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Ceci est le cours d'algèbre linéaire enseigné à Toulouse à un bon millier d'un cube algèbres de von Neumann de dimension finie inégalité de Mar£enko 



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La seconde partie est entièrement consacrée à l'algèbre linéaire site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices corrigés 



Algèbre linéaire Chap 04 : cours complet

Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Cours complet - 2 - Définition 6 1 et théorème 6 1 : les espaces vectoriels de matrices Définition 6 2 : produit de matrices Théorème 6 2 : structure de groupe et d’algèbre pour Mn(K) Définition 6 3 : matrice transposée d’une matrice Définition 6 4 : matrice symétrique antisymétrique



Notes de cours - Algèbre Linéaire - CNRS

Les Bases de l’algèbre linéaire 2 1 Espacesvectoriels C’est Giuseppe Peano vers la ?n du 19ème siècle qui dégage le premier les notions d’espaces vectoriels et d’applications linéaires abstraites que nous étudionsdanscecours Les éléments d’un espace vectoriels sont appelés vecteurs Comme les vec-



Les Bases de l’algèbre linéaire - CNRS

L’algèbre linéaire s’est développé au début du 20ème siècle pour étudier des problèmes d’analyse fonctionnelle Ces problèmes font intervenir des espaces de dimension in?nie Plus récemment des problèmes de statistiques et d’informa-tiques ont motivé le développement de nouveaux résultats d’algèbre linéaire en



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L’algèbre linéaire est un champ mathématique utilisé dans pratiquement toutes les branches scientifiques En effet beaucoup de problèmes vérifient la propriété suivante : si u et v sont deux solutions alors u est aussi une solution ainsi que si k est un nombre réel ou complexe

Qu'est-ce que l'algèbre linéaire?

Introduction L’algèbre linéaire est un champ mathématique utilisé dans pratiquement toutes les branches scientifiques. En effet, beaucoup de problèmes vérifient la propriété suivante : si uet vsont deux solutions alors uest aussi une solution, ainsi que si kest un nombre réel ou complexe.

Quels sont les transformations linéaires ?

Transformations linéaires : noyau, image, changement de base, théorème du rang, matrices symétriques, orthogonales, définies positives, aspect géométrique. Orthogonalité, méthode des moindres carrés. Valeurs et vecteurs propres : diagonalisation, interprétation géométrique, applications.

Qu'est-ce que cela signifie qu'un problème est linéaire?

En effet, beaucoup de problèmes vérifient la propriété suivante : si uet vsont deux solutions alors uest aussi une solution, ainsi que si kest un nombre réel ou complexe. De tels problèmes sont dits linéaires et sont plus faciles à résoudre que certains problèmes généraux. +v k×u

[PDF] Cours dalgèbre linéaire 2 ème année duniversité x=x1e1+···+xqeq. e

1= [1,0,...,0]T, e2= [0,1,...,0]T, ...,ep= [0,0,...,1]T

e=Iq.???? ?? [a(x)]f= [a]fe[x]e.????? [b◦a]ge= [b]g f[a]fe.????? f ????x?E?? ? [x]e?= [id]e? e[idE]e=P-1[x]e.????? [a]f? e ?= [idF]f? f[a]fe[idE]ee?=Q-1[a]feP.????? [a]e? e ?= [idE]e? e[a]ee[idE]ee?=P-1[a]eeP.????? q

D= diag(λ1Im1,...,λpImp).

A= diag(A11,...,App).

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1ba 0 1? =?a b c d? ?Ip0 C 1Iq?? A0 0D1?? IpB1 0Iq? =?A B C D? ?Ip0 C 1Iq? C D? ??[b]f= [b1,...,bp]T.??e?= (e?1,...,e?q)??f?= (f?1,...,f?p)???? ??? ????? ?????? ??? e [a]ee=?A B 0C? m ik=p? j=1a ijbjk ?? ???? ?????(AB) =?q i=1? p

A=?1 0

1 1? , B=?1 0 0 2? , C=?1 1 0 1? ????? ??E? ????a?L(E).???????det[a]ee= det[a]e? e ?,???????[a]ee=?????[a]e? e ???? ?????? ????? ? ???? ???Aij= 0??i > j.????? detA= detA11detA22...detAnn. 0A22?

