SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.
Suites arithmétiques et suites géométriques
terme est u12 si le premier terme est noté u0. 5°) Formule permettant de calculer la somme des n premiers termes d'une suite géométrique : a) S = premier
Suites géométriques
Suites géométriques. TI 82 Stats.fr ? Soit (un) la suite géométriques de premier terme u0 = 2 et de raison 12. a ) Calculer u8.
Suites géométriques
Suites géométriques. CASIO. GRAPH 35+ ? Soit (un) la suite géométriques de premier terme u0 = 2 et de raison 12. a ) Calculer u8.
SUITES GEOMETRIQUES
On considère la suite géométrique (un) de raison q = 2 et de premier terme u1 = 5. 1) Exprimer un en fonction de n. 2) A l'aide de la calculatrice calculer la
Suites géométriques
Dossier suivi par Ludovic Legry IA-IPR de Mathématiques. Suites géométriques. - Mathématiques -. Niveau 1ère et Tale. Suites géométriques
Suites géométriques
Suites géométriques. TI 83 + ? Soit (un) la suite géométriques de premier terme u0 = 2 et de raison 12. a ) Calculer u8. b) Afficher les quinze premiers
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
Si le premier terme est égal à 5 les premiers termes successifs sont : u0 = 5
Suites géométriques
Soit (un) la suite géométriques de premier terme u0 = 2 et de raison 12. a ) Calculer u8. b) Afficher les quinze premiers termes de la suite et calculer
Suites géométriques
Suites géométriques. TI 82 Stats.fr ? Soit (un) la suite géométriques de premier terme u0 = 2 et de raison 12. a ) Calculer u8.
Suites numériques III - Les suites géométriques
III - Les suites géométriques 1 Définition : Une suite de terme général u n est une suite géométrique si chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante Cette constante est alors appelée raison de la suite u u qn n+1 = × avec qconstante (raison de la suite) De même que la suite arithmétique la suite
Les modèles démographiques - Assistance scolaire
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES I Suites arithmétiques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (u n) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5 Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u 0 = 3 u 1 = 8 u 2 = 13 u 3 = 18
1 Suites géométriques - WordPresscom
Une suite (u n)est dite géométrique s’il existe un réel qnon nul appelé raison de la suite tel que pour tout nentier naturel : u n+1 =q×u n Remarque 1 Autrement dit on passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombre q Exemple 1 Soit la suite géométrique de premier terme u0 =5de raison q=?2 1
SUITES GEOMETRIQUES - LeWebPédagogique
SUITES GEOMETRIQUES I Rappels et expression du terme général Méthode : Exprimer une suite géométrique en fonction de n Vidéo https://youtu be/WTmdtbQpa0c On place un capital de 500€ sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4 par an On note un la valeur du capital après n années 1) Calculer u2 et u3
SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES EXERCICES
Exercice 3: La suite (u n) est une suite arithmétique telle que u 1000 2026 et u 2000 2036 1 Calculer la raison de cette suite 2 Calculer le terme initial u 0 3 Exprimer u n en fonction de n; 4 Déterminer le sens de variation de la suite (u n) Exercice 4: La suite (u n) est telle que u 0 10 et pour tout nombre entier naturel n u n 1
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On dit qu’une suite un définie sur N est une suite géométrique pour exprimer qu’il existe un réel q (indépendant de n) tel que n u u qn n 1 Le réel q est appelé la raison de la suite La relation u u qn n 1 est appelée relation de récurrence de la suite
Qu'est-ce que la suite géométrique ?
On considère que tous les termes de la suite sont non nuls. Lorsque pour tout entier naturel n, le rapport entre deux états consécutifs est constant, c'est-à-dire , on dit que la suite est géométrique. La constante obtenue est appelée raison de la suite géométrique et sera notée q.
Comment calculer une suite géométrique ?
Définition : Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre tel que pour tout entier , on a : % = × . Le nombre est appelé raison de la suite. Exemple : La suite (un) définie par raison 3 et de premier terme 5. Propriété : (un) est une suite géométrique de raison et de premier terme . Pour tout entier naturel , on a : = × .
Quelle est la différence entre une suite numérique et une suite géométrique ?
Soit une suite numérique. On dit que la suite est géométrique s’il existe un réel tel que, pour tout , . Le réel est appelé la raison de la suite. Exemple : La suite définie par est géométrique, de raison 2. Soit une suite géométrique de premier terme et de raison .
Quelle est la suite géométrique de raison?
En faisant la soustraction des relations et , on démontre que la suite est une suite géométrique de raison . On en déduit où puis on termine par . 1.4.
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Suites numériques - III. Les suites géométriquesSSuuiitteess nnuumméérriiqquueess
IIIIII -- LLeess ssuuiitteess ggééoommééttrriiqquueess1. Définition :
Une suite de terme général
nuest une suite géométrique si chaque terme s"obtient enmultipliant le précédent par une constante. Cette constante est alors appelée raison de la suite.
1n nu u q+= ´ avec qconstante (raison de la suite)
De même que la suite arithmétique, la suite géométrique est déterminée par la donnée de :
- Son premier terme - Sa raison Pour prouver qu"une suite est géométrique, il faut démontrer que le rapport 1n n u u +est constant (indépendante de n).Exemples :
Ecrire quelques uns des premiers termes des suites géométriques suivantes : 1er terme : 1 raison : 21 2 4 8 16 32 64 128...
1er terme : 1 raison : -11 -1 1 -1 1 -1 1...
1er terme : 1 raison : 1 4- 1 14- 1
16 1
64- 1
256 1
1024-...
2. Expression du terme général d"une suite géométrique :
0u 1 0u u q= ´ 2 0²u u q= ´ 3
3 0u u q= ´...
