Fiche méthodologique-Effectuer une analyse dimensionnelle
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Chapitre 1 - ANALYSE DIMENSIONNELLE
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Écrire l'équation dimensionnelle correspondante : [G]=[p1]α × [p2]β ×··· en Comment éviter d'écrire des formules farfelues? Cette vidéo explique l ...
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L'analyse dimensionnelle permet de déterminer la dimension d'une grandeur et donc d'en déduire son unité. Elle permet également de vérifier.
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L'objectif de votre cursus en physique est de vous faire découvrir petit `a petit la richesse de cette description de la nature. Einstein disait de la physique
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Analyse dimensionnelle. 1/2. ANALYSE DIMENSIONNELLE. Quelle est la période T d'un pendule de longueur L placé dans un champ de pesanteur g ? Est-ce T = 2?.
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faire un tour d'horizon rapide sur les unités mais aussi comment utiliser les unités pour obtenir qualitativement des informations sur un problème.
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Comment estimer la puissance dune bombe atomique à partir dune
pour cela il suffit de faire ?un peu d'analyse dimensionnelle? ! Comme je ne suis pas sûr que cette notion soit enseignée sous ce nom au lycée avant de.
Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5
Écrire les équations des paramètres ? pour les exposants; on doit obtenir une somme algébrique nulle pour chaque dimension. 6. Résoudre les équations
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analyse dimensionnelle - vaubsciences-56webselfnet
14 CHAPITRE 1 ANALYSE DIMENSIONNELLE La variété des situations évoquées précédemment montre la nécessité d’une approche systématique permettant de les classer en fonction de pa-ramètres physiques En Mécanique des ?uides l’analyse dimensionnelle est utilisée couramment pour déterminer quelle modélisation (?uide par-
Chap III: Analyse dimensionnelle - Université Ibn Khaldoun
L’analyse dimensionnelle permet de retrouver de deviner des lois physiques lorsque la Résolution théorique est trop complexe Supposons qu'une loi physique s'écrive sous la forme a = f(x; y; z) : la grandeur a est fonction des
Chapitre I analyse dimensionnelle
On a souvent recours à l´analyse dimensionnelle lorsqu’on veut vérifier les unités pour s´assurer que la partie gauche et droite d´une équation ont la même unité ce qui est une condition nécessaire pour satisfaire l’égalité Exemple : ? = ?? ? ?? ????é (?) = ? ? ? ???= ? Où : x : représente une longueur
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Les étapes de l’analyse dimensionnelle Pour effectuer une analyse dimensionnelle on doit considérer les neuf étapes suivantes: 1 Dresser la liste de toutes les quantités physiques A i et leur dimension correspondante Omettre toute quantité physique qui est une fonction directe d’une ou d’autres quantités physiques
Comment faire l’analyse dimensionnelle d’une relation ?
Faire l’analyse dimensionnelle d’une relation consiste à remplacer, dans la relation, chaque lettre symbolisant une grandeur par la dimension de cette grandeur. Les dimensions des grandeurs respectent les règles de calculs suivantes : la dimension d’une grandeur est obtenue à partir des relations entre les valeurs de ces grandeurs ;
Comment faire une analyse dimensionnelle des équations de bilan ?
Analyse dimensionnelle des équations de bilan: Forme adimensionnelle des équationsde continuitéet de Navier-Stokes . Critères de similitude. Théorème de Buckingham (Théorème de P). Exemples d’application. Les grandeurs physiquespour les systèmesisothermes sont exprimées en fonction des La longueur: L Le temps : t (système:
Comment choisir l’analyse dimensionelle ?
Ce choix sera bien évidemment fortement guider par l’expérience. Contrairement à la méthode scientifique, qui elle a pour objectif de fournir une description formelle de la nature à partir des grands principes de la Physique, l’analyse dimensionelle a pour objectif de de deviner des lois, indépendamment des principes de la Physique.
Qu'est-ce que la analyse dimensionnelle ?
1. Analyse dimensionnelle — Documentation LI Introduction à la Physique 0.5 1. Analyse dimensionnelle 1. Analyse dimensionnelle ¶ On attribue au physicien américain J. Wheeler (1911–2008) la citation suivante: On ne devrait jamais faire de calcul sans en connaître le résultat au préalable. Cette affirmation peut sembler paradoxale.