σ?Sp?(σ)f(σ)????

f(σ) =p 1? i=1a iσ(i)p i=p1+1a iσ(i). ??????(σ1σ2) =?(σ1)?(σ2)?? ?????? ? detA= (?

1?(σ1)p

1? i=1a iσ1(i))(?

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i=p1+1a iσ2(i)) = detA11detA22. A=? ??A

11A12... A1n

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0B22? B 11=? ??A

11A12... A1,n-1

0A22... A2,n-1

0 0... An-1,n-1?

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T?{1,...,q}detATdetBT?.

det(DA+B) =?

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i=1c iσ(i)=?

σ?Sq?(σ)q?

i=1(λiaiσ(i)+biσ(i)).????? det(DA+B) =?

T?{1,...,q}c

T? j?Tλ j ?? ???cT???? ????K.???? ?????? ??????? ???cT= detATdetBT?.?? ??????? ????? ...=λq= 0.?? ??????? ????? ??????? det(DA+B) =?

σ?Sq?(σ)k?

i=1(λiaiσ(i)+biσ(i))q? i=k+1b iσ(i).

1...λk?????k

i=1(λiaiσ(i)+biσ(i))?q S k i=1a iσ1(i)k i=k+1b iσ2(i).

1?Sk?(σ1)k?

i=1a iσ1(i)?

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i=k+1b iσ2(i)) = detA{1,...,k}detB{k+1,...,q} det ?A B C D? = det(A)det(D-CA-1B). det?A B C D? = det(AD-CB). p??q.??????? ???XTAY=?????(AY XT). ?????? ???b?→?????b). det ?A-B B A? =|det(A+iB)|2. ?IqiIq iI qIq?? A-B B A?? IqiIq iI qIq? -1 P kXPk=xkkPk??f(XPk) =f(PkXPk) =xkkf(Pk). U kP1U-1 k.???? ????c=f(P1).??????? ? ?????? ?? ?? ???c=f(Pk)???? ????k= 1,...,n. f(X) =c?????X. ???|T|= 0,1,≥2. ???? ????? ? ?? ?? ???????detD?= 0.??????? ? ?????? ?? ?? ??????? ?? ??????? ??? det(D-Jq) =μ1···μq?

1-1μ

1- ··· -1μ

q? s?Sas.???? C= [c1,...,cq]??? ??????? ?????? ???????q????? ???cj? {a,b}???? ????j.???? ????

S={j;cj=a}??S?={j;cj=b}.??????? ??? ??λ?K?????

det(λIq+C) =λq+ (aS+bS?)λq-1+ (aSbS?-aS?bS)λq-2.

T;|T|=2detCT.

??????? ???????q A det(AB) =?

T?TdetATdetBT.

T?TcT?

j?Tλj.??????? ???cT= det(AB)S×R=?

T?TdetAS×TdetBT×R.

???ker(a-λidE)?={0} ? ?x?E; (a-λidE)(x) = 0? ?x?E;a(x) =λx.?? ????? x

1=...=xp= 0.???? ?? ??? ?? ???? ??????F??E???? ?F=F1+···+Fp??? ??????

L j(X) =? i?=j(X-λi)? i?=j(λj-λi). ???P(λj) =aj.??????? ? ?????P=a1L1+···+apLp:?? ?????? ?? ??????? ??????? ???P

A= [a]ee?????[ak]ee=Ak.

P(a) =c0idE+c1a+c2a2+···+cnan.

?? ???? ????? ??A= [a]ee????? [P(a)]ee=P(A) =c0Iq+c1A+c2A2+···+cnAn. R=? ????0 1 0...0

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[P(r)]ee=P(R) =a0Iq+a1R+···+aq-1Rq-1=? ????a

0a1a2... aq-1

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x

F=Eλ1? ···Eλp.

dimE≥dimF= dimEλ1+···+ dimEλp≥p. xy ???????1,j,j2???? ??? ??????? ??????? ??a. ??????0n0 0...0 0 0

1 0n-1 0...0 0 0

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0 0 0 0... n-1 0 1

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A=12 (A+AT) +12 (A-AT). ????a?L(E,F)??b?L(F,E).??? ?? ??????? ???(idF-ab)-1??????? ??????? ??? (id P a(X) = det? ??a

11-X a12... a1q

a

21a22-X ... a2q

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