[PDF] ROC : Restitution organisées des connaissances





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ROC : Restitution organisées des connaissances

18 jui. 2014 1.2 Inégalité de Bernoulli. Théorème 2 : ?a ? [0; +?] (1 + a)n. ? 1 + na. Démonstration : Par récurrence.



DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S

(inégalité de Bernoulli qui se démontre par récurrence). On suppose que q >1 alors on peut poser q = a +1 avec a > 0.



Démonstrations exigibles au bac

Enoncé I-2. (inégalité de Bernoulli). Soit a un réel positif. Montrer que : pour tout entier naturel n (1 + a) 



Question de cours en terminale S Préambule I- Les suites

Les démonstrations au BAC ou ROC ( Restitution Organisée de Connaissances) Cette démonstration nécessite en pré-requis l'inégalité de Bernoulli et le ...



Les suites - Partie II : Les limites

C. ROC : Limite de q^n avec q>1. Inégalité de Bernoulli. Pour et tout entier n on a l'inégalité . Question 1. [Solution n°6 p 26].



Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout

L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :.



Contrôle de mathématiques

14 oct. 2013 ROC. 3 points. Prérequis : théorème de comparaison. Soient deux suites (un) et (vn) ... a) Montrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli :.



Le raisonnement par récurrence

12 mar. 2017 quelques démonstration de question (ROC) ... ROC et raisonnement par récurrence ... 5) Inégalité de Bernoulli : soit a ? R et a > 0 :.



Contrôle de mathématiques

12 oct. 2016 Mardi 11 octobre 2016. Exercice 1. ROC. (1 points). On donne l'inégalité de Bernoulli : soit un réel a > 0 ?n ? N



Raisonnement par récurrence. Limite dune suite

14 oct. 2015 1.4 Inégalité de Bernoulli ... ROC. Démontrons cette inégalité par récurrence. • Initialisation : : (1 + a).



ROC : Restitution organisées des connaissances

Pré-requis : Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en +? Démonstration : Seule la preuve de la première limite est exigible D’après l’inégalité de Bernoulli on a : ?a >0 (1+a)n >1+na On pose q =1+a donc si a >0 on a q >1 L’inégalité devient : qn >1+na Comme a >0 on a : lim n?+? 1+na =+?



de l'inégalité de Bernoulli

puisqu'elles sont complémentaires de Q et Q' Sur le renforcement de l'inégalité de Bernoulli par G B LINKOVSKl Moscou Soit h > 0 et un rationnel quelconque r> 1 qui satisfait à l'inégalité de Bernoulli (1) : (1 + hlr > 1 + r h (l) Cette inégalité peut être renforcée de la façon suivante Lemme 1



TS 2015/2016 - Jaymath

L’inégalité de Bernoulli est donc établie ROC N°4 : Limite de ( Théorème : Soit q un nombre réel On a les limites suivantes : Si q > 1 alors = +? Si -1< q < 1 alors = 0 Si q ? - 1 alors n’existe pas et si q = 1 alors = 1 Pré-requis : Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en + ?



Questions ROC en Terminale S - dataover-blog-kiwicom

1 2 Inégalité de Bernoulli 1 3 Théorèmes de comparaison 1 4 Limite d’une suite géométrique 1 5 Suite croissante non majorée 2 Analyse 2 1 Unicité de la fonction exponentielle 2 2 Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle 2 3 Limites en l’infini de la fonction exponentielle 2 4 Limites de référence de la fonction



L’inégalité de Bernoulli Démontrer par récurrence que pour

L’inégalité de Bernoulli Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à ?1 on a : (11) n x+ ?+nx Analyse Elle est classique et bien pratique On peut la trouver sous diverses formes l’inégalité pouvant modulo une petite modification du champ d’application être stricte



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ROC : inégalité de Bernoulli Soit un nombre réel a strictement positif alors n (1+????)?????1+???????? Suites arithmétiques n u n+1 = u n + r u n = u 0 + n r 1 +2 3 ? ????=???? (????+1) 2 Suites géométriques n u n+1 = q u n u n = u 0 × qn 1+????+????2+?+ ????????= 1? ????

