[PDF] ENS Lyon Mathématiques M1 Analyse avancée Examen du 8

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ENS LyonMathématiques

M1 Analyse avancée

Examen du 8 janvier 2013 : Correction succincte

Durée : 3 heures.

La consultation des notes de cours est autorisée.

Exercice 1

Montrer que la fonctionf(x1;x2) =1x

1+ix2définit un élément deD0(R2). On pose@=12

(@@x

1+i@@x

2).

Calculer

@fau sens des distributions.

CORRECTION

Voir le livre de Claude Zuily, "Problèmes de distributions avec solutions détaillées", exercice 29.

Exercice 2

Soita2R,a6= 0. Soitf(x) =h(jxj)une fonction radiale, oùh2C2(]0;1[)etx2R3, solution classique pourx6= 0de l"équation f+a2f= 0;(1)

1. Pourr >0, on poseg(r) =rh(r). Écrire l"équation différentielle d"ordre 2 à laquelle satisfaith(r)

et l"équation à laquelle satisfaitg(r).

2. Trouver toutes les solutions classiques radialesfdansR3nf0gde (1).

3. Démontrer que toutes les solutionsfobtenues au point précédent définissent des distributions

dansR3.

4. Démontrer que dansD0(R3)on a

( +a2)f=c; oùcest une constante que l"on déterminera.

CORRECTIONS

Voir le livre de Claude Zuily, "Problèmes de distributions avec solutions détaillées", exercice 31.

Exercice 3

SoitMle sous-espace de`1constitué des suites qui convergent en moyenne de Cesaró, i.e. M=( x= (xn)2`1: limn!11n+ 1n X k=0x kexiste) Pourx= (xn)2`1, on notep(x) = limsupxn, et on définit l"opérateur de décalageT:`1!`1par

T((xn)n>0) = ((xn+1)n>0.

1. Montrer quepest sous-additive et positivement homogène.

2. Montrer qu"il existe2(`1)telle que

(a) Pour toutx2`1,(Tx) = (x). (b) Pour toutx= (xn)2`1,liminfxn6(x)6limsupxn.

3. SoitAun opérateur sur un espace de HilbertH. Montrer l"équivalence entre les propriétés suivantes

(a) Il existea;b >0tels que, pour toutn2Netx2 H, on aitakxk6kAnxk6bkxk. (b) Il existe un espace de HilbertH0, un opérateur unitaireUsurH0et un isomorphismeS:H ! H

0tels queA=S1US.

Indication :on pourra considérer[x;y] := ((hAnx;Anyi)n2N).

CORRECTION

1. C"est évident

2. Soit la forme linéaire`:M!Rdéfinie par`(x) = lim1n+1P

n k=0xk. On a`6p, donc par le théorème de prolongement de Hahn-Banach, on peut prolonger`en une forme linéairesur(`1) telle que6p. En appliquant cette inégalité àx, on obtientliminfx6(x)6limsupx. On en déduit également quej(x)j6kxk1, ce qui montre queest continue. Enfin, pour toutx2`1, on a`(xTx) = 0, ce qui montre que(x) = (Tx).

3. L"implication (b)=)(a) est facile. Pour l"autre implication, définissons un produit scalaire surH

par [x;y] = (hAnx;Anyi);

et soitjjjxjjj=p[x;x]. C"est une norme hilbertienne qui est (par a.) équivalente à la norme intiale

surH. En particulier(H;jjj:jjj)est complet. On choisitS=id: (H;k:k)!(H;jjj:jjj). Il reste à voir quejjjAxjjj=jjjxjjj, ce qui est une conséquence de 2(a).

Exercice 4

Si(An)est une suite de parties non vides deC, on définitliminfAnetlimsupAnpar

2liminfAn() 8n2N;9n2Ant.q.= limn:

2limsupAn() 8n2N;9n2Ant.q.est une valeur d"adhérence de(n):

SoitHun espace de Hilbert complexe, etTnune suite d"opérateurs surHqui converge versTpour la norme-opérateur.

1. Montrer que

limsup(Tn)(T):

2. Montrer que si l"on suppose de plus que les opérateurs(Tn)sont normaux, alors

(T)liminf(Tn):

3. Soit2R, et(en)n2Zune base hilbertienne deH. SoitTl"opérateur défini parTen=en+1si

n6= 0, etTe0=e1. Calculer(T)et en déduire que la conclusion de la question 2. peut être fausse si l"on ne suppose pas que les opérateurs sont normaux.

CORRECTION

1. Soitn2(Tn), et soit= limnk. Alors pour toutn, l"opérateurTnknkIdn"est pas inversible,

et comme l"ensemble des opérateurs inversibles est ouvert, on en déduit queTIdn"est pas inversible, donc2(T).

