[PDF] Épreuve de Mathématiques 5 Exercice 1 Exercice 2 (PT 2015 B

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Lycée La Prat"s Vendredi 15 janvier 2016

Classe de PT

Épreuve de Mathématiques 5

CorrectionExercice 1

Montrer que l"application?:E2→Rsuivante est un produit scalaire surE=R[X]. ?(P,Q)?E2, ?(P,Q) =? 1 -1P(t)Q(t)⎷1-t2dt

Exercice 2 (PT 2015 B)

Dans le plan euclidien rapporté au repère orthonormé direct(O,-→ı ,-→?), on considère la courbeΓde repré-

sentation paramétrique??? ?x(t) =t2+2t y(t) =1t

2+ 2tt?R?-

Pour toutt <0, on désigne parMtle point deΓde paramètret. 1) a) Justifier qu"une représentation paramétrique de la normale àΓau pointMt,t?R?-est ?x t(u) =t2+2t +u y t(u) =1t

2+ 2t-tuu?R

b) En déduire une représentation paramétrique de la développée deΓ.

c)Utiliser ce résultat pour donner le centre et le rayon du cercle de courbure deΓau pointM-1de

paramètret=-1.

2)SoitΣle cercle de centreΩde coordonnées(a,b)?R2et de rayonr >0. On dit queΣetΓsont

tangents en un pointAsi •A?Σ∩Γ; •la tangente àΣenAet la tangente àΓenAsont confondues. a)Exprimerbetren fonction deapour queΣetΓsoient tangents enM-1. b)Dans ces conditions, donner une équation deΣsous la formefa(x,y) = 0ne dépendant que du paramètrea. c)Effectuer les développements limités dex(t)ety(t)à l"ordre3ent=-1. On donne f a(x(t),y(t)) = (28-4a)(t+ 1)2+ (28-4a)(t+ 1)3+o((t+ 1)3) d)Déterminerapour qu"au voisinage det=-1,fa(x(t),y(t)) =o((t+ 1)3). Quelle(s) remarque(s) peut-on faire concernantΩetr?

Exercice 3 (PT 2015 B)

Dans le plan euclidienR2, le produit scalaire des vecteurs-→uet-→vsera noté-→u .-→vet la norme du vecteur-→usera notée?-→u?.

C"est de la " géométrie élémentaire », pour quasiment toutes les questions le chapitre algèbre bilinéaire en cours est

inutile. Faites, au moins au brouillon, des dessins (évidemment). 1 DST51)SoitCun cercle de centreOet de rayonR >0etIun point du plan. Une droiteDpassant parIet sécante àCcoupeCenAetB. On noteA?le symétrique deApar rapport àO. a)Démontrer que-→IA.-→IB=-→IA.-→IA?=IO2-R2.

On remarque que la valeur de-→IA.-→IBest indépendante de la droiteDsécante àCchoisie. On

noteσC(I)ce nombre. b)Quelle information le signe deσC(I)donne-t-il sur la position du pointI?

c)SoitIun point du plan tel queσC(I)>0,Λl"ensemble des pointsMdu plan vérifiant--→IM.--→OM=

0etTun point deΛ∩C.

i)Quelle est la nature deΛ? Préciser ses éléments caractéristiques. ii)Démontrer queσC(I) =IT2.

2)SoientCetC?deux cercles de centres respectifsOetO?, distincts, de rayons respectifsR >0et

R ?>0. On désigne parΩle milieu du segment[OO?]et parΔl"ensemble des pointsIdu plan vérifiantσC(I) =σC?(I). a)Démontrer que

C(I) =σC?(I)??2--→OO?.-→ΩI=R2-R?2

b) i) SoitI1etI2deux points distincts deΔ. Démontrer que les droites(I1I2)et(OO?)sont orthogonales. ii)Déterminer un pointI0appartenant àΔet(OO?). iii)En déduire la nature deΔ. c)Que dire de plus surΔlorsqueCetC?sont sécants ou tangents? Ou lorsque les deux cercles ont le même rayon? d)Dans cette question, l"unité de longueur est le centimètre. On prendOO?= 10,R= 5,R?= 3.

TracerΔ.

3) a) SoitA,BetCtrois points non alignés du plan, etCle cercle circonscrit au triangleABC.

SoitIun point de la droite(AB)distinct deAetB, etDun point de la droite(IC)vérifiant-→IC.-→ID=-→IA.-→IB.

