[PDF] Géométrie dans lespace : exercices de bac

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Géométriedans l"espace : exercicesde bac

I Libanmai 2014

Pour chacune des propositions suivantes, indi-

quer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque ré- ponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte

Onseplacedansl"espace munid"unrepèreortho-

normé. et la droiteDdont une représentation paramé- trique est???????x=2t y=1+t,t?R z=-5+3t

On donne les pointsA(1 ; 1; 0),B(3 ;0 ;-1) et

C(7 ;1 ;-2)

Proposition1 :

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est???????x=5-2t y=-1+t,t?R z=-2+t

Proposition2 :

Les droitesDet (AB) sont orthogonales.

Proposition3 :

Les droitesDet (AB) sont coplanaires.

Proposition4 :

La droiteDcoupe le planPau pointEde coor-

données (8;-3;-4).

Proposition5 :

Les plansPet (ABC) sont parallèles.

II Métropole, juin 2014

Dans l"espace, on considère un tétraèdre ABCD dontlesfacesABC, ACDet ABDsontdestrianglesrec- tangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].

On choisit AB pour unité de longueur et on se

place dans le repère orthonormé?

A ;-→AB,-→AC,-→AD?

de l"espace.

1. On désigne parPle plan qui passe par A et qui

est orthogonal à la droite (DF).

On note H le point d"intersection du planPet

de la droite (DF). (a) Donner les coordonnées des points D et F. (b) Donner une représentation paramétrique de la droite (DF). (c) Déterminer une équation cartésienne du planP. (d) Calculer les coordonnées du point H. (e) Démontrer que l"angle ?EHG est un angle droit.

2. On désigne parMun point de la droite (DF) et

partle réel tel que--→DM=t-→DF. Onnoteαla me- sure en radians de l"angle géométrique ?EMG. sition du pointMpour queαsoit maximale. (a) Démontrer queME2=3

2t2-52t+54.

(b) Démontrer que letriangleMEG est isocèle enM.

En déduire queMEsin?α

2? =12?2. (c) Justifier queαest maximale si et seule- ment si sin?α 2? est maximal.

En déduire queαest maximale si et seule-

ment siME2est minimal. (d) Conclure.

Correction

I Libanmai 2014

Proposition1 : VRAIE

paramétriques. Pourt=2 on retrouve les coordonnées du point A, et pourt=1 celles du point B.

Proposition2 : VRAIE

Dest dirigée par-→dde coordonnées (2, 1, 3) et (AB) par-→ABde coordonnées (-2, 1, 1).

Or-→AB·-→d= -4+1+3=0, les vecteurs-→ABet-→dsont donc orthogonaux, les droitesDet (AB) sont donc

orthogonales.

Proposition3 : FAUSSE

Pour savoir si ces deux droites sont coplanaires, il suffit desavoir si elles sont sécantes, car étant orthogo-

nales elles ne pourront pas être parallèles. Pour cela on résout le système???????2t=5-2t?(1)

1+t= -1+t?(2)

-5+3t= -2+t?(3) En soustrayant membre à membre (3) et (2), il vient 2t-6=-1 soitt=5 2.

On remplace dans (2) :t?=-2+t=-2+5

2=12.

On vérifie dans (1) : 2t=5, alors que 5-2t?=5-1=4. Ce qui signifie que ce système n"a pas de solution.

Puisque ces deux droites sont orthogonaleset non sécantes,elles seront donc non coplanaires.

Proposition4 : FAUSSE

On vérifie facilement queE?P, maisE?D.

En effet, si on résout le système

?8=2t -3=1+t -4=-5+3t

On trouve quet=4 dans la première équation, valeur qui ne convient pas dans la seconde équation.

Proposition5 : VRAIE

Le vecteur-→nde coordonnées (1,-1, 3) est un vecteur normal au planP.Les vecteurs-→ABet-→ACont pour

coordonnées respectives (2,-1,-1) et (6, 0,-2), d"où n·-→AB=2+1-3=0 et-→n·-→AC=6+0-6=0 -→nest donc normal au plan (ABC). Pet (ABC) ayant un vecteur normal commun sont donc parallèles.

II Métropole, juin 2014

Tout d"abord, une figure :

A B C D E F G

1. (a) Commençonspardescoordonnées"évidentes",puisqueliéesaurepère:A(0; 0; 0);B(1; 0; 0);C(0; 1;

etD(0 ; 0 ; 1). PuisqueFest le milieu de [BC], on en déduit que ses coordonnées sont la moyenne de celles des pointsBetC, doncF?1

2;12; 0?

(b) Les coordonnées du vecteur

DFsont donc :--→DF?1

2;12;-1?

Si on appelleMtle point de paramètretsur la droite (DF), défini tel que---→DMt=t--→DF, alors la

2t y=1 2t z=1-tt?R.

(c) Puisque le planPest orthogonalà (DF), alors un vecteur normal àPest le vecteur 2--→DF, de coor-

données (1 ; 1 ;-2). Une équation cartésienne du plan sera alors de la formex+y-2z+d=0, où

dest un nombre réel. Comme ledit plan doit contenir le pointA, le réelddoit être choisi de sorte

que les coordonnées deAvérifient l"équation, donc :

0+0-2×0+d=0, ce qui donned=0.

Une équation cartésienne du planPest donc :x+y-2z=0.

