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Cours de mathématiques

M22 Algèbre linéaire¸¢uu

vuÅv¡u

SommaireExo7

1Systèmes linéaires. ................................................3

1 Intr oductionaux systèmes d"équations linéaires 3 2

Théorie des systèmes linéaires

7 3

R ésolutionpar la méthode du pivot de Gauss

10

2Matrices. ........................................................16

1

Définition

16 2

Multiplication de matrices

19 3

Inverse d"une matrice : définition

24
4

Inverse d"une matrice : calcul

27
5 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires 29
6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques 36

3L"espace vectorielRn.............................................43

1

V ecteursde Rn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2

Ex emplesd"applications linéaires

46
3

P ropriétésdes applications linéaires

52

4Espaces vectoriels. ..............................................58

1

Espace vectoriel (début)

58
2

Espace vectoriel (fin)

62
3

Sous-espace vectoriel (début)

66
4

Sous-espace vectoriel (milieu)

70
5

Sous-espace vectoriel (fin)

73
6

Application linéaire (début)

80
7

Application linéaire (milieu)

82
8

Application linéaire (fin)

85

5Dimension finie. .................................................92

1

F amillelibre

92
2

F amillegénératrice

96
3 Base 99
4

Dimension d"un espace vectoriel

105
5

Dimension des sous-espaces vectoriels

110

6Matrices et applications linéaires. ...............................114

1

R angd"une famille de vecteurs

114
2

Applications linéaires en dimension finie

120
3

Matrice d"une application linéaire

126
4

Changement de bases

133

7Vector products. ................................................141 Licence Creative Commons BY-NC-SA 3.0

FR

1 Systèmes linéairesExo7

1.

Introduction aux systèmes d"équations linéaires L"algèbre linéaire est un outil essentiel pour toutes les branches des mathématiques appliquées,

en particulier lorsqu"il s"agit de modéliser puis résoudre numériquement des problèmes issus de

divers domaines : des sciences physiques ou mécaniques, des sciences du vivant, de la chimie, de l"économie, des sciences de l"ingénieur,... Les systèmes linéaires interviennent dans de nombreux contextes d"applications car ils forment

la base calculatoire de l"algèbre linéaire. Ils permettent également de traiter une bonne partie de

la théorie de l"algèbre linéaire en dimension finie. C"est pourquoi le présent cours commence avec

une étude des équations linéaires et de leur résolution.

Ce chapitre a un but essentiellement pratique : résoudre des systèmes linéaires. La partie théo-

rique sera revue et prouvée dans le chapitre " Matrices ». 1.1.

Exemple : deux droites dans le plan

L"équation d"une droite dans le plan (Oxy) s"écrit axÅbyAEe

oùa,betesont des paramètres réels. Cette équation s"appelleéquation linéairelinéaire

(équation) dans les variables (ou inconnues)xety.

Par exemple, 2xÅ3yAE6 est une équation linéaire, alors que les équations suivantes ne sont pas

des équations linéaires :

2xÅy2AE1 ouyAEsin(x) ouxAEpy.

Considérons maintenant deux droitesD1etD2et cherchons les points qui sont simultanément sur ces deux droites. Un point (x,y) est dans l"intersectionD1\D2s"il est solution du système : axÅbyAEe cxÅdyAEf(S)

Trois cas se présentent alors :

Systèmes linéaires4

1.Les droitesD1etD2se coupent en un seul point. Dans ce cas, illustré par la figure de gauche,

le système (S) a une seule solution. 2. Les droitesD1etD2sont parallèles. Alors le système (S) n"a pas de solution. La figure du centre illustre cette situation. 3.

Les droitesD1etD2sont confondues et, dans ce cas, le système (S) a une infinité de solutions.xy

D 1D 2xy D 2D 1xy D 1AED2

Nous verrons plus loin que ces trois cas de figure (une seule solution, aucune solution, une infinité

de solutions) sont les seuls cas qui peuvent se présenter pour n"importe quel système d"équations

linéaires. 1.2.

Résolution par substitution

Pour savoir s"il existe une ou plusieurs solutions à un système linéaire, et les calculer, une première

méthode est lasubstitution. Par exemple pour le système :

3xÅ2yAE1

2x¡7yAE ¡2(S)

Nous réécrivons la première ligne 3xÅ2yAE1 sous la formeyAE12

¡32

x. Et nous remplaçons (nous substituons) leyde la seconde équation, par l"expression12

¡32

x. Nous obtenons un système équi- valent :( yAE12

¡32

x

2x¡7(12

¡32

x)AE ¡2 La seconde équation est maintenant une expression qui ne contient que desx, et on peut la résoudre :( yAE12

¡32

x (2Å7£32 )xAE ¡2Å72 yAE12

¡32

x xAE325 Il ne reste plus qu"à remplacer dans la première ligne la valeur dexobtenue : yAE825 xAE325 Le système (S) admet donc une solution unique (325 ,825 ). L"ensemble des solutions est donc

SAE½µ325

,825 1.3.

