Chapitre 5 – Fonctions linéaires et affines
* Si une fonction est linéaire alors sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. * Réciproquement
Equation linéaire à une inconnue
Fonction affine ! Une fonction affine (d'une variable réelle) c'est une fonction de la forme x ?
Les fonctions
La droite correspondant à une fonction linéaire passe forcément par l'origine Ex : ici l'équation de la droite est y = 2 .On remarque que quand = 1
Résolution des équations linéaires à deux variables
Equations `a deux inconnues ! Une équation `a deux inconnues réelles c'est deux fonctions disons p et s
Fonctions Linéaires et affines I. Fonction linéaire II. Représentation
On note f : x ? ax la fonction linéaire f de coefficient a. Les coordonnées (x ; y)d'un point de la droite (d1) vérifient l'équation y = 2x.
Fonctions linéaires et affines
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point (0;b) . Son équation est y=ax+b . a est toujours appelé coefficient
FONCTIONS AFFINES (Partie 2)
I. Fonction affine et droite associée. Vidéo https://youtu.be/KR8AgLUngeg. Exemple : Soit (d) la représentation graphique de la fonction affine f(x) = x – 1.
Equation dune droite
représentation graphique de la fonction affine f qui à x associe ax+b on dit que c'est la droite d'équation y = ax + b. a est le coefficient directeur et b
FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES
1 mars 2019 Dans un repère la représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Définition. On dit que y ax b. = + est une équation de cette ...
Calcul numérique
Soit a un nombre fixé on définit une fonction linéaire f lorsque
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On appelle fonction linéaire toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x où a est une constante Ce nombre a est alors appelé
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La représentation graphique d'une fonction constante linéaire ou affine est une droite • Pour une fonction affine : l'équation associée à la droite est : y =
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Soit la fonction affine f telle que f(x) = 5x + 2 a) Quelle est l'image de 3 par f ? b) Quelle est l'image de -6 par f ?
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Une fonction linéaire (ou de proportionnalité directe) est définie de la manière suivante où m est un nombre réel quelconque Les fonctions linéaires se
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Fonction linéaire ! Une fonction linéaire (d'une variable réelle) c'est une fonction de la forme x ?? ax o`u a est un nombre réel Question ? Exemple
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Comment déterminer graphiquement le coefficient d'une fonction linéaire représentée par une droite (passant par l'origine) ? ? Considérons la droite suivante
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La fonction linéaire est une fonction du type f : x ? ax Elle rend compte d'une situation de proportionnalité Elle peut notamment modéliser la variation
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Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a ×x a s'appelle le coefficient de la fonction linéaire On note le plus souvent une fonction
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1 mar 2019 · On appelle fonction linéaire de coefficient a la fonction définie de la manière suivante : :f x Appelons ( )d la droite d'équation y ax
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3) Équation de la droite représentant la fonction affine : L'équation d'une telle droite est y = ax + b a est le coefficient directeur de la droite et b est
Quelle est l'équation d'une fonction linéaire ?
On écrit f : x ? ax. Cela signifie : f est la fonction linéaire qui, à tout nombre x, associe le nombre ax, appelé image de x par la fonction f. On écrit aussi : soit f définie par f(x) = ax.Comment trouver l équation d'une droite linéaire ?
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).Quelle est la différence entre une fonction affine est une fonction linéaire ?
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; b). Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite.- On appelle fonction linéaire toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x où a est une constante. * On considère deux grandeurs x et y telles que : y soit proportionnelle à x. En conséquence, il existe un nombre a tel que : y = a x.
![Fonctions Linéaires et affines I. Fonction linéaire II. Représentation Fonctions Linéaires et affines I. Fonction linéaire II. Représentation](https://pdfprof.com/Listes/17/32878-17fonctions_cours3.pdf.pdf.jpg)
Fonctions Linéaires et affines
I. Fonction linéaire
Définition
Soit a un nombre donné.
On définit une fonction linéaire f lorsque, à tout nombre x, on associe le nombre ax. Le nombre a est le coefficient de linéarité de la fonction. Le nombre ax est l'image du nombre x par la fonction linéaire.Notations :
On note f : x → ax la fonction linéaire f de coefficient a. On note f(x) l'image du nombre x par la fonction linéaire f.On écrit f(x) = ax.
x f(x) = axExemple :
La fonction f qui, a un nombre x, fait correspondre son double est une fonction linéaire ; son coefficient est 2.
