ROC : Restitution organisées des connaissances
18 jui. 2014 1.2 Inégalité de Bernoulli. Théorème 2 : ?a ? [0; +?] (1 + a)n. ? 1 + na. Démonstration : Par récurrence.
DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S
(inégalité de Bernoulli qui se démontre par récurrence). On suppose que q >1 alors on peut poser q = a +1 avec a > 0.
Démonstrations exigibles au bac
Enoncé I-2. (inégalité de Bernoulli). Soit a un réel positif. Montrer que : pour tout entier naturel n (1 + a)
Question de cours en terminale S Préambule I- Les suites
Les démonstrations au BAC ou ROC ( Restitution Organisée de Connaissances) Cette démonstration nécessite en pré-requis l'inégalité de Bernoulli et le ...
Les suites - Partie II : Les limites
C. ROC : Limite de q^n avec q>1. Inégalité de Bernoulli. Pour et tout entier n on a l'inégalité . Question 1. [Solution n°6 p 26].
Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :.
Contrôle de mathématiques
14 oct. 2013 ROC. 3 points. Prérequis : théorème de comparaison. Soient deux suites (un) et (vn) ... a) Montrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli :.
Le raisonnement par récurrence
12 mar. 2017 quelques démonstration de question (ROC) ... ROC et raisonnement par récurrence ... 5) Inégalité de Bernoulli : soit a ? R et a > 0 :.
Contrôle de mathématiques
12 oct. 2016 Mardi 11 octobre 2016. Exercice 1. ROC. (1 points). On donne l'inégalité de Bernoulli : soit un réel a > 0 ?n ? N
Raisonnement par récurrence. Limite dune suite
14 oct. 2015 1.4 Inégalité de Bernoulli ... ROC. Démontrons cette inégalité par récurrence. • Initialisation : : (1 + a).
ROC : Restitution organisées des connaissances
Pré-requis : Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en +? Démonstration : Seule la preuve de la première limite est exigible D’après l’inégalité de Bernoulli on a : ?a >0 (1+a)n >1+na On pose q =1+a donc si a >0 on a q >1 L’inégalité devient : qn >1+na Comme a >0 on a : lim n?+? 1+na =+?
de l'inégalité de Bernoulli
puisqu'elles sont complémentaires de Q et Q' Sur le renforcement de l'inégalité de Bernoulli par G B LINKOVSKl Moscou Soit h > 0 et un rationnel quelconque r> 1 qui satisfait à l'inégalité de Bernoulli (1) : (1 + hlr > 1 + r h (l) Cette inégalité peut être renforcée de la façon suivante Lemme 1
TS 2015/2016 - Jaymath
L’inégalité de Bernoulli est donc établie ROC N°4 : Limite de ( Théorème : Soit q un nombre réel On a les limites suivantes : Si q > 1 alors = +? Si -1< q < 1 alors = 0 Si q ? - 1 alors n’existe pas et si q = 1 alors = 1 Pré-requis : Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en + ?
Questions ROC en Terminale S - dataover-blog-kiwicom
1 2 Inégalité de Bernoulli 1 3 Théorèmes de comparaison 1 4 Limite d’une suite géométrique 1 5 Suite croissante non majorée 2 Analyse 2 1 Unicité de la fonction exponentielle 2 2 Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle 2 3 Limites en l’infini de la fonction exponentielle 2 4 Limites de référence de la fonction
L’inégalité de Bernoulli Démontrer par récurrence que pour
L’inégalité de Bernoulli Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à ?1 on a : (11) n x+ ?+nx Analyse Elle est classique et bien pratique On peut la trouver sous diverses formes l’inégalité pouvant modulo une petite modification du champ d’application être stricte
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ROC : inégalité de Bernoulli Soit un nombre réel a strictement positif alors n (1+????)?????1+???????? Suites arithmétiques n u n+1 = u n + r u n = u 0 + n r 1 +2 3 ? ????=???? (????+1) 2 Suites géométriques n u n+1 = q u n u n = u 0 × qn 1+????+????2+?+ ????????= 1? ????
