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Universit´e Paris-Nord Ann´ee 2012-2013

Institut Galil´ee Licence de Math´ematiques - L3

D´epartement de Math´ematiques C. Basdevant - F. CuvelierCorrig´e de l"examen d"Analyse Num´erique

du jeudi 10 janvier 2013

Dur´ee : 3h

Seul document autoris´e une feuille manuscrite recto de notes personnellesExercice I

1.Trouvez une formule d"int´egration num´erique sur le segment [0,1] de la forme :

1 0 f(t)dt≈I(f) =αf(0) +βf(1) +γf?(0) +δf?(1)

qui soit exacte pour les polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a trois.Corrig´e: Ecrivons que la formule est exacte pour les monˆomes de degr´e 0 `a 3 :

f(x) = 1 1 =α+β f(x) =x12 f(x) =x213 =β+ 2δ f(x) =x314 =β+ 3δ ce qui donneα=12 , β=12 , γ=112 , δ=-112

2.SoitPf(x) le polynˆome d"interpolation d"Hermite tel quePf(0) =f(0),Pf(1) =

f(1),P?f(0) =f?(0) etP?f(1) =f?(1). D´emontrez queI(f) =?1

0Pf(x)dx.Corrig´e:Pfest un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a trois, la formule est donc

exacte pourPf, commefetPfco¨ıncident aux points de la formule, la propri´et´e est vraie.3.D´emontrez la formule d"erreur pourf?C4([0,1]) :

F(t) =f(t)-Pf(t)-f(x)-Pf(x)x

2(x-1)2t2(t-1)21

Fa trois z´eros distincts (0,x,1), par RolleF?a deux z´eros (distincts de 0,x,1), d"autre part, par les propri´et´es d"interpolation,F?s"annule en 0 et 1, donc a quatre z´eros distincts. Par applications successives du th´eor`eme de Rolle,F(4)s"annule en

E(f) =|?

1 0 x?[0,1]|f(4)(x)|? 1 014! t2(t-1)2dt=1720 sup

x?[0,1]|f(4)(x)|5.En d´eduire une formule d"int´egration num´erique sur le segment [a,b] de la forme :

b a f(x)dx≈M(f) =λf(a) +μf(b) +νf?(a) +ξf?(b)

qui soit exacte pour les polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a trois.Corrig´e: Posonsφ(t) =f(a+t(b-a)), alors (b-a)?1

0φ(t)dt=?b

af(x)dx. La transformation affine conservant le degr´e des polynˆomes, la formule M(f) = (b-a)I(φ) = (b-a)[αf(a) +βf(b) +γ(b-a)f?(a) +δ(b-a)f?(b)] est exacte pour les polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a trois. D"o`u

λ=b-a2

, μ=b-a2 , ν=(b-a)212 , ξ=-(b-a)212

6.Donnez une majoration de|?b

b a sup x?[0,1]|φ(4)(x)|=(b-a)5720 sup x?[a,b]|f(4)(x)|7.Soit [A,B] un segment deRetxi=A+ihpouri= 0..Navech=B-AN . Soit f?C4([A,B]), on pose :

U(f) =h?

f(x0)2 +N-1? i=0f(xi) +f(xN)2 h212 (f?(x0)-f?(xN))

Montrez que

B A sup x?[A,B]|f(4)(x)|2 Corrig´e: La formule compos´ee s"obtient en sommant les formules ´el´ementaires sur les intervalles [xi,xi+1]. L"erreur est major´ee par la somme des erreurs sur chacun

des intervalles ´el´ementaires.8.Comparez la formule d"int´egration pr´ec´edente et son erreur `a la formule des trap`ezes

compos´ee.Corrig´e: La formule des trap`ezes compos´ee est : B A f(x)dx=h? f(x0)2 +N-1? i=0f(xi) +f(xN)2 -(B-A)h212 f??(ξ)

Le terme correctif avec la d´eriv´ee premi`ere fait donc gagner deux ordres sur l"erreur.Exercice II

Soitε >0 etA(ε) la matricen×nd´efinie par :

A(ε) =(

((((((((((0 0 0.............0ε

1 0 0................0

0 1 0................0

.......0 1 0.......0 ................0 1 0 0 ...................0 1 0)

ou plus pr´ecis´ement : (ai,i-1= 1, pouri= 2,...,n),a1,n=ε, et tous les autres ´el´ements

sont nuls.1.Calculez les vapeurs propres deA(0) et deA(ε).Corrig´e: La matriceA(0) est une matrice triangulaire inf´erieure `a diagonale nulle,

elle est nilpotente, toutes ses valeurs propres sont nulles. Calculons le polynˆome caract´eristique deA(ε) : P