On la note f : x → 2x ou f(x) = 2x.
x - 3 f(x) = 2x - 6L'image de - 3 par f est notée f (- 3).
f (- 3) = 2 × (- 3) = - 6 Donc l'image de - 3 par la fonction linéaire f est - 6.Propriété :
Toute situation de proportionnalité peut se traduire mathématiquement par une fonction linéaire.
Exemple :
Le périmètre d'un carré est proportionnel au côté du carré. La fonction linéaire associée, notée p est définie par p : x → 4x ou p(x) = 4x. x 5 p(x) = 4x 20On calcule, par exemple, p(5) = 4 × 5 = 20.
Cela signifie que l'image du nombre 5 par la fonction p est le nombre 20, soit que le périmètre d'un carré de côté 5 est 20.
II. Représentation graphique d'une fonction linéairePropriété :
La représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a est une droite passant par l'origine du repère.
Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite.Remarque :
La droite passe par le point A(1 ;a).
Le nombre a indique l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses.Exemple 1 :
Je représente graphiquement la fonction linéaire f définie par f : x → 2x. La représentation graphique de f est la droite (d1) qui passe par l'origine du repère et le point A1(1 ; 2).
(Elle passe aussi par le point de coordonnées (- 3 ; - 6)) On lit que l'image de 4 est 8 et que le nombre qui a pour image - 3 est - 1,5. Les coordonnées (x ; y)d'un point de la droite (d1) vérifient l'équation y = 2x.
On dit que la droite (d
1) a pour équation y = 2x.
Exemple 2 :
Je représente graphiquement la fonction linéaire g définie par g : x → - 3 4 x. La représentation graphique de g est la droite (d2) qui passe par l'origine du repère et le point A1(1 ; - 3
4 (Elle passe aussi par le point de coordonnées (4 ; - 3))× a
× 2
× 4
III. Fonction affine
1°/ Généralités
Définition :
Etant donnés deux nombres a et b, on définit une fonction affine f lorsque, à tout nombre x, on associe le nombre ax + b.
Les nombres a et b sont les coefficients de f.
Le nombre ax + b est l'image de x par f.
Notation :
La fonction affine de coefficients a et b est notée f : x ???→ ax + b ou f(x) = ax + b. f(x) est l'image de x par la fonction f.Exemple :
La fonction affine de coefficients 2 et - 3 est notée f : x ???→ 2x - 3 ou f(x) = 2x - 3. L'image de 5 est notée f(5) et f(5) = 2 × 5 - 3 = 10 - 3 = 7 L'image de - 4 est notée f(- 4) et f(- 4) = 2 × (- 4) - 3= - 8 - 3 = - 11Cas particuliers :
• Pour b = 0 : f est déterminée par f : x ???→ ax . C'est donc une fonction linéaire. Une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière. • Pour a = 0 :f est déterminée par f : x ???→ b . Quelle que soit la valeur de x son image est égale au nombre b.
Cette fonction affine est dite fonction constante.Propriété :
Pour une fonction affine f, les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x.Si la fonction est définie par x ???→ ax + b, le coefficient de proportionnalité des accroissements est le nombre a.
Démonstration :
x1 et x2 sont deux nombres distincts quelconques.
f(x1) - f(x2)
x1 - x2 = ax1 + b - (ax2 + b)
x1 - x2 = a(x1 - x2)
x1 - x2 = a
Exemple :
On considère la fonction f : x
???→ 2x - 3. On sait que f(- 4) = - 11 et f(5) = 7. On calcule : f(- 4) - f(5) - 4 -5 = - 11 - 7 - 4 - 5 = - 18 - 9 = 2 on a bien trouvé 2, coefficient a pour le fonction f(x) = 2x - 32°/ Application
Déterminer une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images.Exercice
: Trouver la fonction affine f telle que - 1 a pour image 4 et 5 a pour image 1 Traduction des données : Comme f est une fonction affine, alors f est de la forme xα ax + b où a et b sont les inconnues.