Exemple : deux plans dans l"espace

Dans l"espace (0xyz), une équation linéaire est l"équation d"un plan : axÅbyÅczAEd

Systèmes linéaires5L"intersection de deux plans dans l"espace correspond au système suivant à 2 équations et à 3

inconnues :( axÅbyÅczAEd a

0xÅb0yÅc0zAEd0

Trois cas se présentent alors :

-les plans sont parallèles (et distincts) et il n"y a alors aucune solution au système, -les plans sont confondus et il y a une infinité de solutions au système, -les plans se coupent en une droite et il y a une infinité de solutions.Exemple 1 1.

Le système

2xÅ3y¡4zAE7

4xÅ6y¡8zAE ¡1

n"a pas de solution. En effet, en divisant par 2 la seconde équation, on obtient le système équivalent :

2xÅ3y¡4zAE7

2xÅ3y¡4zAE ¡12

. Les deux lignes sont clairement incompatibles : aucun (x,y,z) ne peut vérifier à la fois

2xÅ3y¡4zAE7 et 2xÅ3y¡4zAE¡12

. L"ensemble des solutions est doncSAE?. 2.

Pour le système

2xÅ3y¡4zAE7

4xÅ6y¡8zAE14

, les deux équations définissent le même plan !

Le système est donc équivalent à une seule équation : 2xÅ3y¡4zAE7. Si on récrit cette

équation sous la formezAE12

xÅ34 y¡74, alors on peut décrire l"ensemble des solutions sous la forme :SAE©(x,y,12 xÅ34 y¡74 )jx,y2Rª. 3.

Soit le système (

7xÅ2y¡2zAE1

2xÅ3yÅ2zAE1. Par substitution :

7xÅ2y¡2zAE1

2xÅ3yÅ2zAE1()(

zAE72 xÅy¡12

2xÅ3yÅ2¡72

xÅy¡12

¢AE1()(

zAE72 xÅy¡12

9xÅ5yAE2

zAE72 xÅy¡12 yAE¡95 xÅ25 zAE1710 x¡110 yAE¡95 xÅ25 Pour décrire l"ensemble des solutions, on peut choisirxcomme paramètre :

SAE½µ

x,¡95 xÅ25 ,1710 x¡110 jx2R¾ Géométriquement : nous avons trouvé une équation paramétrique de la droite définie par l"intersection de deux plans.

Du point de vue du nombre de solutions, nous constatons qu"il n"y a que deux possibilités, à savoir

aucune solution ou une infinité de solutions. Mais les deux derniers cas ci-dessus sont néanmoins

très différents géométriquement et il semblerait que dans le second cas (plans confondus), l"infinité

de solutions soit plus grande que dans le troisième cas. Les chapitres suivants nous permettront de rendre rigoureuse cette impression.

Si on considère trois plans dans l"espace, une autre possibilité apparaît : il se peut que les trois

plans s"intersectent en un seul point.

Systèmes linéaires6

1.4.

Résolution par la méthode de Cramer On note¯¯a bc d¯¯AEad¡bcledéterminant. On considère le cas d"un système de 2 équations à 2

inconnues :( axÅbyAEe cxÅdyAEf Siad¡bc6AE0, on trouve une unique solution dont les coordonnées (x,y) sont : xAE¯

¯¯¯¯e b

f d¯

¯¯¯¯a b

c d¯

¯¯¯¯yAE¯

¯¯¯¯a e

c f¯

¯¯¯¯a b

c d¯

Notez que le dénominateur égale le déterminant pour les deux coordonnées et est donc non nul.

Pour le numérateur de la première coordonnéex, on remplace la première colonne par le second

membre ; pour la seconde coordonnéey, on remplace la seconde colonne par le second membre.Exemple 2

Résolvons le système

tx¡2yAE1

3xÅtyAE1suivant la valeur du paramètret2R.

Le déterminant associé au système est¯¯t¡23t¯¯AEt2Å6 et ne s"annule jamais. Il existe donc une

unique solution (x,y) et elle vérifie : xAE¯

¯¯¯¯1¡2

1t¯

¯¯¯¯t

2Å6AEtÅ2t

2Å6,yAE¯

¯¯¯¯t1

3 1¯

¯¯¯¯t

2Å6AEt¡3t

2Å6.

