[PDF] Exercices : Algèbre Linéaire

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Exercices : Algèbre Linéaire

Exercice 1

SoitE=C0([0;1];R)et':R!Rune fonction continue. Pour toutf2E, on pose

8x2[0;1]T(f)(x) =Z

1 0 '(xt)f(t) dt

Montrer queTest un endomorphisme deE.

Exercice 2

SoitE=C0(R;R). Pour toutf2E, on pose

8x2Ru(f)(x) =Z

x 0 cos(xt)f(t) dt

1)Montrer queuest un endomorphisme deE.

(Indication:Décomposercos(xt)pour se ramener à une intégrale sans paramètre).

2)L"endomorphismeuest-il surjectif?

3)Montrer queuest injective (Indication:dériveru(f)).

Exercice 3

SoitE=C1(I;R), oùIest un intervalle deR.

1)Montrer que la dérivation est un endomorphisme deE.

2)Soit(f0;:::;fn)2Endes fonctions fixées. Montrer que l"application suivante est un endomorphisme

8y2E '(y) =y(n)fn++y0f1+yf0

3)En déduire que les solutions d"une équation différentielle linéairey(n)fn++y0f1+yf0= 0forment

un sous-espace vectoriel.

Exercice 4

SoitEunK-espace vectoriel, etu2L(E)fixé. Montrer que l"application':K[X]!L(E)définie par

P=anXn++a1X+a07!anun++a1u+a0idE

est un morphisme deK-algèbre. On notera désormais'(P) =P(u).

Exercice 5

SoitPl"ensemble des fonctions paires deRdansR, etIl"ensemble des fonctions impaires. Montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels deF(R;R), et que

F(R;R) =PI

Exercice 6

SoitEunK-espace vectoriel, etf;g2L(E)2. Démontrer les équivalences suivantes

1)Ker(gf) = Kerf()Kerg\Imf=f0g2)Im(gf) = Img()Kerg+ Imf=E

Exercice 7

Montrer queE1=f(a;a;a)ja2RgetE2=f(x;y;z)jx+y+z= 0gsont supplémentaires dansR3.

Exercice 8

Montrer que les familles suivantes sont libres :

1)(Ak)06k62oùA=0

@0 1 0 0 0 1

1 0 01

A 2)1Xa a2RdansR(X)

3)(fa)a2R+où8x2R,fa(x) = cos(ax).4)(fa)a2Roù8x2R,fa(x) =eax.

1

ExercicesAlgèbre LinéaireExercice 9

Soitf;g2L(E)tels quefg=gf. Montrer queg(Kerf)Kerfetg(Imf)Imf. (On dit alors queKerfetImfsontstables parg).

Exercice 10

Soit(a;b)2R2fixé, distincts. Pour toutk2 f0;:::;ng, on notePk(X) = (Xa)k(Xb)nk. Montrer que (Pk)06k6nest une base deRn[X].

Exercice 11 (interpolation de Lagrange)

Soitn>0et(a0;:::;an)2Rn+1deux à deux distincts.

1)Montrer que l"application':Rn[X]!Rn+1définie par'(P) = (P(a0);:::;P(an))est linéaire.

Déterminer son noyau et son image.

2)En déduire que, pour tout(b0;:::;bn)2Rn+1, il existe un unique polynômePtel queP(ai) =bi8i.

3)Déterminer explicitement les polynômesLitels queLi(aj) =i;j.

4)Montrer que(Li)06i6nest une base deRn[X]. Quelle est la base duale desLi? En déduire les coor-

données d"un polynômeQquelconque dans cette base.

Exercice 12

Soitf2L(E;E0)etHun supplémentaire deKerfdansE.

1)Montrer que l"applicationef:H!f(E)définie paref(x) =f(x)est un isomorphisme (Indication:on

pourra commencer par montrer l"injectivité, puis montrer la surjectivité, et la linéarité).

