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2020Géométrie 2
En raison de la crise du COVID-19, les informations ci-dessous sont susceptibles d'être modifiées, notamment celles qui
concernent le mode d'enseignement (en présentiel, en distanciel ou sous un format comodal ou hybride).
6 crédits45.0 h + 30.0 hQ2EnseignantsBieliavsky Pierre ;Langue
d'enseignementFrançaisLieu du coursLouvain-la-NeuvePréalablesLe(s) prérequis de cette Unité d'enseignement (UE) sont précisés à la fin de cette fiche, en regard des programmes/formations
qui proposent cette UE.Thèmes abordésThéorie des surfaces plongées dans l'espace euclidien de dimension trois. Formule de Gauss-Bonnet. Eléments
de géométrie hyperbolique plane.Acquis d'apprentissage 1Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de
cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à connaître et comprendre un socle fondamental
des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à : I. Choisir et utiliser des méthodes et
des outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique. II. Reconnaître les
concepts fondamentaux de certaines théories mathématiques actuelles. III. Etablir les liens principaux
entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de se
familiariser avec les notions de base de géométrie différentielle, plus précisément :Concevoir la notion de surface plongée dans un contexte global, munie d'un atlas. (b) Utiliser la notion de
changement de carte pour concevoir globalement les notions de formes fondamentales et de courbure.(c) Utiliser les techniques de résolution d'équations différentielles dans un cadre géométrique concret :
calcul de flots de champs de vecteurs et calcul de géodésiques. (d) Concevoir la notion de caractéristique
d'Euler-Poincaré en tant qu'invariant topologique.La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des)
programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie " Programmes/formations proposant
cette unité d'enseignement (UE) ».La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible
à la fin de cette fiche, dans la partie " Programmes/formations proposant cette unité d'enseignement (UE) ».
Modes d'évaluation
des acquis desétudiants
En raison de la crise du COVID-19, les informations de cette rubrique sont particulièrement susceptibles d'être modifiées.
L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit portant sur les exercices d'une part, et sur la théorie d'autre part. On
y teste la connaissance et la compréhension des notions et des résultats fondamentaux, la capacité de construire
et d'écrire un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de calcul. ContenuLes contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours :0. Preliminaire: theoreme des fonctions inverses et fonctions lisses entre sous ensemble de R^n (definition).1.
Surfaces plongées dans R^3
1.1. Definition
1.2 Plan tangents
1.3 champs de vecteurs
1.4 Enoncé du théorème de Cauchy dans le cas du flot d'un champ de vecteurs sur une surface.
1.5. Crochet de deux champs de vecteurs
1.6 Premiere forme fondamentale.
2. Introduction au théorème de Stokes (et relation avec l'enoncé vu au cours de physique)
2.1 une-formes differentielles sur une surface plongée (en tant qu'objet dual d'un champ de vecteurs par la premiere
forme fondamentale)2.2 forme d'aire et ses multiples fonctionnels
2.3 Enoncé de la formule de Green (Stokes dans le plan)
3. Etude de la premiere forme fondamentale (PFF)
3.1 Definition de la derivee covariante associee a la PFF (projection tangente de la derivee
usuelle)Université catholique de Louvain - Géométrie 2 - cours-2020-lmat1241UCL - cours-{ANAC}-lmat1241 - page 2/33.2 Forme locale (symbole de Christoffel)
3.3 Definition du tenseur de Riemann
3.4 Transport parallele d'un vecteur le long d'un chemin.
3.5 Notion d'angle d'holonomie le long d'une boucle
3.6 Courbure algebrique
3.7 Courbure de Gauss
4. Formule de Gauss-Bonnet
4.1 Premiere formulation au niveau local
4.2 Region, triangulation et caracteristique d'Euler-Poincaré
4.3 Formulation globale de la formule de G-B.
5. Introduction à la géométrie du plan hyperbolique
5.1 Le plan hyperbolique comme sphere dans R^{1,2}
5.2 Etude du groupe SL(2,R)
5.3 Le plan hyperbolique comme orbite du groupe SL(2,R)
5.4 Aspects métriques
5.5 Géodésiques comme courbes critiques de la longueur
5.6 Calcul des géodésiques
5.6 Modèle du demi-plan de Poincaré
Ressources en ligneLe site Moodle contient le syllabus du cours, les énoncés et les solutions des exercices pour les séances de travaux
pratiques, le corrigé des examens récents et le plan détaillé du cours. BibliographieSyllabus disponible sur Moodle.
Faculté ou entité en
charge: SCUniversité catholique de Louvain - Géométrie 2 - cours-2020-lmat1241UCL - cours-{ANAC}-lmat1241 - page 3/3Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)Intitulé du programmeSigleCréditsPrérequisAcquis d'apprentissageBachelier en sciences
mathématiquesMATH1BA6LMAT1121 ETLMAT1141 ET LMAT1131
Approfondissement en sciences
physiquesAPPHYS6Mineure en mathématiquesMINMATH6quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] les nouvelles formes de travail et d'emploi
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