2. Soit62liminf(Tn), et montrons queTIdest inversible. Par hypothèse, il existe" >0tels

qued(;(Tn))> "pour une infinité den. Quitte á extraire, on suppose qued(;(Tn))> "pour toutn. On a alorsd(0;(TnId))> ", ce qui montre que le rayon spectral de(TnId)1 est majoré par1=". Comme(TnId)1est normal (c"est une limite de polynômes enTn), on a k(TnId)1k61="(pour un opérateur normal, le rayon spectral coïncide avec la norme). On vérifie que la suite(TnId)1est de Cauchy :

2kTnTmk:

SoitB= lim(TnId)1, alors(TId)B=B(TId) = Id, donc62(T).

3. On akTnk= max(1;jj), et donc(T) = limkTnk1=n= 1. Si6= 0,Test inversible et on calcule

aussikTnk= max(1;1=jj), donc(T1) = 1. On en déduit que(T)est inclus dans le cercle unité. Soitest un nombre complexe de module1etUl"opérateur unitaire défini parUen=nen. On calcule queUTU=T, ce qui montre que(T) =(T), et donc le spectre deTest égal au cercle-unité (puisqu"il est non vide). Si= 0, alors tout nombre complexevérifiantjj<1est une valeur propre deT0, donc(T0) est égal au disque-unité. CommeTtend versT0quandtend vers0, on a bien le contre-exemple recherché.

Exercice 5

SoitHun espace de Hilbert complexe séparable, etTun opérateur surH. On définit l"image numérique

deTcomme i(T) =fhTx;xi:x2 H;kxk= 1g C: 2

1. SiLest un opérateur auto-adjoint surH, montrer que l"ensemble

fx2 H:kxk= 1ethLx;xi= 0g est connexe.

2. En déduire que l"ensemblei(T)est convexe dansC'R2.

Indication :montrer que l"intersection avec toute droite deR2est connexe.

3. Montrer que(T)i(T), oùi(T)désigne l"adhérence dei(T).Indication :Montrer d"abord que

si2(T), alors ou bienTIdn"est pas d"image dense, ou bieninffkTxxk:kxk= 1g= 0.

4. Montrer que siTest normal, alorsconv(T) =i(T)

CORRECTION :

1. Par le théorème spectral, on se ramène au cas oùLest l"opérateur de multiplication par une fonction

h2L1()sur un espaceL2(). On a alorshLf;fi=Rhjfj2d. Pourf;g2L2(), le segment t7!p(1t)jfj2+tjgj2donne la convexité recherchée.

2. Commei(T+Id) =i(T) +, on peut se ramener à montrer que l"intersection dei(T)avec

l"axe des réels est connexe. Soita;b2R\i(T), etx;ydes vecteurs unités tels quehTx;xi=aet hTy;yi=b. ÉcrivonsT=T1+iT2, avecT1etT2autoadjoints. On ahT2x;xi=hT2y;yi= 0, et la question1appliquée avecL=T2implique que[x;y]i(T).

3. Supposons queTIdsoit d"image dense et qu"il existe une constantectelle quek(TId)xk>

ckxk. AlorsTIdest injectif, et d"image fermée (prendre une suite de Cauchy dans l"image ...) donc surjectif, et bijectif.

Soit2(T). Il y a deux possibilités

- SiTIdest d"image non dense, alors(TId)n"est pas injectif, donc (prendre un vecteur propre)2i(T), ce qui est équivalent à2i(T). - Sinon, il existe une suite(xn)de vecteurs unitaires aveclimTxnxn= 0, et donc= limhTxn;xni 2i(T).

4. On a vu que(T)i(T). Commei(T)est convexe, son adhérence l"est aussi, doncconv(T)i(T).

On remarque queconv((T))est convexe compact (en dimension finie, l"enveloppe convexe d"un

compact est compact, on peut le voir via le théorème de Carathéorodory). Si l"inclusion était stricte,

par séparation, il exiseraitx2i(T)et une formeR-linéaire surCR2, de la formez7! <(z) pour un2C, séparantfxgde(T). Autrement dit, on aurait max

2(T)<()<<(x):

Par le théorème spectral, on peut supposer queTest l"opérateur de multiplication par une fonction

h2L1()sur un espaceL2(). Commex2i(T), il existef2L2()avecRjfj2d= 1etRhjfj2=x, donc max

2(T)<()<<(x) =Z

<(h)d: Mais c"est absurde carh2(T)-p.p., et donc<(h)6max2(T)<()-p.p. 3quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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