2)On suppose désormaisEetE0de dimensions finies respectivesnetp. Trouver des basesBetB0de

EetE0pour que la matrice defdans ces bases soit le plus simple possible.

Exercice 13 (factorisation - PT 2010, A III)

SoientE,FetGtrois espaces vectoriels de dimension finie,u2L(E;F)etv2L(E;G). Le but de l"exercice est de montrer que

Ker(u)Ker(v)() 9w2L(F;G)v=wu

1)On suppose qu"il existew2L(F;G)telle quev=wu. Montrer queKer(u)Ker(v).

2)On supposeKer(u)Ker(v). De plus, on notedimE=n,dim(Keru) =npetdimF=r.

a)Justifier qu"il existe une base(e1;:::;en)deEtelle que(ep+1;:::;en)soit une base deKeru.

Quelle est alors la dimension deImu?

b)Pour tout16i6p, on posefi=u(ei). Montrer que la famille(fi)16i6pest une base deImu. c)On complète la famille précédente en une base(fi)16i6rde F. Construirew2L(F;G)telle que v=wu.

Exercice 14 (dual du précédent)

SoientE,FetGtrois espaces vectoriels de dimension finien,rets;u2L(F;E)etv2L(G;E). Le but de l"exercice est de montrer que

Im(v)Im(u)() 9w2L(G;F)v=uw

1)On suppose qu"il existew2L(G;F)telle quev=uw. Montrer queIm(v)Im(u).

2)On supposeIm(v)Im(u). De plus, on notedim(Imv) =petImu=q.

a)Justifier qu"il existe une base(e1;:::;en)deEtelle que(e1;:::;ep)soit une base deImv, et que (e1;:::;eq)soit une base deImu. b)Montrer que pour tout16i6p, il existegi2Gtel quev(gi) =ei. Montrer que(g1;:::;gp)est libre. On la complète en une base deG. c)Construire de même une base(f1;:::;fr)deFtelle que, pour tout16i6q,u(fi) =ei. d)Construirew2L(G;F)telle quev=uw.

Exercice 15

Soitpetqdeux projecteurs deE. Montrer quep+qest un projecteur si et seulement sipq+qp= 0.

Donner un exemple.

2 ExercicesAlgèbre LinéaireExercice 16 (centre deL(E)- PT 2009, A partie B) SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie etf2L(E)qui commute avec tous les endomorphismes de

E, c"est-à-dire

8g2L(E)fg=gf

1)Soitu2Ef0g. Montrer que la droite vectorielleVect(u)possède un supplémentaire dansEque l"on

noteraHu. On précisera la dimension deHu.

2)Montrer qu"il existe un scalaireutel quef(u) =uu. (Indication:utiliser le projecteurpusurVect(u)

parallèlement àHu).

3)Soitv2Enon colinéaire au vecteuru. On notevle scalaire tel quef(v) =vv. Montrer queu=v.

4)Reprendre la question précédente lorsquevest non nul et colinéaire au vecteuru.

5)En déduire quels sont les endomorphismes deEqui commutent avec tous les endomorphismes deE.

Exercice 17

SoitE=R2[X]. On définit trois formes linéaires'1,'2et'3par

1(P) =Z

1 0

P(t) dt '2(P) =Z

1 0 tP(t) dt '3(P) =Z 1 0 t2P(t) dt Déterminer de quelle base elles forment la base duale. Décomposer :P7!Z 1 0 t3P(t) dtdans cette base.

Exercice 18 (PT 2009, A extraits)

SoitEunR-espace vectoriel de dimension2, etB= (e1;e2)une base deEfixée. On considère l"application

linéairefayant pour matrice, dans la baseB, M=13 11 2 2

1)Montrer quefest un projecteur. (Quel est son rang?)

2)Déterminer le noyau et l"image def.