Démontrer queDappartient au cercleC.

b)On se place désormais dans le plan complexe. Le vecteur-→ua pour affixez?C, et le vecteur-→v

a pour affixez??C.

i)Rappeler en la justifiant la relation entre?-→u+-→v?,?-→u?,?-→v?et-→u .-→v.

ii)En déduire que-→u .-→v=?(zz ?). (?désigne la partie réelle) iii)SoitA,B,C,DetIles points d"affixes complexes respectives z

A=-3-i, zB= 5i, zC=-1-7i, zD= 14-2i, zI=-7-9i

Démontrer queA,B,CetDsont cocycliques (c"est-à-dire : sur un même cercle). C(I)est la puissance du pointIpar rapport au cercleCetΔest l"axe radical des deux cerclesCetC?.

Ces deux objets, avec entre autre la notion de division harmonique, conduiront auxixesiècle à la géométrie

projective.

Exercice 4 (PT 2014 B)

1)Étude deΓAdans le cas oùa=b= 9.a)Pour toutt?R,?

?x(-t) =-t3+ 3t2+ 9t=-? t3-3t2-9t? =-y(t) y(-t) =-t3-3t2+ 9t=-? t3+ 3t2-9t? =-x(t) Conclusion :ΓAest symétrique par rapport à la droite d"équationy=-x2 DST5b)xetysont des polynômes donc dérivables surR. Pourt?R, ?x?(t) = 3t2+ 6t-9 = 3(t-1)(t+ 3) y ?(t) = 3t2-6t-9 = 3(t+ 1)(t-3)

Non, la recherche des racines d"un trinôme puis du signe de celui-ci n"est paslaquestion centrale de

l"épreuve : faites vite (et juste).t x ?(t)x y ?(t)y013+∞-0++ 00 -5-5+∞+∞27 --0+ 00

-27-27+∞+∞-11Donc la courbe (pourt>0) admet une tangente verticale enM(1)de coordonnées(-5,-11)et

une tangente horizontale enM(3)de coordonnées(27,-27).

EnM(0) =Ola tangente a pour vecteur directeur?-9

-9? et passe parO, c"est donc la première bissectrice d"équationy=x. c)M(t1)est un point double s"il existet2?=t1tel queM(t1) =M(t2)

M(t1) =M(t2)???x(t1) =x(t2)

y(t1) =y(t2) ???t31+ 3t21-9t1=t32+ 3t22-9t2 ?t31+ 3t21-9t1=t32+ 3t22-9t2 -6t21=-6t22orL2??t1=-t2cart1?=t2 ?2t31-18t1= 0 t

2=-t1etL1??2t1?

t21-9? = 0 Or sit1= 0, on at2=-t1=t1ce qui est impossible :t1?= 0.

Donc le seul point double estM(3) =M(-3)de coordonnées(27,-27)La tangente est horizontale pourt= 3et, par symétrie, est verticale pourt=-3.

Ainsi, L"angle entre les deux tangentes de

π2 d)ΓAadmet une branche infinie lorsquet→+∞. yx ≂t3t 3= 1 Donca= 1. De plus,y-x=-6t2----→t→+∞-∞. Conclusion : La courbeΓAadmet une branche parabolique de directiony=x.e)Tracé :

Indication:On place les points où l"une des deux dérivées s"annule (i.e. tangente verticale ou

horizontale) et la tangente associée, le point double (mais c"est déjà fait), le pointO=M(0)(et

3 DST5plus généralement tous les points où l"on nous a demandé explicitement la tangente). Puis on trace en suivant le tableau de variation (en partant par exemple des points(-5,-11)et (27,-27)).

On complète ensuiteΓApar symétrie.xf(x)O

2)Un point stationnaire (ou singulier) est un point en lequel la vitesse s"annule :

?x?(t) = 0 y ?(t) = 0 ???3t2+ 6t-a= 0

3t2-6t-b= 0

???3t2+ 6t-a=0 -12t-b+a=0 (L2←L2-L1) ??3?a-b12 2 + 6?a-b12 -a= 0(en remplaçanttpar sa valeur) t=a-b12 Donctexiste??3(a-b)2+ 6×12(a-b)-144a= 0??(a-b)2-24(a+b) = 0 :PFIN DE L"ÉPREUVE 4quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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