1 Divisibilité
Combinaison linéaire qui annule les n : n + 13 ? (n + 1) = 12 . • Les diviseurs de 12 sont 1 2
Divisibilité : exercices - Nanopdf
page 1 de 1. Divisibilité : exercices. 1. Déterminer tous les entiers n tels que 2n ? 3 divise n + 5 (former une combinaison linéaire pour éliminer n).
Cours de spécialité mathématiques en T S
7 déc. 2010 I Divisibilité et congruences dans Z. 3. 1. Divisibilité dans Z . . ... Si a divise b et c alors a divise toute combinaison linéaire.
DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
En effet si par exemple 10 divisait 1001 alors 2 diviserait 1001. Propriété (combinaisons linéaires) : Soit a
TSspémaths TS spé maths
n+5 7n+32 or n+5 n+5 ainsi n+5 7n+35 donc par combinaison linéaire
DIVISIBILITÉ DANS DIVISION EUCLIDIENNE
https://www.editions-ellipses.fr/PDF/9782340022775_extrait.pdf
DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
Propriété (combinaisons linéaires) : Soit a b et c trois entiers relatifs. Si c divise a et b alors c divise ma + nb où m et n sont deux entiers relatifs.
ARITHMETIQUE
Divisibilité dans » : diviseurs multiples d'un entier 3) Si a b et si a c alors a divise toute combinaison linéaire de b et c
Chapitre I : Divisibilité dans ? division euclidienne
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/SpeTS/chapitre1(Divisibilite_division%20euclidienne_congruences).pdf
Chapitre 2 - Divisibilité et congruences dans Z
Proposition 6 (Divisibilité et combinaison linéaire). Soient a b
DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES - maths et tiques
Propriété (combinaisons linéaires) : Soit ! " et trois entiers relatifs Si divise ! et " alors divise 9!+2" où 9 et 2 sont deux entiers relatifs Démonstration : Si divise ! et " alors il existe deux entiers relatifs # et #? tels que !=# et "=#? Donc 9!+2"=9# +2#? et donc il existe un entier relatif 1=9#+2#? tel que
DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
Proposition 6 (Divisibilité et combinaison linéaire) Soient abc ? Z 1 si ab et ac alors a(kb+lc) pour n’importe quel choix d’entiers kl? Z 2 En particulier si ab alors a(a +b) et aa?b/ Remarque La quantité kb+lc s’appelle une combinaison linéaire de a et b Démonstration 1
Divisibilité et congruences - Maths : cours et exercices
Théorème : divisibilité d'une combinaison linéaire Soient sont trois entiers relatifs ( ) Si d divise a et b alors d divise tout entier En particulier d divise leur somme et leur di?érence PREUVE : Par hypothèses on peut écrire et avec k et k' entiers avec entiers donc d divise 3 La division euclidienne dans N
Divisibilite et Congruences - Maths
D’après les propriétés du § 1c/ une combinaison linéaire de deux nombres divisibles par 7 est divisible par 7 Donc la propriété est vraie au rang n + 1 Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire on a montré par récurrence que ?n?!79n?2n Raisonnement par disjonction des cas : montrons que
Critères de divisibilité
Combinaison linéaire N’oublions pas que si d divise a et b alors pour tout relatif k et k d divise aussi k a k b + Comme le b(;) divise et il vérifie lui aussi cette propriété et divise donc toute combinaison linéaire de a et b Application directe 1 Soit n un entier naturel non nul Montrer que n (1+=) 2 Soit n
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• Divisibilité Combinaison linéaire 1 Soit a et n deux entiers naturels tels que a divise 3n+8 et 7n+13 Déterminer les valeurs possibles de a Combinaison linéaire 2 Déterminer les entiers relatifs n tels que n–2 divise n2+ 4 Les diviseurs associés x et y sont des entiers relatifs Résoudre l'équation x2=4 y2+3 La parité
Comment calculer la propriété d'une combinaison linéaire?
Propriété (combinaisons linéaires) : Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si c divise a et b alors c divise ma + nb où m et n sont deux entiers relatifs. Démonstration : Si c divise a et b alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que a = kc et b = k'c.
Comment calculer une combinaison linéaire ?
La combinaison linéaire 1 des vi de coefficients les ai est alors 2 la somme ? i?I aivi (en particulier, une combinaison linéaire ne portant sur aucun vecteur est la somme vide, égale au vecteur nul ). Une « relation de dépendance linéaire » est une combinaison linéaire égale au vecteur nul.
Quels sont les coefficients de la combinaison linéaire ?
Les coefficients de la combinaison linéaire sont maintenant des fonctions que l'on cherche à déterminer. C'est une simple généralisation du cas n=2, cependant il existe une reformulation matricielle. où est la dérivée k -ième de .
Comment appelle-t-on une combinaison linéaire?
Combinaison linéaire. Combinaison linéaire Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs. Ces vecteurs peuvent être décomposés en un produit de vecteur par un scalaire. Toute combinaison de la forme a + b est appelée combinaison linéaire de et .