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DERNIÈRE IMPRESSION LE18 juin 2014 à 9:22
ROC : Restitution organisées des
connaissances Les démonstrations suivantes sont à connaître. Les raisonnementsmis en oeuvre peuvent être demandés dans un contexte légèrement différent. En particulier en ce qui concerne les suites récurrentes. Bien lire les pré-requis dans les questions ROC, on peut demanderune autre dé- monstration que celle vue en cours.Table des matières
1 Suites2
1.1 Somme des termes d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Inégalité de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Théorèmes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Limite d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Suite croissante non majorée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Analyse7
2.1 Unicité de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Relation fonctionnelle de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Limites en l"infini de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Limites de référence de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Logarithme du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Limites de la fonction logarithme en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . 12
2.7 Croissance comparée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . 14
2.9 Théorème fondamental de l"intégration. . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Les nombres complexes17
3.1 Propriétés des modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Propriétés des arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Probabilité. Statistique19
4.1 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Loi exponentielle - loi sans mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Expérance d"une loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Loi normale - Probabilité d"intervalle centré en 0. . . . . . . . . . . 22
4.5 Intervalle de fluctuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6 Statistique - Intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Géométrie dans l"espace25
5.1 Le théorème du toit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Droite orthogonale à un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3 Équation cartésienne d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Suites
1.1 Somme des termes d"une suite géométrique
Théorème 1 :Soit(un)une suite géométrique de raisonq?=1 et de premier termeu0. La sommeSndes(n+1)premier termes est égale à : S n=u0+u1+···+un=u01-qn+1 1-qDémonstration :on a :
S n=u0+u1+u2+···+un =u0+ (q×u0) + (q2×u0) +···+ (qn×u0) =u0(1+q+q2+···+qn)On pose :An=1+q+q2+···+qn-1+qn
En soustrayant les deux lignes suivantes, on obtient : A n=1+q+q2+···+qn-1+qn q×An=q+q2+···+qn-1+qn+qn+1An-q×An=1-qn+1
On obtient alors :An=1-qn+1
1-qConclusion :On a doncSn=u01-qn+1
1-qPAULMILAN2 TERMINALES
1. SUITES
1.2 Inégalité de Bernoulli
Théorème 2 :?a?[0;+∞],(1+a)n?1+na
Démonstration :Par récurrence
P(0)est vraie puisque(1+a)0?1+0apour touta?R+.Montrons que, pour toutn?N:
P(n)? P(n+1)
Soitn?N, supposons queP(n)est vraie donc :
(1+a)n?1+na Or, 1+a>0, donc en multipliant l"inégalité ci-dessus par(1+a), on obtient : (1+a)n+1?(1+na)(1+a) Or (1+na)(1+a) =1+a+na+na2=1+ (n+1)a+na2 et commena2?0 : (1+na)(1+a)?1+ (n+1)aD"où
(1+a)n+1?1+ (n+1)aP(n+1)est vrai.
Conclusion: on a :?P(0)
?n?N,P(n)? P(n+1)Donc :?a?[0;+∞],(1+a)n?1+na
PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1.3 Théorèmes de comparaison
Théorème 3 :Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :1)Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"
v n?un?wnet si limn→+∞vn=?et limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=?2)Théorème de comparaison
un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Pré-requis :Définition de la limite infinie d"une suite Démonstration :Seule la preuve du théorème de comparaison en+∞est exigible. On sait que : limn→+∞vn= +∞, donc pour tout réelA, il existe un entierNtel que sin>Nalorsvn?]A;+∞[ Commeun>vnà partir du rangpdonc sin>max(N,p)alorsun?]A;+∞[On a donc bien : lim
n→+∞un= +∞PAULMILAN4 TERMINALES
1. SUITES
1.4 Limite d"une suite géométrique
Théorème 4 :Soitqun réel. On a les limites suivantes :Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞
Si-1 Siq?-1 alors limn→+∞qnn"existe pas
Pré-requis :Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en+∞ Démonstration :Seule la preuve de la première limite est exigible D"après l"inégalité de Bernoulli, on a :
?a>0(1+a)n?1+na On poseq=1+adonc sia>0 on aq>1. L"inégalité devient :quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3
Siq?-1 alors limn→+∞qnn"existe pas
Pré-requis :Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en+∞ Démonstration :Seule la preuve de la première limite est exigibleD"après l"inégalité de Bernoulli, on a :
?a>0(1+a)n?1+na On poseq=1+adonc sia>0 on aq>1. L"inégalité devient :quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] roc nombres complexes corrigé
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