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Méthodes de calcul des déterminants [Calcul matriciel]
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Outil de calcul du déterminant d'une matrice Le déterminant d'une matrice carré M est une valeur calculées à partir des éléments la composant noté det(M)
Comment calculer le déterminant d'une matrice 4 ?
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.Comment calculer le rang d'une matrice 4x4 ?
Le rang d'une matrice est égal au nombre de ses lignes sauf si l'une d'entre elles est combinaison linéaire des autres.Quel est le meilleur méthode pour calculer le déterminant d'une matrice ?
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c. Rien de bien compliqué, il faut juste connaître la formule Autre cas particulier très simple : les matrices diagonales et triangulaires.- Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée : si M ? Mn(R), alors det(M) = det(tM).
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MVA101 CNAM Paris- Nathalie Zanon
ED 11 : Matrices et déterminants
Exercice 1 : déterminant 4x4
Calculer de deux manières différentes suivant: D =211108
23202411
3121
Exercice 2 : matrices inverses
Calculer, suivantes:
A = 100110
111
, B = 122
112
031
, C = 111
215
323
D = 123
112
153
, E = 011 110
011
Exercice 3
On considère la matrice A =
100324
304
1. I étant la matrice unité, calculer les trois réels a, b et c tels que : ܽ
2.3. Soit ܺ
T U VG et $Lm
s s s q. Résoudre le système AX = BExercice 4: puissances de matrices
On considère les matrices A =
100210
111
et N = A I, où I est la matrice identité.
1. Calculer N² et N³. En déduire N
n pour tout n entier naturel.2. Donner une formule exprimant A
n en fonction de I, N et N² pour tout n entier naturel.3. Déterminer des nombres a, b et c tels que la matrice B = aI + bN + cN² vérifie AB = I
4. En déduire la matrice inverse de A en fonction de I, N et N²
5. Calculer A
n pour tout n entier naturel.6. En déduire A
k , pour k entier relatif quelconque.Exercice 5
On considère la matrice A =
102011 102
a. Calculer A² et A³. b. Déterminer des nombres a, b et c tels que A³ + a A² + b A + c I = 0 c. En déduire que A est inversible et donner sa matrice inverse.
Exercice 6
On considère la matrice A =
020 010 101a. Calculer A², A³ et ܣ b. Soit ܺ T U V IEs I IFs q, où m est un paramètre réel.
Résoudre et discuter le système AX = B
c. Ecrire la matrice M = A + I, I étant la matrice unité, et calculer son inverse ܯExercice 7
On considère la matrice A =
000 120112
1. Calculer A² et A³.
2. I étant la matrice unité, calculer les trois réels a, b et c tels que :
3.Exercice 8 : diagonalisation
On considère la matrice A définie par A =
012 210111
Calculer P
1 , inverse de P, ainsi que P 1A P D
n puis A n , nlN. On pourra raisonner par récurrence pour trouver D n et en déduire A n en utilisant la définition de D.Exercice 9 : système linéaire
Résoudre le système linéaire suivant par la méthode du pivot de Gauss et par la méthode de
Cramer.
1232 132
zyx zyx zyx
Exercice 10 : système linéaire
Résoudre le système
3 2 1 2 3322 azyx azyx azyx dans les cas suivants a. ܽ b. ܽ c. ܽ
Exercice 11 : systèmes linéaires
Résoudre chacun des systèmes linéaires suivants par la méthode du pivot de Gauss:TUEVLu
wTEtUVLwFuTEvUEuVLs
tTEUFVLsTFtUEuVLr
uTEvUFwVL= \TEtUFIVLrTEIUFtVLr
Exercice 12
Exercice 13
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