Méthodes divisibilité
1 Divisibilité
Question type
Déterminer n tels quean+bdivisecn+d
Méthode
On sait quean+bdivisean+betcn+d. On va donc trouver une combinaison des deux qui supprime les n . Ainsi ,an+bsera diviseur d"un nombre . On pourra trouver les valeurspossibles de n . On n"oubliera pas de vérifier que les valeurs trouvées répondent bien à la
questionExercice résolu
Déterminer les entiers naturels n tels quen+ 1divisen+ 13: •Combinaison linéaire qui annule les n :n+ 13-(n+ 1) = 12. •Les diviseurs de 12 sont 1, 2 , 3 ,4 , 6 et 12 . •n+ 1doit être égal à ces diviseurs . On doit donc résoudre : n+ 1 = 1??n= 0 oun+ 1 = 2??n= 1 oun+ 1 = 3??n= 2 oun+ 1 = 4??n= 3 oun+ 1 = 6??n= 5 oun+ 1 = 12??n= 11 •On doit vérifier maintenant que les valeurs possibles de n fonctionnent , autrement dit , quand on remplace n par la valeur trouvée , est-ce quen+ 1divise bienn+ 13.En détail pour la première : sin= 0, alorsn+ 1 = 1etn+ 13 = 13et 1 divise bien 13 . Donc la première valeur est acceptée . On les vérifie toutes . Dans cet exemple , elles sont toutes acceptées . •Conclusion : Les valeurs de n cherchées sont 0 , 1 , 2 , 3 , 5 et 11 .Attention
La phase de vérification est très importante car on ne travaille pas par équivalence . On peut donc trouver des valeurs qui divisent la combinaison linéaire mais pas les éléments qui la composent . Exemple : 3 divise2 + 4et pourtant 3 ne divise ni 2 , ni 4 1Méthodes divisibilité
2 Division euclidienne
Question type
Déterminer selon les valeurs de n le reste de la division euclidienne dean+bparcn+bMéthode
On commence par écrire la division simple , par exemple3n+ 5 = 3(n+ 1) + 2 Ensuite , on vérifie que le reste est positif . Si ce n"est pas lecas , on diminue le quotient pour pouvoir augmenter le reste .Puis , on résout l"inéquation pour savoir si le reste est bienplus petit que le diviseur : ici ,
2< n+ 1
Enfin , on étudie les autres valeurs de n par disjonction des cas .Exercice résolu
Soit n un entier naturel . Déterminer selon les valeurs de n lereste de la division euclidienne de7n+ 5par3n+ 1 •On a immédiatement :7n+ 5 = 2(3n+ 1) +n+ 3 •On doit avoirn+ 3>0??n >-3. Pas de souci puisque n est un entier naturel .•Il faut regarder maintenant pour quelles valeurs de n ,n+3<3n+1??2<2n??1< n. On peut donc conclure déjà que pourn >1
, le reste de la division euclidienne de7n+ 5par3n+ 1estn+ 3•Etudions les autres valeurs de n par disjonction des cas :Sin= 1, alors12 = 4×3 + 0donc le reste est 0 .
Sin= 0, alors5 = 1×5 + 0donc le reste est 0
•Conclusion : sin >1, le reste estn+ 3; sinon , le reste est 0 .Attention
Ne pas oublier l"étape de disjonction s"il y a d"autres valeurs de n non traitées . 2Méthodes divisibilité
3 Congruences
Question type
Déterminer les restes dekndans la division euclidienne par a .Méthode
On commence par calculer les puissances de k en utilisant lescongruences pour en trouver une égale à 1 modulo a . Ensuite , on applique les propriétés des puissances .Exercice résolu
Déterminer les différents restes possibles de la division euclidienne de2npar 17. •On commence par chercher une valeur de n telle que2n≡1 [17]. On a :22= 4,23= 8,24= 16. Or on sait que16≡ -1 [17]et si on met-1au carré , on trouve 1 !! Eurêka ! (24)2≡1 [17]donc28equiv1 [17]
•Maintenant , on passe aux puissances égales aux multiples de8 : (28)k≡1k[8]et donc28k≡1 [17].
•Et les autres puissances :28k+1= 28k×2≡2 [17]. 28k+2= 28k+1×2≡4 [17].
28k+3= 28k+2×2≡8 [17].
28k+4= 28k+3×2≡16 [17]≡ -1 [17].
28k+5= 28k+4×2≡ -2 [17]≡15 [17].
28k+6= 28k+5×2≡ -4 [17]≡13 [17].
28k+7= 28k+6×2≡ -8 [17]≡9 [17].
•La conclusion , on liste les résultats :Le reste de la division euclidienne de2npar 17 est :
Sin= 8k: 1 ; sin= 8k+ 1: 2 ; sin= 8k+ 2: 4 ; sin= 8k+ 3: 8 ; sin= 8k+ 4:16 ; sin= 8k+ 5: 15 ; sin= 8k+ 6: 13 et sin= 8k+ 7: 9 avec k entier relatif .
Attention
1. On peut utiliser les valeurs négatives pour faire les calculs avec les congruences (
quand c"est plus simple ) mais si la question demande un reste, faire attention de bien donner les réponses positives .2. Ne pas négliger la rédaction . Passer directement de quelques calculs de puissances
et généraliser directement les formules sans les étapes 2 et3 est considéré comme une conjecture . 3quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] exercice combinaison linéaire
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