Pour chaquet, l"ensemble des solutions estSAEn³tÅ2t

2Å6,t¡3t

2Å6´o

.1.5.Résolution par inversion de matrice Pour ceux qui connaissent les matrices, le système linéaire axÅbyAEe cxÅdyAEf est équivalent à

AXAEYoùAAEÃ

a b c d! ,XAEÃ x y! ,YAEÃ e f! Si le déterminant de la matriceAest non nul, c"est-à-dire siad¡bc6AE0, alors la matriceAest inversible et A

¡1AE1ad¡bcÃ

d¡b

¡c a!

et l"unique solutionXAE¡xy¢du système est donnée par

XAEA¡1Y.

Systèmes linéaires7

Exemple 3

Résolvons le système

xÅyAE1 xÅt2yAEtsuivant la valeur du paramètret2R.

Le déterminant du système est

¯¯1 1

1t2¯¯AEt2¡1.

Premier cas.t6AEÅ1ett6AE¡1.Alorst2¡16AE0. La matriceAAE¡1 1

1t2¢est inversible d"inverse

A¡1AE1t

2¡1¡t2¡1¡1 1¢. Et la solutionXAE¡xy¢est

XAEA¡1YAE1t

2¡1Ã

t2¡1

¡1 1!Ã

1 t! AE1t

2¡1Ã

t2¡t t¡1!

AEÃ

ttÅ11tÅ1! Pour chaquet6AE§1, l"ensemble des solutions estSAE©¡ttÅ1,1tÅ1¢ª.

Deuxième cas.tAE Å

1.Le système s"écrit alors :

xÅyAE1 xÅyAE1 et les deux équations sont identiques. Il y a une infinité de solutions :SAE©(x,1¡x)jx2Rª.

Troisième cas.tAE¡

1.Le système s"écrit alors :

xÅyAE1 xÅyAE ¡1 , les deux équations sont clairement incompatibles et doncSAE?.Mini-exercices 1. Tracer les droites et résoudre le système linéaire x¡2yAE ¡1

¡xÅ3yAE3

de trois façons différentes : substitution, méthode de Cramer, inverse d"une matrice. Idem avec(

2x¡yAE4

3xÅ3yAE ¡5.

2. Résoudre suivant l avaleur du paramètre t2R:(

4x¡3yAEt

2x¡yAEt2.

3. Discuter et résoudre suivant la valeur du paramètret2R: tx¡yAE1 xÅ(t¡2)yAE ¡1.

Idem avec

(t¡1)xÅyAE1

2xÅtyAE ¡1.2.Théorie des systèmes linéaires

2.1.

Définitions Définition 1

On appelleéquation linéairedans les variables (ouinconnues)x1,...,xptoute relation de la forme a

1x1Å¢¢¢ÅapxpAEb,(1.1)

oùa1,...,apetbsont des nombres réels donnés.

Systèmes linéaires8

Remarque

-Il importe d"insister ici sur le fait que ces équations linéaires sontimplicites, c"est-à-dire

qu"elles décrivent des relations entre les variables, mais ne donnent pas directement les valeurs que peuvent prendre les variables. Résoudreune équation signifie donc la rendreexplicite, c"est-à-dire rendre plus appa- rentes les valeurs que les variables peuvent prendre. On peut aussi considérer des équations linéaires de nombres rationnels ou de nombres complexes.SoitnÊ1 un entier.Définition 2

Unsystème denéquations linéaires àpinconnuesest une liste denéquations linéaires.On écrit usuellement de tels systèmes ennlignes placées les unes sous les autres.Exemple 4

Le système suivant a 2 équations et 3 inconnues : x

1¡3x2Åx3AE1

¡2x1Å4x2¡3x3AE9La forme générale d"un système linéaire denéquations àpinconnues est la suivante :

8>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>:a

11x1Åa12x2Åa13x3Å ¢¢¢ Åa1pxpAEb1(Ãéquation 1)

a

21x1Åa22x2Åa23x3Å ¢¢¢ Åa2pxpAEb2(Ãéquation 2)

............AE... a i1x1Åai2x2Åai3x3Å ¢¢¢ ÅaipxpAEbi(Ãéquationi) ............AE... a n1x1Åan2x2Åan3x3Å ¢¢¢ ÅanpxpAEbn(Ãéquationn) Les nombresaij,iAE1,...,n,jAE1,...,p, sont lescoefficientsdu système. Ce sont des données. Les nombresbi,iAE1,...,n, constituent lesecond membredu système et sont également des données.

