image du point A dans la rotation de

2, (donc dans le quart-de-tour direct de centre O).

2: le triangle est rectangle en O.

2, donc le triangle est isocèle et

3-π6=π2: le triangle OAB est donc rectangle direct en O.

3?0=0, le point O est invariant parf. A a pour image A?, B a pour image B?.

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Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

6+2i?2=2zA.

sur [1 ;α[,?(x)>0;

?(α)=0;

sur ]α;+∞[,?(x)<0.