1-λ0..............0

0 1-λ ..............0

........0 1-λ0. . .0 ................0 1-λ0 .....................0 1-λ? En d´eveloppant le d´eterminant suivant la premi`ere ligne on obtient : P

ε(λ) =-λM(λ) + (-1)n-1εN(λ)3

avecM(λ) le d´eterminant d"une matrice triangulaire inf´erieure d"ordren-1 dont les ´el´ements diagonaux sont-λet doncM(λ) = (-λ)n, etN(λ) le d´eterminant de la matrice triangulaire sup´erieure d"ordren-1 dont les ´el´ements diagonaux sont 1, doncN(λ) = 1, d"o`u la formule : P

ε(λ) = (-1)n(λn-ε)

Les valeurs propres de la matriceA(ε) sont donc lesnracinesni`emesdeε2.Les matricesA(0) etA(ε) sont-elles diagonalisables surRou surC?Corrig´e:A(0) ´etant nilpotente n"est pas diagonalisable.A(ε) ayant toutes ses

valeurs propres distinctes deux `a deux, mais complexes, est diagonalisable surC mais pas surR.Exercice III Pour r´esoudre le syst`eme lin´eaireAx=b, o`uAest une matrice carr´ee d"ordren, on consid`ere la m´ethode suivante, dite m´ethode de Richardson. Soitr >0 etx0?Rn, on d´efinit la suitexk?Rnpar la formule de r´ecurrence : x k+1=xk-r(Axk-b)1.Montrez que cette m´ethode est du typeMxk+1=Nxk+bavecA=M-N, pr´ecisez

MetN. Puis donnez la matrice d"it´erationBde la m´ethode.Corrig´e: On trouveM=r-1IetN=r-1I-AetB=I-rA.2.PourAune matrice sym´etrique d´efinie positive(a)Donnez en la d´emontrant une condition n´ecessaire et suffisante surrpour que

la m´ethode converge.Corrig´e: Pour que la m´ethode converge il faut et il suffit que le rayon spectral

deBsoit inf´erieur strictement `a 1. Les valeurs propres deBse d´eduisant simplement de celles deA(qui sont r´eelles), cela s"´ecrit :-1<1-rλ <1 pour toute valeur propreλdeA. Ce qui donne, puisque les valeurs propres de Asont strictement positives, la condition 0< r <2λ . La condition n´ecessaire

et suffisante de convergence de la m´ethode est doncr <2ρ(A).(b)Montrez que la valeur optimale derest2λ

1+λno`uλ1etλnsont respectivement

la plus petite et la plus grande des valeurs propres deA.Corrig´e: La m´ethode est d"autant plus rapide que le rayon spectral de la

matrice d"it´eration est petit. Orρ(B) = maxi|1-rλi|avecλiles valeurs propres deAque l"on suppose ici ordonn´ees de la plus petite `a la plus grande (elles sont positives). Cette fonction ders"´ecritf(r) = max{1-rλ1,rλn-1}, son graphe est trac´e sur la Figure 1 et son minimum est atteint `a la valeur indiqu´ee dans l"´enonc´e.4

Fig.1 -ρ(B) en fonction der3.On suppose dans cette question que la matriceAest strictement diagonalement

dominante avec des ´el´ements diagonaux tous positifs. Montrez que si : iai,i la m´ethode de Richardson converge. Indication : on pourra utiliser la norme?A?∞= maxi(?

j|ai,j|).Corrig´e: Pour que la m´ethode soit convergente il suffit de v´erifier que?B?∞<1,

soit : |1-rai,i|+r? j?=i|ai,j|<1,?i mais, compte tenu de la condition surron a 1-rai,i≥0, par ailleurs la stricte diagonale dominance entraˆıner? j?=i|ai,j|< rai,i, l"in´egalit´e stricte est donc bien

v´erifi´ee pour touti.4.Comparez les r´esultats des questions 2 et 3 pour la matrice tridiagonale d"ordren,

d"´el´ements diagonauxai,i=α >2 et d"´el´ements extra-diagonauxai,i±1=-1, dont les valeurs propres sont :

k=α-2cos(kπn+ 1)k= 1,···,nCorrig´e: La matrice est sym´etrique, d´efinie positive, en effet toutes ses valeurs

propres sont strictement positives. Ses plus petite et plus grande valeurs propres5 sont respectivement :

1=α-2cos(πn+ 1) etλn=α+ 2cos(πn+ 1)La question 2 nous dit que la m´ethode est convergente si et seulement si

r <

2α+ 2cos(πn+1)

et que le param`etre optimal estr= 1/α. La matrice est ´egalement strictement diagonalement dominante `a diagonale positive, la question 3 nous dit que la m´ethode optimale.6quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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