Il convient de bien observer comment on a rangé le système en lignes (une ligne par équation)

numérotées de 1 ànpar l"indicei, et en colonnes : les termes correspondant à une même inconnue

xjsont alignés verticalement les uns sous les autres. L"indicejvarie de 1 àp. Il y a doncpcolonnes

à gauche des signes d"égalité, plus une colonne supplémentaire à droite pour le second membre.

La notation avec double indiceaijcorrespond à ce rangement : lepremierindice (icii) est le

numéro deligneet lesecondindice (icij) est le numéro decolonne. Il est extrêmement important

de toujours respecter cette convention.

Dans l"exemple

4 , on anAE2 (nombre d"équations = nombre de lignes),pAE3 (nombre d"inconnues

= nombre de colonnes à gauche du signe =) eta11AE1,a12AE¡3,a13AE1,a21AE¡2,a22AE4,a23AE¡3,

b1AE1 etb2AE9.

Systèmes linéaires9

Définition 3Unesolutiondu système linéaire est une liste depnombres réels (s1,s2,...,sp) (unp-uplet)

tels que si l"on substitues1pourx1,s2pourx2, etc., dans le système linéaire, on obtient une égalité. L"ensemble des solutions du systèmeest l"ensemble de tous cesp-uplets.Exemple 5

Le système

x

1¡3x2Åx3AE1

¡2x1Å4x2¡3x3AE9

admet comme solution (¡18,¡6,1), c"est-à-dire x

1AE¡18,x2AE¡6,x3AE1.

Par contre, (7,2,0) ne satisfait que la première équation. Ce n"est donc pas une solution du système.

En règle générale, on s"attache à déterminer l"ensemble des solutions d"un système linéaire. C"est

ce que l"on appellerésoudrele système linéaire. Ceci amène à poser la définition suivante.Définition 4

On dit que deux systèmes linéaires sontéquivalentss"ils ont le même ensemble de solutions.

À partir de là, le jeu pour résoudre un système linéaire donné consistera à le transformer en

un système équivalent dont la résolution sera plus simple que celle du système de départ. Nous

verrons plus loin comment procéder de façon systématique pour arriver à ce but. 2.2.

Différents t ypesde systèmes

Voici un résultat théorique important pour les systèmes linéaires.Théorème 1

Un système d"équations linéaires n"a soit aucune solution, soit une seule solution, soit une

infinité de solutions.

En particulier, si vous trouvez 2 solutions différentes à un système linéaire, alors c"est que vous

pouvez en trouver une infinité ! Un système linéaire qui n"a aucune solution est ditincompatible.

La preuve de ce théorème sera vue dans un chapitre ultérieur (" Matrices »). 2.3.

Systèmes homogènes

Un cas particulier important est celui dessystèmes homogènes, pour lesquelsb1AEb2AE¢¢¢AEbnAE

0, c"est-à-dire dont le second membre est nul. De tels systèmes sont toujours compatibles car ils

admettent toujours la solutions1AEs2AE ¢¢¢ AEspAE0. Cette solution est appeléesolution triviale.

Géométriquement, dans le cas 2£2, un système homogène correspond à deux droites qui passent

par l"origine, (0,0) étant donc toujours solution.

Systèmes linéaires10

Mini-exercices

1.Écrire un système linéaire de 4 équations et 3 inconnues qui n"a aucune solution. Idem

avec une infinité de solution. Idem avec une solution unique. 2. Résoudre le système ànéquations etninconnues dont les équations sont (Li) :xi¡ x iÅ1AE1 pouriAE1,...,n¡1 et (Ln) :xnAE1. 3.

Résoudre les syst èmessuivants :

8>< :x

1Å2x2Å3x3Å4x4AE0

x

2Å2x3Å3x4AE9

x

3Å2x4AE08

:x

1Å2x2Å3x3AE1

x

1Åx2Åx3AE2

x

1¡x2Åx3AE38

>>>:x

1Åx2AE1

x

2Åx3AE2

x

3Åx4AE3

x

1Å2x2Å2x3Åx4AE0

4. Montrer que si un système linéairehomogènea une solution (x1,...,xp)6AE(0,...,0), alors il admet une infinité de solutions.3.Résolution par la méthode du pivot de Gauss 3.1.

Systèmes échelonnés Définition 5

Un système estéchelonnési :

le nombre de coefficients nuls commençant une ligne croît strictement ligne après ligne.

Il estéchelonné réduitsi en plus :

-le premier coefficient non nul d"une ligne vaut 1 ;quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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