(d) Le pointHest un point de (DF), mais c"est aussi un point deP, donc ses coordonnées sont celles

d"un point de paramètretdans la représentation paramétrique, qui vérifie égalementl"équation

du plan : M t?P??1

2t+12t-2(1-t)=0

??3t-2=0 ??t=2

3Le point de paramètretsur la droite (DF) est sur le planPsi et seulement si le paramètretest

2

3, ce qui nous indique que le pointHest le point de coordonnées :?12×23;12×23; 1-23?

, c"est à dire :H?1

3;13;13?

(e) Calculons les coordonnées des vecteurs--→HEet--→HG: --→HE=?1

2-13; 0-13; 0-13?

=?16;-13;-13? HG=? 0-1

3;12-13; 0-13?

-13;16;-13?

Comme on travaille avec un repère orthonormé, le produit scalaire des deux vecteurs peut être

obtenu avec ces coordonnées, et on a : --→HE·--→HG=1 Comme le produit scalaire des deux vecteurs est nul, ceux ci sont orthogonaux, et donc l"angle ?EHGest bien droit.

2. On reconnaît dans le pointMdécrit, le point de paramètretdans la représentation paramétrique de la

droite (DF) donnée à la question1. b.. (a) Le pointEest le milieu du segment [AB], donc ses coordonnées sontE?1

2; 0 ; 0?

donc le vecteur --→MEa pour coordonnées :?1

2-12t; 0-12t; 0-(1-t)?

, soit--→ME?12(1-t) ;-12t;t-1?

On a doncME2=--→ME·--→ME=?1

2(1-t)?

2 -12t? 2 t-1? 2 ME 2=1

4(t2-2t+1)+t24+t2-2t+1=32t2-52t+54

On a bien prouvéME2=3

2t2-52t+54

(b) OnprocèdedefaçonanaloguepourcalculerlecarrédeladistanceMG: LepointGest lemilieudu segment [AC], donc ses coordonnées sontE? 0 ;1 2; 0? donc le vecteur--→MGa pour coordonnées : MG? 0-1

2t;12-12t; 0-(1-t)?

, soit--→MG? -12t;12(1-t) ;t-1?

On a doncMG2=--→MG·--→MG=?

-1 2t? 2 +?12(1-t)? 2 t-1? 2 MG 2=t2

4+14(t2-2t+1)+t2-2t+1=32t2-52t+54

On a bien prouvéMG2=3

2t2-52t+54=ME2. Deux nombres ont le même carré quand ils sont

égaux ou opposés, orMEetMGétant des distances, ils ne peuvent être opposés, doncME=MG et donc le triangleMEGest bien isocèle enM.

Visualisonsla situationdans le plan (MEG) :

2 EG M I OnnommeIle pied de la hauteurissue deMdansce triangle.Le triangleétantisocèle enM, cette hauteurest aussiune bissectricede l"angle ?EMG, donc on peut dire que dans le triangleEMI, rec-

tangle enI, l"angle?EMIa donc une mesure égale àα2, et donc le sinus de cet angle est égal au

quotient de la longueur du côté opposé à l"angle par celle de l"hypoténuse, soit : sin?α

2? =IEME, ce qui donne :MEsin?α 2? =IE, orIEest la moitié deEG, puisque (IM), la hauteur issue du sommet principal d"un triangle isocèle est aussi la médiane issue de ce sommet, doncIest le milieu de [EG].

La distanceEGpeut être calculée en utilisant les coordonnées deEetG, puisque le repère est or-

thonormé: EG=? (xG-xE)2+(yG-yE)2+(zG-zE)2=?1

4+14+0=12?2=1?2.

2? 1 2?2. (c) Puisqueαdésignelamesureen radiansd"unanglegéométrique,onpeutendéduirequecette me- surevarie dansl"intervalle[0 ;π] et doncque le nombreα

2varie dansl"intervalle?

0 ;π2?

, intervalle

sur lequel la fonction sinus est strictement croissante, donc comme la fonction linéaire de coeffi-

cient1

2l"est aussi, plus la mesureαest élevée, plus le nombre sin?α2?

l"est aussi.

La réciproque est vraie également : puisque la fonction est strictement croissante, plus l"image est

élevée, plus l"antécédent l"est aussi. On a donc prouvé que la valeurαest maximale si et seulement si sin?α 2? l"est aussi.

Commeleproduitdesin?α

2? parladistanceMEestconstant,et quelesdeuxfacteurssontpositifs, pourquel"undesfacteurssoitmaximal,ilfautetil suffitquel"autresoitminimal,donccelaprouve sin?α 2? est maximal quand la distanceMEest minimale.

Enfin,la distanceMEétant nécessairement positive, et étant donnéque la fonctioncarré est stric-

tement croissantesur l"intervalle[0 ;+∞[, onsait queMEest minimalsi et seulement siME2l"est aussi.

En conclusion, en utilisant ces différentes équivalences,on en déduit que la mesureαest maxi-

male quandME2est minimal. (d) Le polynome de degré 2 qu"est 3

2t2-52t+54a un coefficient dominant positif, donc son extremum

sera un minimum,et celui ci sera atteint pourt=--5 2 232=
5 6. La position du pointMtelle que la mesure de l"angle soit maximale est celle atteinte pour le para- mètret=5

6, soit pourMde coordonnées :M?512;512;16?

Ce qui suit est hors-sujet :On a alorsME2=3

2×?56?

2 -52×56+54=524.

On en déduit alors que sin

2? =12?2×? 24
5=? 3

5, ce qui, à l"aide de la calculatrice donneα≈

1,7722 soit un angle d"environ 101,5°.

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