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Calculer les déterminants des matrices suivantes : Pour le matrice 3×3 il existe une formule qui permet de calculer directement le déterminant
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Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale
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Comment calculer le déterminant d'une matrice 4 ?
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.Comment calculer le rang d'une matrice 4x4 ?
Le rang d'une matrice est égal au nombre de ses lignes sauf si l'une d'entre elles est combinaison linéaire des autres.Quel est le meilleur méthode pour calculer le déterminant d'une matrice ?
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c. Rien de bien compliqué, il faut juste connaître la formule Autre cas particulier très simple : les matrices diagonales et triangulaires.- Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée : si M ? Mn(R), alors det(M) = det(tM).
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Exo7 Calculs de déterminants
Fiche corrigée par Arnaud Bodin
Exercice 1Calculer les déterminants des matrices suivantes : 7 11 8 4 0 @1 0 63 4 15
5 6 211
A0 @1 0 2 3 4 55 6 71
A0 @1 01 2 3 54 1 31
A 0 BB@0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 21
C CA0 BB@0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 01
C CA0 BB@1 2 1 2
1 3 1 3
2 1 0 6
1 1 1 71
C CA 1. Calculer l"aire du parallélogramme construit sur les v ecteurs~u=2 3 et~v=1 4 2. Calculer le v olumedu parallélépipède construit sur les v ecteurs ~u=0 @1 2 01 A ,~v=0 @0 1 31A et~w=0 @1 1 11 A 3.
Montrer que le v olumed"un parallélépipède dont les sommets sont des points de R3à coefficients entiers
est un nombre entier. Calculer les déterminants des matrices suivantes : 0 @a b c c a b b c a1 A0 BB@1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 1
2 3 1 11
C CA0 BB@1 1 1 1
11 1 1
1 11 1
1 1 111
C CA0 BB@10 05 15
2 7 3 0
8 14 0 2
021 111
C CA 0 BB@a a b0
a a0b c0a a0c a a1
C CA0 BBBB@1 0 3 0 0
0 1 0 3 0
a0a0 3 b a0a00b0 0a1
C CCCA0 BBBB@1 0 0 1 0
04 3 0 0
3 0 032
0 1 7 0 0
4 0 0 7 11
C CCCA 1Calculer les déterminants suivant :
a 1a2an a1a1......
.........a2 a 1a1a1 1 11 1(0)
(0)1 1 a+b aa a a+b...... .........a aa a+bSoit(a0;:::;an1)2Cn,x2C. Calculer
D n= x0a01.........
...x an201x+an1
Soitaun réel. On noteDnle déterminant suivant : D n= a00n10a.........
.........0 2 00a1 n12 1a 1.Calculer Dnen fonction deDn1.
2.Démontrer que : 8n>2Dn=anan2n1å
i=1i2.1t1t21:::tn111t2t22:::tn12::: ::: ::: ::: :::
1tnt2n:::tn1n
16i Indication pourl"exer cice3 N1.Règle de Sarrus. 2. Dév elopperpar rapport à la deuxième ligne. 3. F aireapparaître des 0 sur la première colonne. 4. Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coef ficients.
5. F aireapparaître des 0...
6. F aireapparaître des 0...
7. Permuter les lignes et les colonnes pour f aireapparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pourl"exer cice5 NDévelopper par rapport à la dernière colonne.
Indication pour
l"exer cice 6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en
développant par rapport à sa première ligne.Indication pourl"exer cice7 NFaire les opérations suivantes sur les colonnesCn CntnCn1, puisCn1 Cn1tnCn2,...,C2 C2tnC1.
Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l"on obtient le déterminant recherché mais au rang
n1.3 Correction del"exer cice1 N1.Le déterminant de la matrice a b c d esta b c d =adbc. Donc7 11 8 4 =7411(8) =116. 2. Nous allons v oirdif férentesméthodes pour calculer les déterminants. Première méthode.Règle de Sarrus.Pour le matrice 33 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant. a 11a12a13
a 21a22a23
a 31a32a33
Donc 1 0 6 3 4 15
5 6 21
=1421+0155+36654661513021=18 Attention ! La règle de Sarrus ne s"applique qu"aux matrices 33. 3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.
Si dans une matrice on change un ligneLienLilLjalors le déterminant reste le même. Même chose
avec les colonnes. L 11 0 2
L 23 4 5
L 35 6 7=1 0 2
L 2 L23L10 41L
3 L35L10 63=1 0 2
0 41L 3 L332
L20 032=14(32
) =6 sur la diagonale. 4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer
par rapport à la deuxième colonne. 1 01 2 3 5 4 1 3 = (0)2 5 4 3 +(+3)11 4 3 +(1)11 2 5 =0+3717=14 Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0. 5. On f aitapparaître des 0 sur la première colonne puis on dév eloppepar rapport à cette colonne.
D=L 10 1 2 3
L 21 2 3 0
L 32 3 0 1
L 43 0 1 2=0 1 2 3
1 2 3 0
L 3 L32L2016 1L
4 L43L2068 2=1 2 3
16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
D=L 11 2 3
L 216 1L
368 2=1 2 3
L 2 L2+L104 4L
3 L3+6L10 4 20=14 4
4 20 =96 DoncD=96.