ROC : Restitution organisées des connaissances

DERNIÈRE IMPRESSION LE18 juin 2014 à 9:22

ROC : Restitution organisées des

connaissances Les démonstrations suivantes sont à connaître. Les raisonnementsmis en oeuvre peuvent être demandés dans un contexte légèrement différent. En particulier en ce qui concerne les suites récurrentes. Bien lire les pré-requis dans les questions ROC, on peut demanderune autre dé- monstration que celle vue en cours.

Table des matières

1 Suites2

1.1 Somme des termes d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Inégalité de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Théorèmes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Limite d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Suite croissante non majorée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Analyse7

2.1 Unicité de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Relation fonctionnelle de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Limites en l"infini de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Limites de référence de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Logarithme du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Limites de la fonction logarithme en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . 12

2.7 Croissance comparée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . 14

2.9 Théorème fondamental de l"intégration. . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.10 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Les nombres complexes17

3.1 Propriétés des modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Propriétés des arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Probabilité. Statistique19

4.1 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Loi exponentielle - loi sans mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Expérance d"une loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 Loi normale - Probabilité d"intervalle centré en 0. . . . . . . . . . . 22

4.5 Intervalle de fluctuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.6 Statistique - Intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Géométrie dans l"espace25

5.1 Le théorème du toit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Droite orthogonale à un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3 Équation cartésienne d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1 Suites

1.1 Somme des termes d"une suite géométrique

Théorème 1 :Soit(un)une suite géométrique de raisonq?=1 et de premier termeu0. La sommeSndes(n+1)premier termes est égale à : S n=u0+u1+···+un=u01-qn+1 1-q

Démonstration :on a :

S n=u0+u1+u2+···+un =u0+ (q×u0) + (q2×u0) +···+ (qn×u0) =u0(1+q+q2+···+qn)

On pose :An=1+q+q2+···+qn-1+qn

En soustrayant les deux lignes suivantes, on obtient : A n=1+q+q2+···+qn-1+qn q×An=q+q2+···+qn-1+qn+qn+1

An-q×An=1-qn+1

On obtient alors :An=1-qn+1

1-q

Conclusion :On a doncSn=u01-qn+1

1-q

PAULMILAN2 TERMINALES

1. SUITES

1.2 Inégalité de Bernoulli

Théorème 2 :?a?[0;+∞],(1+a)n?1+na

Démonstration :Par récurrence

•P(0)est vraie puisque(1+a)0?1+0apour touta?R+.

•Montrons que, pour toutn?N:

P(n)? P(n+1)

Soitn?N, supposons queP(n)est vraie donc :

(1+a)n?1+na Or, 1+a>0, donc en multipliant l"inégalité ci-dessus par(1+a), on obtient : (1+a)n+1?(1+na)(1+a) Or (1+na)(1+a) =1+a+na+na2=1+ (n+1)a+na2 et commena2?0 : (1+na)(1+a)?1+ (n+1)a

D"où

(1+a)n+1?1+ (n+1)a

P(n+1)est vrai.

Conclusion: on a :?P(0)

?n?N,P(n)? P(n+1)

Donc :?a?[0;+∞],(1+a)n?1+na

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1.3 Théorèmes de comparaison

Théorème 3 :Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :

1)Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"

v n?un?wnet si limn→+∞vn=?et limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=?

2)Théorème de comparaison

•un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ •un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Pré-requis :Définition de la limite infinie d"une suite Démonstration :Seule la preuve du théorème de comparaison en+∞est exigible. On sait que : limn→+∞vn= +∞, donc pour tout réelA, il existe un entierNtel que sin>Nalorsvn?]A;+∞[ Commeun>vnà partir du rangpdonc sin>max(N,p)alorsun?]A;+∞[

On a donc bien : lim

n→+∞un= +∞

PAULMILAN4 TERMINALES

1. SUITES

1.4 Limite d"une suite géométrique

Théorème 4 :Soitqun réel. On a les limites suivantes :

•Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞

•Si-1

•Siq?-1 alors limn→+∞qnn"existe pas

Pré-requis :Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en+∞ Démonstration :Seule la preuve de la première limite est exigible

D"après l"inégalité de Bernoulli, on a :

?a>0(1+a)n?1+na On poseq=1+adonc sia>0 on aq>1. L"inégalité devient :quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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