Comme f(- 1) = 4 alors a × (- 1) + b = 4 ou - a + b = 4 Comme f(5) = 1 alors a × 5 + b = 1 ou 5a + b = 1 On obtient le système de deux équations ??? - a + b = 45a + b = 1 où a et b sont les inconnues.
Je résous par la méthode d'élimination par combinaison. (- a + b) - (5a + b) = 4 - 1 - a + b - 5a - b = 3 - 6a = 3Méthode 1 :
a = - 1 2Je remplace a par - 1
2 dans la 1ère équation : 1 2 + b = 4 d'où b = 7 2Je remplace a par - 1
2 et b par 7 2 dans la 2ème équation : 5 × (())- 1 2 + 7 2 = 2 2 = 1 !Le couple (-
1 2 ; 7 2 ) est la solution du système. Conclusion : La fonction f est déterminée par xα - 1
2 x + 7
2 ou f(x) = - 1 2 x + 7 2 Traduction des données : Comme f est une fonction affine, alors f est de la forme x ???→ ax + b où a et b sont les inconnues.Les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x et le coefficient de proportionnalité est a.
Calcul du coefficient de proportionnalité a.On sait que a =
f(x1) - f(x2)
x1 - x2
Si x1= -1 et x2 = 5 alors f(x1) = f(-1) = 4 et f(x2) = f(5) = 1. On obtient :
a = f(-1) - f(5) - 1 - 5 = 4 - 1 - 1 - 5 = 3 - 6 = - 12 (ou - 0,5)
Calcul du coefficient b : Comme f(5) = 1 alors : 5a + b = 1 donc 5 × ( - 1 2 ) + b = 1 donc b = 1 + 5 2 = 7 2 Conclusion : On retrouve la fonction f déterminée par xα - 1
2 x + 7
2 ou f(x) = - 1 2 x + 7 2 IV. Représentation graphique d'une fonction affine1°/ Généralités
Propriété :
Dans un repère (O;I,J), la représentation graphique de la fonction affine f : x ???→ ax + b est une droite (d).
Une équation de (d) est y = ax + b.
(d) est parallèle à la représentation graphique de la fonction linéaire g : x ???→ ax.
Vocabulaire
Soit (d) la représentation graphique de la fonction affine f : x ???→ ax + b • (d) passe par le point B(0 ; b), et b est appelé ordonnée à l'origine de f.• Le coefficient de linéarité de la fonction affine f est a et s'appelle le coefficient directeur de la droite (d).
• La fonction linéaire g : x ???→ ax est la fonction linéaire associée à f.Remarque :
Lorsque a = 0, la fonction affine f est définie par f(x) = b. ; c'est une fonction constante dont la représentation graphique est une droite
parallèle à l'axe des abscisses et qui passe par le point (0 ; b).Exemple
Soit f : x
???→ 2 x + 3 La représentation graphique de f est la droite (d) d'équation : y = 2x + 3. La droite (d) passe par le point B(0 ;3) ; l'ordonnée à l'origine est 3.Le coefficient de linéarité est 2.
La fonction linéaire g associée à f est g : x ???→ 2x . La droite (d') qui représente graphiquement g est parallèle à la droite (d).Méthode 2 :
O I J
2°/ Résolution graphique d'un système de deux équations à deux inconnues.
Propriété
La solution du système : ??? y = ax + b
y = a'x + b' , lorsqu'elle existe, est le couple des coordonnées du point d'intersection des droites
d'équations : y = ax + b et y = a'x + b'.Exemple :
Soit (d) et (d') les droites d'équations respectives y = - x + 5 et y = 2x - 1.Tracer (d) et (d' ) dans le même repère.
(d) passe par (0 ; 5) et (5 ; 0) (d') passe par (0 ; -1) et (1 ; 1) Les droites (d) et (d') se coupent au point de coordonnées (2 ; 3)La solution du système
??? y = - x + 5y = 2x - 1 est le couple (2 ; 3)Remarque :
Cette méthode ne sera pas utilisée pour résoudre un système d'équations ( sauf méthode imposée) car elle a des limites : Le graphique doit être très précis et lorsque les coordonnées ne sont pas des entiers leur valeur exacte est difficilement lisible. 1 1 O (d 5 5 -1 (d') 2 3quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] coefficient directeur 3eme
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