Exercice 19 (idem)

SoitEunR-espace vectoriel de dimension3, etB= (e1;e2;e3)une base deEfixée. SoitDla droite engendrée par"1=e1+ 3e2e3etPle plan engendré par les vecteurs"2=e1e3et"3= 2e1e2.

1)Déterminer la matriceM, dans la baseB, du projecteur surPparallèlement àD.

2)Donner la matriceM0depdansB0, la matrice de passagePdeBàB0, et la formule de changement

de base.

Exercice 20

Calculer le rang des matrices suivantes. Noyau et Images deCetD. A=0 B

B@1 2 0 3

02 1 5

0 013

0 0 0 31

C CAB=0 @12 1 31

0 2 0 0 2

0 012 31

A C=0 @1 21 1 1 011

1 1 1 21

A D=0 B

B@1 1 0 2

02 11

0 22 0

01 011

C CA

Exercice 21

Montrer queF=8

(x1;x2;x3;x4;x5)2R5 x

1+ 2x2x3+ 3x4+x5= 0

x

2+x32x4+ 2x5= 0

2x1+x25x34x5= 09

est un sous-espace vectoriel deR5. Donner une base, en déduire la dimension.

Exercice 22

Soitf2L(R2)ayant pour matrice, dans la base canonique,M=0 1 0 0 Déterminer le noyau et l"image def. Que remarque-t-on? En déduiref2. 3

ExercicesAlgèbre LinéaireExercice 23

Soitf2L(R3)ayant pour matrice, dans la base canonique, M=0 @2 1 0 42 0

0 0 11

A

Déterminer le noyau, le rang et l"image def. Construire("1;"2;"3)une base du noyau, complétée en une

base de l"image puis en une base deR3. Donner la matriceM0defdans cette base, et la matrice de passage.

Exercice 24 (exemple de décompositionLU- PT 2006 A)

On considère les matrices

L=0 @1 0 0 1 1 0

1 1 11

A etA=0 @2 0 1 2 1 3

2 1 61

A

1)Calculer l"inverse deL.

2)Déterminer une matriceUtriangulaire supérieure telle queA=LU. En déduireA1.

La décompositionLUpermet de calculer rapidement l"inverse d"une matriceA, dans le but par exemple de

résoudre un système du typeAx=b.

Exercice 25

SoitSn(K)l"ensemble des matrices carrées symétriques de taillenetAn(K)l"ensemble des matrices carrée

antisymétriques ( tM=M) de taillen. Montrer que M n(K) =Sn(K) An(K)

Exercice 26

SoitEnl"ensemble des polynômes homogènesP2R[X;Y]de degrén. Un polynôme est dit homogène de

degréns"il est la somme de monômes de degré totaln.

1)Montrer queEnest unR-espace vectoriel. En donner une base et sa dimension.

2)Construire deux isomorphismes " naturels » entreRn[X]etEn.

3)Montrer que l"application :P7!@2P@X

2+@2P@Y

2est linéaire deEndansEn2.

Exercice 27

SoitA=1 2

3 4 etudéfini paru(M) =AMpour toutM2M2(R).

1)Montrer queuest un endomorphisme. Noyau et image deu.

2)Déterminer la matrice deudans la base(E1;1;E2;1;E1;2;E2;2)deM2(R).

3)Écrire la matrice deuA:M7!AMlorsqueAest une matrice quelconque.

4)Dans le cas oùAest quelconque, montrer queuAlaisse stableVect(E1;1;E2;1)etVect(E1;2;E2;2).

Exercice 28

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien, etu2L(E). SoitE1etE2deux sous-espaces vectoriels deEstables parutels queE=E1E2.

Montrer qu"il existe une baseBdeEtel que la matrice deudans cette base soit diagonale blocs, c"est-à-dire

Mat(u;B) =M10

0M 2 avecM12Mp(K)etM22Mq(K)

Exercice 29

SoitA2Mn(K).

1)On suppose queA23A+In= 0. Montrer queAest inversible et donner son inverse.