4 6.La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en f aireapparaît reda vantagesur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne. D 0=L 10 1 1 0
L 21 0 0 1
L 31 1 0 1
L 41 1 1 0=0 1 1 0
1 0 0 1
L 3 L3L20 1 0 0
1 1 1 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : D 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1=11 1
1 0 =1 7. T oujoursla même méthode, on f aitapparaître des 0 sur la première colonne, puis on dév eloppepar
rapport à cette colonne. D 00=L 11 2 1 2
L 21 3 1 3
L 32 1 0 6
L 41 1 1 7=1 2 1 2
L 2 L2L10 1 0 1
L 3 L32L1032 2L
4 L4L101 0 5=1 0 1
32 21 0 5On développe par rapport à la deuxième colonne :
D 00=21 1
1 5 =12Correction del"exer cice2 N1.L "aireAdu parallélogramme construit sur les vecteurs~u=a c et~v=b d est la valeur absolue du déterminant a b c d doncA=jadbcj. Ici on trouveA=abs2 1 3 4 = +5 où abs désigne la fonction valeur absolue. 2. Le v olumedu parallélépipède construit sur trois v ecteursde R3est la valeur absolue du déterminant de
la matrice formée des trois vecteurs. Ici V=abs 1 0 1 2 1 1 0 3 1 =abs +11 1 3 1 +12 1 0 3 =4 où l"on a développé par rapport à la première ligne. 3. Si un parallélépipède est construit sur trois v ecteursde R3dont les coefficients sont des entiers alors le
volume correspond au déterminant d"une matrice à coefficients entiers. C"est donc un entier.Correction del"exer cice3 N1.P arla règle de Sarrus :
D 1= a b c c a b b c a =a3+b3+c33abc: 5 2.On dév eloppepar rapport à la seconde ligne qui ne contient qu"un coef ficientnon nul et on calcule le
déterminant 33 par la règle de Sarrus : D 2= 1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 1
2 3 1 1
= +1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 =1: 3. D 3=L 11 1 1 1L
211 1 1L
31 11 1L
41 1 11=1 1 1 1L
2 L2+L10 0 2 2
L 3 L3+L10 2 0 2
L 4 L4+L10 2 2 0
On développe par rapport à la première colonne : D 3= (1)0 2 2
2 0 2 2 2 0=16
4. Le déterminant est liné airepar rapport à chacune de ses lignes et aussi chacune de ses colonnes. P ar
exemple les coefficients de la première ligne sont tous des multiples de 5 donc D 4= 10 05 15
2 7 3 0
8 14 0 2
021 11
=5 2 01 3
2 7 3 0
8 14 0 2
021 11
On fait la même chose avec la troisième ligne : D 4=52 2 01 3
2 7 3 0
4 7 0 1
021 11
Et enfin les coefficients la première colonne sont des multiples de 2 et ceux de la troisième colonne sont
des multiples de 7 donc : D 4=522 1 01 3
1 7 3 0
2 7 0 1
021 11
=5227 1 01 3
1 1 3 0
2 1 0 1
03 11 Les coefficients sont plus raisonnables ! On faitL2 L2+L1etL3 L32L1pour obtenir : D 4=140 1 01 3
0 1 2 3
0 1 25
03 11 =140 1 2 3 1 25 3 11 =14056=7840 5. D 5=L 1a a b0L
2a a0bL
3c0a aL
40c a a=a a b0L
2 L2L10 0b bc0a aL
4 L4L3c c0 0On fait ensuite les opérations suivantes sur les colonnes :C2 C2+C1etC3 C3C4pour obtenir une
dernière ligne facile à développer : D 5=a2a b00 02b bc c0ac0 0 0= +c2a b002b bc0a=bc(bc4a2)
6 6.On f aitd"abord les opérations C1 C1C3etC2 C2C4et on développe par rapport à la première
ligne : D 6= 1 0 3 0 0
0 1 0 3 0
a0a0 3 b a0a0 0b0 0a
quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coef ficients.
5.F aireapparaître des 0...
6.F aireapparaître des 0...
7.Permuter les lignes et les colonnes pour f aireapparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pourl"exer cice5 NDévelopper par rapport à la dernière colonne.
Indication pour
l"exer cice6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en
développant par rapport à sa première ligne.Indication pourl"exer cice7 NFaire les opérations suivantes sur les colonnesCn CntnCn1, puisCn1 Cn1tnCn2,...,C2 C2tnC1.
Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l"on obtient le déterminant recherché mais au rang
n1.3 Correction del"exer cice1 N1.Le déterminant de la matrice a b c d esta b c d =adbc. Donc7 11 8 4 =7411(8) =116. 2. Nous allons v oirdif férentesméthodes pour calculer les déterminants.Première méthode.Règle de Sarrus.Pour le matrice 33 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant. a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
Donc 1 0 63 4 15
5 6 21
=1421+0155+36654661513021=18 Attention ! La règle de Sarrus ne s"applique qu"aux matrices 33.3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.
Si dans une matrice on change un ligneLienLilLjalors le déterminant reste le même. Même chose
avec les colonnes. L11 0 2
L23 4 5
L35 6 7=1 0 2
L2 L23L10 41L
3 L35L10 63=1 0 2
0 41L3 L332
L20 032=14(32
) =6 sur la diagonale.4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer
par rapport à la deuxième colonne. 1 01 2 3 5 4 1 3 = (0)2 5 4 3 +(+3)11 4 3 +(1)11 2 5 =0+3717=14 Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par lesopérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0. 5.On f aitapparaître des 0 sur la première colonne puis on dév eloppepar rapport à cette colonne.
D=L10 1 2 3
L21 2 3 0
L32 3 0 1
L43 0 1 2=0 1 2 3
1 2 3 0
L3 L32L2016 1L
4 L43L2068 2=1 2 3
16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
D=L11 2 3
L216 1L
368 2=1 2 3
L2 L2+L104 4L
3 L3+6L10 4 20=14 4
4 20 =96DoncD=96.
46.La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en f aireapparaît reda vantagesur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne. D 0=L10 1 1 0
L21 0 0 1
L31 1 0 1
L41 1 1 0=0 1 1 0
1 0 0 1
L3 L3L20 1 0 0
1 1 1 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : D0=0 1 1
0 1 01 1 1=11 1
1 0 =1 7.T oujoursla même méthode, on f aitapparaître des 0 sur la première colonne, puis on dév eloppepar
rapport à cette colonne. D 00=L11 2 1 2
L21 3 1 3
L32 1 0 6
L41 1 1 7=1 2 1 2
L2 L2L10 1 0 1
L3 L32L1032 2L
4 L4L101 0 5=1 0 1
32 21 0 5On développe par rapport à la deuxième colonne :
D00=21 1
1 5 =12Correction del"exer cice2 N1.L "aireAdu parallélogramme construit sur les vecteurs~u=a c et~v=b d est la valeur absolue du déterminant a b c d doncA=jadbcj. Ici on trouveA=abs2 1 3 4 = +5 où abs désigne la fonction valeur absolue. 2.Le v olumedu parallélépipède construit sur trois v ecteursde R3est la valeur absolue du déterminant de
la matrice formée des trois vecteurs. Ici V=abs 1 0 1 2 1 1 0 3 1 =abs +11 1 3 1 +12 1 0 3 =4 où l"on a développé par rapport à la première ligne. 3.Si un parallélépipède est construit sur trois v ecteursde R3dont les coefficients sont des entiers alors le
volume correspond au déterminant d"une matrice à coefficients entiers. C"est donc un entier.Correction del"exer cice3 N1.P arla règle de Sarrus :
D 1= a b c c a b b c a =a3+b3+c33abc: 52.On dév eloppepar rapport à la seconde ligne qui ne contient qu"un coef ficientnon nul et on calcule le
déterminant 33 par la règle de Sarrus : D 2=1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 1
2 3 1 1
= +1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 =1: 3. D 3=L11 1 1 1L
211 1 1L
31 11 1L
41 1 11=1 1 1 1L
2 L2+L10 0 2 2
L3 L3+L10 2 0 2
L4 L4+L10 2 2 0
On développe par rapport à la première colonne : D3= (1)0 2 2
2 0 22 2 0=16
4.Le déterminant est liné airepar rapport à chacune de ses lignes et aussi chacune de ses colonnes. P ar
exemple les coefficients de la première ligne sont tous des multiples de 5 donc D 4=10 05 15
2 7 3 0
8 14 0 2
021 11
=52 01 3
2 7 3 0
8 14 0 2
021 11
On fait la même chose avec la troisième ligne : D 4=522 01 3
2 7 3 0
4 7 0 1
021 11
Et enfin les coefficients la première colonne sont des multiples de 2 et ceux de la troisième colonne sont
des multiples de 7 donc : D 4=5221 01 3
1 7 3 0
2 7 0 1
021 11
=52271 01 3
1 1 3 0
2 1 0 1
03 11 Les coefficients sont plus raisonnables ! On faitL2 L2+L1etL3 L32L1pour obtenir : D 4=1401 01 3
0 1 2 3
0 1 25
03 11 =140 1 2 3 1 25 3 11 =14056=7840 5. D 5=L1a a b0L
2a a0bL
3c0a aL
40c a a=a a b0L
2 L2L10 0b bc0a aL
4 L4L3c c0 0On fait ensuite les opérations suivantes sur les colonnes :C2 C2+C1etC3 C3C4pour obtenir une
dernière ligne facile à développer : D5=a2a b00 02b bc c0ac0 0 0= +c2a b002b bc0a=bc(bc4a2)
66.On f aitd"abord les opérations C1 C1C3etC2 C2C4et on développe par rapport à la première
ligne : D 6=1 0 3 0 0
0 1 0 3 0
a0a0 3 b a0a00b0 0a
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