[PDF] I - PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS

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Sciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert

Lycée Jacques Amyot

I - PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS

A. Position du problème

1. Présentation

On a vu que le rôle d'un système asservi est de faire suivre à la sortie s(t) une loi déterminée en général par

l'entrée e(t). Un système est jugé par sa stabilité, par la précision avec laquelle il suit la loi d'entrée.

Les sources d'erreur sont à la fois les variations de l'entrée mais aussi les effets des perturbations

On distingue deux type d'erreurs

L'erreur statique : c'est l'erreur en régime permanent entre la sortie et la loi d'entrée. Pour déterminer cette

erreur on soumet le système à des entrées canoniques:

échelon, on parle alors d'erreur indicielle;

rampe , erreur de traînage ou erreur de poursuite; accélération, erreur en accélération.

L'erreur dynamique : c'est l'écart instantané entre la sortie et l'entrée lors de la phase transitoire suivant

l'application de l'entrée ou après une perturbation (hors du programme).

2. Données

Dans la suite, on supposera que la fonction de transfert en boucle ouverte du système étudié peut êt re mise sous la forme :

FTBOOpFpRp (retour non unitaire)

FTBOOpFp (retour unitaire)

La FTBO peut s'écrire dans tous les cas sous la forme Op KNp pDp avec N classe Kgain statique D0101 0

Cas d'un système à retour non unitaire :

F(p) R(p) E(p) S(p) (p)

Cas d'un système à retour unitaire : F(p)

E(p) S(p) (p)

B. Erreur statique

1. Ecart en régime permanent - erreur statique

a) Définition, L'écart en régime permanent est la limite quand t tend vers l'infini de e(t)-s(t).

Un système sera précis si cet écart tend vers 0, c'est à dire que la sortie tend vers la valeur spécifiée de l'entrée.

Remarque: dans le cas d'un retour non unitaire, l'écart se mesure entre e(t) et m(t), avec m(t) mesure de s(t).

Par la suite nous considérons le cas des systèmes à retour unitaire. pEpSpEp Op Op Ep 1 en remplaçant p KNp pDp KNp pD pEp 1 1 donc : p pDp pDpKNp Ep

Nous supposerons pour la suite que le système est stable, donc nous pouvons utilisez le théorème de la valeur

finale:

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limlim tp stpSp 0

Ici on peut donc écrire pour l'écart :

sp pp lim 0 spO p pDp pDpKNp Ep lim

On le voit l'erreur statique dépend de la nature de l'entrée mais aussi de la fonction de transfert en boucle

ouverte, Nous allons dans la suite étudier en fonction des entrées types (échelon, rampe, accélération) et de la

nature du système l'erreur statique

2. Réponse à un échelon : Erreur indicielle

L'erreur indicielle est l'erreur entre une entrée en échelon et la sortie du système.

L'entrée est donc de la forme :etEut

0 dans le domaine symbolique : Ep E p 0 sppO ppp pDp pDpKNp E p limlim 0 0 spOp pDp pDpKNp E Ep pK limlim 00 0 on voit que la précision est fonction de la classe du système a) système de classe0 sp Ep pK E K lim 0 0 0 0 0 1 b) système de classe0 spp Ep pK Ep K limlim 0 0 0 0 0

3. Réponse à une rampe : Erreur de poursuite, erreur de traînage

L'écart de poursuite est l'erreur entre la sortie et une entrée de type rampe etatutd'où Ep a p 2 sppO ppp pDp pDp KNp a p limlim 02 spO apDp pDpKNp lim 1 enfin spO ap pK lim 1 a) système de classe0

La FTBO ne possède pas d'intégration :

spO ap K lim 1 1 Le système n'est pas précis, il n'est pas capable de rejoindre l'entrée souhaitée

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b) système de classe1

La FTBO possède une intégration :

spO a pK a K lim c) système de classe1

La FTBO possède plus d'une intégration :

spO ap pK lim 1 0

4. Réponse à une entrée parabolique - Erreur en accélération

Echelon d'accélération d'où etatut

2 Ep a p 2 3

Par analogie avec l'étude précédente , en fonction de la classe du système, on peut déduire la précision du

système. a) système de classe2 s b) système de classe2 s a K 2 c) système de classe2 s 0

5. Tableau récapitulatif

entrée Classe du système classe 0, 0 pas d'intégration

Classe 1

1 intégration

Classe 2

2 intégrations

classe >2

Entrée en échelon

s E K 0 1 s 0 s 0 s 0

Entrée rampe

s a K s 0 s s 0

Entrée parabolique

s s s 0 s a K 2 a) Remarque importante:

Il ne faut pas déduire rapidement du tableau qu'il suffit de rajouter une intégration pour que le système soit

précis, en effet chaque intégration ajoute aussi un déphasage de -90°, le système risque donc de devenir instable.

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C. Effet d'une perturbation sur la précision

1. Présentation du problème

a) Schéma bloc Fp KNp pDp 1 11 1 1 et Fp KNp pDp 2 22
2 2 N classe

Kgainstatique

D i i i i i 0101
0 F1(p) E(p) S(p) (p) F2(p) P(t) b) Ecart pEpSp pEpFpFppPp pFpFpEpFpPp 21
212
1 p FpFp Ep Fp FpFp Pp 1 11 21
2 21

2. Erreur statique

Si on se place dans le cas ou e(t)=0, et p(t)=p

0 p p Fp FpFp Pp 2 21
1 d'ou l'écart statique dépendant de la perturbation ptpO tp limlimp ppO p Fp FpFp P p lim 2 21
0 1 ppO KNp pDp KNp pDp KNp pDp P lim 22
2 22
2 11 1 0 2 21
1 ppO pDpKNp pDppDpKNpKNp P lim 1 21
122

212211

0 on a donc deux cas: système de classe 0 vis à vis de la perturbation 1 0 Système de classe >0 vis à vis de la perturbation 1 0 ppO K pKK P lim 2 21
0 2

L'erreur est non nulle.

p 0

L'erreur statique est nulle.

Pour que l'erreur permanente ne dépende pas de la perturbation, il faut au moins une intégration placée en

amont de la perturbation.

3. Erreur de traînage

Nous pouvons réaliser cette étude pour d'autres entrées types de perturbation, nous obtenons des résultats

analogues aux entrées de consigne.

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Index

Erreur de poursuite, 2

erreur de traînage, 2

Erreur indicielle, 2

Erreur statique, 1

Précision des systèmes asservis, 1

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