PCSI 2 Analyse dimensionnelle 1/2 ANALYSE DIMENSIONNELLE Quelle est la période T d'un pendule de longueur L placé dans un champ de pesanteur g ? Est-ce €
T=2π
g L ou bien €T=2π
L g? T s'exprimant en s, L en m et g en m.s-2, et les deux membres d'une égalité devant posséder la même unité, la bonne réponse est donc €
T=2π
L g. C'est le principe de base de l'analyse dimensionnelle développé ci-dessous. I Principe 1) Dimensions principales Il existe un certain nombre de dimensions principales, briques élémentaires, à partir desquelles on peut construire la dimension de toutes les grandeurs physiques : * Longueur notée L (en m), temps T (s), et masse M (kg) permettent de traiter toute la mécanique ; * En ajoutant l'intensité d'un courant électrique I (A), on traite toute l'électricité ; * Avec en plus la température absolue θ (K), les grandeurs thermodynamiques peuvent être écrites ; * on peut allonger la liste pour traiter tel ou tel domaine particulier de la physique. Les dimensions des autres grandeurs (et donc leurs unités) dérivent des précédentes. En notant G une grandeur physique quelconque, la dimension de G notée [G] s'écrit alors [G] = Mα Lβ Tγ Iδ θµ ..., (α, β, γ, δ, µ, ...) étant des nombres entiers ou rationnels, positifs ou négatifs. Il suffit pour cela de trouver n'importe quelle formule physique dans laquelle la grandeur intervient. Quelques exemples : * Vitesse €
v= distance tempsd'après sa définition donc [v] = LT-1, unité : m.s-1 ; Toute vitesse, quelle qu'elle soit, aura donc cette dimension, et donc cette unité, même établie à partir d'une autre formule. * Accélération €
a= vitesse temps d'après sa définition donc [a] = LT-2 en m.s-2 ; * Force €F=masse×accélération
d'après la deuxième loi de Newton donc [F] = MLT-2 en kg.m.s-2 (Newton N) ; * Ene rgie E ou tr avail W en prenant la célèbre formule d'Ei nstein E = mc2, ou la définition de l' énergie cinétique€
E c 1 2 mv 2 , ou bien encore la définition du travail €W=force×longueur
: [E] = [W] = ML2T-2 en kg.m2.s-2 (Joule J) ; * Tension électrique € U= puissance intensitédonne [U] = ML2T-3I-1 en kg.m2.s-3.A-1 (Volt V). 2) Equation aux dimensions On doit avoir la même dimension de part et d'autre d'une égalité. Cette vérification porte le nom de bilan d'homogénéité. Toute relation physique doit être homogène. II Utilisation 1) Donner une unité Pour mémoire, voir ci-dessus. PCSI 2 Analyse dimensionnelle 2/2 2) Etablir une loi physique C'est l'application la plus puissante des bilans d'homogénéité. Si, à partir de l'expérience, on sait qu'une grandeur physique dépend d'un ce rtain nombre d'autres grandeurs, on peut étab lir précisément cette dépendance uniquement à partir de considérations dimensionnelles sans faire appel aux lois de la physique. a) Formule de Stockes Expérimentalement, on s'aperçoit que la force de frottement f subie par une sphère en mouvement immergée dans un fluide dépend uniquement de son rayon R, de sa vitesse v et du coefficient de viscosité du fluide η ([η] = M L-1 T-1). Quelle est l'équation reliant f à R, v et η ? On écrit f = k ηx Ry vz, avec k un éventuel coefficient numérique sans dimension. L'équation aux dimensions va permettre de trouver la valeur des coefficients x, y et z. [f]= M L T-2 [η]=M L-1 T-1 [R] = L [v] = L T-1 [f] = [η]x [R]y [v]z ⇒ M L T-2 = ( M L-1 T-1 )x Ly ( L T-1 )z Soit en regroupant : M L T-2 = Mx L-x+y+z T-x-z On en déduit un système de trois équations à trois inconnues afin que l'exposant de chaque dimension principale soit le même des deux côtés de l'égalité : x = 1; - x + y + z = 1; - x - z = - 2. Sa résolution donne immédiatement : x = y = z = 1 On en déduit f = k η R v. On remarque par exemple que cette force est proportionnelle à la vitesse et au rayon de la sphère, sans pour cela qu'il ait été nécessaire d'avoir recours à une quelconque loi physique. La formule complète est f = 6 π η R v, le coefficient numérique k pouvant être obtenue à partir des mesures expérimentales. b) Célérité du son dans un fluide Notée v, elle dépend uniquement de la masse volumique ρ du fluide et du coefficient de compressibilité du gaz χ (qui est dimensionnellement l'inverse d'une pression P, cette dernière étant définie comme le rapport d'une force F sur une surface S). On écrit v = k ρx χy [v] = L T-1 [ρ] = M L-3 [χ] = €
1 P S f L 2 MLT -2= M-1 L T2 [v] = [ρ]x [χ]y ⇒ L T-1 = ( M L-3 )x ( M-1 L T2 )y ⇒ L T-1 = Mx-y L-3x+y T2y ⇒ x - y = 0; - 3 x + y = 1; 2 y = - 1 On obtient x = y = - €
1 2 → v = € kL'expérience donne au final ici v = €
1. 3) Vérifier l'homogénéité d'une solution C'est l'utilisation la plus courante de l'analyse dimensionnelle. Elle permet de repérer les formules fausses résultant d'erreurs de calcul à partir de leur non - homogénéité. Exemple en optique : on établit la relation €
p'= p+f' pf' à partir de la relation de conjugaison d'une lentille mince € 1 p' 1 p 1 f'. Le résultat a-t-il des chances d'être juste ? [membre de gauche] = L [membre de droite] = L/L2 = L-1 La formule est donc fausse car non homogène. Un rapide calcul permet de vérifier que le bon résultat est €
p'= pf' p+f'. Conclusion : une formule homogène a des chances d'être juste. Il n'y a cependant pas de certitude car €
p'= pf' p-f'est homogène mais pourtant faux. Par contre, une formule non homogène est nécessairement fausse. Toute formule donnée doit être homogène. