[PDF] Intégration numérique avec MATLAB

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Licence de Math´ematiques.Universit´e de Rennes I

Analyse r´eelle et complexeTP No 5.

Int´egration num´erique avec MATLAB

1.M´ethode de quadrature´el´ementaire

Soitf: [a,b]→Rune fonction continue. On rappelle les formules approch´ees pour l"int´egrale?b

af(x)dx. Pour cela, on choisit d"abord une subdivision a=a0< a1<···< an=b. de l"intervalle [a,b]. La formule de Chasles donne b a f(x)dx=n-1? i=0? ai+1 a if(x)dx.

On est donc ramen´e au probl`eme d"´evaluer l"int´egrale defsur un petit intervalle [ai,ai+1]. Ce calcul

est effectu´e au moyen de formules approch´ees (qui peuvent ˆetre a priori diff´erentes sur chacun des

intervalles [ai,ai+1]), appel´ees m´ethodes de quadrature. - M´ethodes de quadrature ´el´ementaires: ?b a f(x)dx?n-1? i=0(ai+1-ai)f(ξi), ξi?[ai,ai+1].

•ξi=aim´ethode des rectangles `a gauche.

•ξi=ai+1m´ethode des rectangles `a droite.

•ξi=ai+1+ai

2m´ethode du point milieu.

Exercice 1.Ecrire un programme qui approche l"int´egrale d"une fonction sur un intervalle [a,b] en utilisant chacune des m´ethodes ci-dessus. - M´ethodes de quadrature compos´ees: ?b a f(x)dx?n-1? i=0(ai+1-ai)l i? j=0ω i,jf(ξi,j), ξi,j?[ai,ai+1].

•Si on prendli= 1,ξi,0=ai,ξi,1=ai+1etωi,j= 1/2 on obtient la m´ethode dite des trap`ezes.

•La m´ethodes de Simpson correspond `a:

l i= 2, ξi,j=ai+jai+1-ai

2,whereωi,0=ωi,2= 1/6, ωi,1= 2/3

Exercice 2.Reprendre l"exercice 1 avec la m´ethode des trap`ezes et de Simpson. Comparer les r´esultats sur des exemples concrets. La fonction de MATLABtrapz(x,y)approche l"int´egrale deypar rapport `axen utilisant la m´ethode de trap`eze.

Exercice 3.

(a) Utiliser la commandetrapz(x,y)pour approcher la valeur de l"int´egrale?e 11 xdx.Comparer avec la valeur exacte, calculer la taille de l"erreur pour des maillages avec 4, 16, 64 points.

(b) Refaire (a), mais en remplacant la m´ethode des trap`ezes par la m´ethode des rectangles `a gauche.

I II MATLAB poss`ede deux autres fonction pour int´egration num´erique `a savoirquadetquadLbas´e

sur des m´ethode de quadrature adapt´ee permettant de consid´erer des fonctions pr´esentant des

irr´egularit´es. La description de ces deux commandes peut-ˆetre obtenu avechelp.

Exercice 4.En utilisant les fonctionsquadetquadLavec tol´erance standard, ´evaluer l"int´egrale

f(x) =? 4

1⎷

xdx

2.D´ecomposition orthogonale dansL2(-1,1)

On consid`ere l"int´egrale suivante

f(t) =? t 0 e-x2dx utilis´ee en diverses applications num´eriques.

Exercice 5.

(a) Calculer (th´eoriquement) la limite def(t) quandttend vers +∞. (b) Calculer (num´eriquement)f(1) en utilisant les commandes matlabtrapzetquad.

(c) En utilisant le d´eveloppement en s´erie enti`ere dee-x2, construire des polynˆomes qui ap-

prochentf(t).

(d) En ´evaluant ces polynˆomes ent, on obtient une approximation def(t).´Ecrire un programme

qui dessine un graphe avec les 10 premi`eres approximations`a la fonctionfsur l"intervalle [0,2]. Les polynˆomes de Legendre sont d´efinies par P n(x) =N? k=0(-1)k(2n-2k)!

2n(n-k)!(n-2k)!xn-2k

o`uN=n/2 sinest pair etN= (n-1)/2 sinest impair. La famille (Pn)n?Nest une base orthogonale de l"espaceL2(-1,1). On rappelle la formule?1 -1P n(x)Pm(x)dx=δn,m·2

2n+ 1.

Le polynˆomePnest la fonction de Legendre de degr´enet d"ordre 0. Pour un vecteur lignex, la commande MATLABlegendre(n,x)´evalue les fonctions de Legendre de degr´enet d"ordre 0,...,n enx. Pour connaitre les valeurs du polynˆomePnenx, il suffit donc de regarder la premi`ere ligne de la matricelegendre(n,x).

Exercice 6.

La fonctionx?[-1,1]?→e-x2poss`ede une d´ecomposition par rapport `a la famille (Pn)n?Ndes polynˆomes de Legendre dansL2(-1,1). Evaluer num´eriquement les coefficients B n=2n+ 1 2? 1 -1P n(x)e-x2dx.

de cette d´ecomposition pourn= 1,...,10, en utilisant la commandetrapz. Dessiner la fonction?10n=1Bn·Pn(x) et comparer avece-x2.

A rendre :Vos programmes pour les Exercices 3, 5(b), 5(d), 6.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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