0 n nu u q= ´ et n i n iu u q-= ´ q´ q´ q´ q´© http://www.bacdefrancais.net Page 2 sur 6
Suites numériques - III. Les suites géométriquesExemples :
410 6u u q= ´
415 11u u q= ´
1426 12u u q= ´...
1er exercice :
Les suites suivantes sont géométriques. Exprimer nuen fonction de ndans chacun des cas suivants :1. 02u= -et la raison est 1
2-2. 01u= -et la raison est 1-
Solution :
1. 122
n nu( )= - -( )( ) 2. () 1 1 1 1 n n n nu u2ème exercice :
Les suites suivantes, de terme général nu, sont géométriques et de raison b. Déterminer
l"entier idans chacun des cas suivants :1. 01 14, ,4 2iu u b= = =
2. 1 52 8 4, ,3 243 27iu u u= = =
3. 3 7116, 1,8iu u u= - = - =
Solution :
1. 142
n nu( )=( )( ) donc 1 142 4 i i u( )= =( )( ) 1 1 2 16 i( )=( )( )41 1 1
2 16 2i= = donc 42 2i= donc 4i=
2. Essayons de déterminer b : 4 4
5 12 8
3 243u u b b= ´ = ´ =
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Suites numériques - III. Les suites géométriques 42 83 243b´ = donc
448 3 4 2
243 2 81 3b( )´= = =( )( )´( )
donc 23b= ou 2
3b= - Si 2 3b= :12 2 4
3 3 27
i i u donc 12 2 3 9 i-( )=( )( )( )1 22 2
3 3 i-( ) ( )=( ) ( )( ) ( )( ) ( ) donc1 2i- = donc 3i=
On obtiendrait le même résultat en prenant
2 3b= -3. 4 4
7 316 1u u b b= ´ = - ´ = -
donc 4 441 1 1
16 2 2b( )= = =( )( )
On a 12b=ou 1
2b= - 7 7 i iu u b-= ´71( 1)8
ib-= -On étudie les 2 cas :
Si 1 2b= :71 1( 1)8 2
i-( )= -( )( )71 18 2
i-( )- =( )( ) n"a pas de solution car 712 i-( )( )( )est positif. Si 1
2b= - :
71 1( 1)8 2
i-( )= - -( )( )3 71 1 18 2 2
i-( ) ( )- = - = -( ) ( )( ) ( ) Donc7 3i- =soit 10i=
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Suites numériques - III. Les suites géométriques3. Sommes des termes consécutifs d"une suite géométrique :
On cherche :
0 1 2 1...n nS u u u u u-= + + + + +
Trouvons la formule :
10 1 2 1 0 0 0 0 0... ² ...n n
n nS u u u u u u u q u q u q u q- 10(1 ² ... )n nS u q q q q-= + + + + +
et 3 10( ² ... )n nqS u q q q q q+= + + + + +
donc 10(1 )nS qS u q+- = -
10(1 ) (1 )nS q u q+- = -
Si1q¹, on a :
1 0(1 ) 1 nu qSq+-=-Formule à retenir :
Si nuest le terme général d"une suite géométrique de raison 1q¹, alors : 10 1 2 1 01...1n
n nqu u u u u uq ou encore : nb de term es1som m e des term es consécutifs 1er term e 1 raison raisonExercices :
Calculer :
1. 2 4 8 ... 256S= + + + +
2. 1 1 1 1...2 8 32 128S= + + + +
3. 51 1 11 ...10 100 10S= + + + +
Solutions :
1. 2 4 8 ... 256S= + + + +
2 3 82 2 2 ... 2S= + + + +
C"est la somme d"une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 2. La somme comporte 8 termes.© http://www.bacdefrancais.net Page 5 sur 6
Suites numériques - III. Les suites géométriques81 2 1 2562 2 5101 2 1 2S- -= = =- -
2. 1 1 1 1...2 8 32 128S= + + + +
2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...2 2 4 2 16 2 64 2 2 4 2 4 2 4S( ) ( )= + ´ + ´ + + ´ = + ´ + ´ + ´( ) ( )( ) ( )
C"est la somme d"une suite géométrique de premier terme 12 et de raison 1
4. La somme
comporte 4 termes. 411111 1 1 4 1425611 3
2 2 2 3 25614 4
S2 255 85
3 256 128S= ´ =
3. 51 1 11 ...10 100 10S= + + + +
2 51 1 11 ...10 10 10S= + + + +
C"est la somme d"une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 110. La somme
comporte 6 termes. 6111 0, 000001 0, 99999910110, 9 0, 91
10 S1,11111S=
4. Sens de variation d"une suite géométrique :
11 0 0 0( 1)n n n
n nu u u q u q u q q+Etudions le signe de
1n nu u+- :
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Suites numériques - III. Les suites géométriques Cas où0uest positif :
Si 0q< : nqn"a pas un signe constant, la suite n"est donc pas monotone. Si 0q> : nq> 0, le signe de 1n nu u+- est alors le signe de ( 1)q- ▪ 0 1q< La suite est décroissante ▪ 1q>?1 0q- >?10n nu u+- >La suite est croissante
▪ 1q=?1 0q- =?10n nu u+- =La suite est constante
Théorème à retenir :
Une suite géométrique de premier terme positif et de raison positive est : Croissante si sa raison est strictement supérieure à 1 Décroissante si sa raison est strictement inférieure à 1 Constante si sa raison est égale à 1.Exemples :
2n nu=, suite de premier terme 1 et de raison 2 ? La suite est croissante 1 3 n nu( )=( )( ), suite de premier terme 1 et de raison 13 ? La suite est décroissante
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