2)SoitP2K[X]. CNS surPpour queP(A) = 0entraîneAinversible. Donner son inverse dans ce cas.

4

ExercicesAlgèbre LinéaireExercice 30

SoitAetB2 Sn(K). Montrer queAB2 Sn(K)()AB=BA.

Exercice 31 (*)

1)SoitPetQ2Cn[X]. Montrer que, siPetQont une racine commune, alors

9(U;V)2Cn1[X]UP+V Q= 0et(U;V)6= (0;0)

On admettra la réciproque.

2)SoitPetQ2C2[X]fixés etudéfini paru(U;V) =UP+V Qpour tout(U;V)2:C1[X]2.

a)Montrer queu2L(C1[X]2;C3[X]). Écrire la matrice deurelativement aux bases canoniques de C

1[X]2etC3[X].

b)En déduire une CNS pour quePetQaient une racine commune. Décrire le cas particulierQ=P0.

Exercice 32 (Matrices nilpotentes)

1)SiNest nilpotente d"indicep, rappeler la formule donnant l"inverse deInN. Montrer l"inversibilité

et calculer l"inverse de A=0 B

BBBBBB@1a00

0 1a......

............0 .........a

0 0 11

C

CCCCCCA2Mn(R)aveca2R

2)SoitN2Mn(R)nilpotente d"indice2. Calculer(In+N)kpour toutk2N. En déduireB100avec

B=1 1 1 3

Exercice 33

SoitF:R2R2!Rune forme bilinéaire (c"est-à-dire quex7!F(x;y)ety7!F(x;y)sont linéaires).

Notons(e1;e2)la base canonique deR2.

1)Pour toutx= (a;b)2R2et touty= (c;d)2R2, exprimerF(x;y)en fonction dea,b,c,det les

F(ei;ej).

2)On suppose queFest alternée. Simplifier l"expression obtenue à la question 1. Que constate-t-on?

Quelle est la dimension duR-espace vectorielA2(R2;R)des formes2-linéaires alternées surR2?

Exercice 34

Calculer les déterminants des matrices suivantes, sous la forme la plus factorisée possible : 0 B

B@1 2 1 3

4 0 3 1

1 23 0

1 6111

C CA0 B

B@1 2 3 4

2 2 3 4

3 3 3 4

4 4 4 41

C CA0 @1 cosacos2a

1 cosbcos2b

1 cosccos2c1

A (ai;j)16i;j6n= (ij)16i;j6n

Exercice 35

SoitM2Mn(R)antisymétrique (c"est-à-diretM=M). Montrer quenimpaire entraîneMnon inversible.

Exercice 36

SoitA,BetCdes matrices deMn(R). Montrer que

det A B

C A+CB

= det(A+C)det(AB)

Exercice 37

Calculer les déterminants des matrices suivantes sous la forme la plus factorisée possible : AI3=0 @12 0 2 40

4 8 31

A BI3=0 @1 1 1 21

1 1 21

A 5

ExercicesAlgèbre LinéaireExercice 38

Déterminer le polynôme caractéristique, les valeurs propres, les sous-espaces propres de la matrice

M=0 @58 4 0 3 0 88 71
A Sifest l"endomorphisme deR3de matriceMdans la base canonique, donner une baseB0de vecteurs propres, la matrice defdans cette base, et la matrice de changement de base. Déterminer la matrice defkdans la baseB0puis dans la base canonique.

Exercice 39

Montrer queM=0

@21 3 1 0 1 11 21 A est diagonalisable : Calculer le polynôme caractéristique et donner une matrice diagonale semblable àMsans calculer les sous-espaces propres.

Exercice 40

Calculer le polynôme caractéristique et les sous-espaces propres des matrices suivantes et diagonaliser, lorsque

c"est possible, ces matrices : A=0 @2 1 1 8 15 4 331 A ; B=0 @3 22 1 0 1

1 1 01

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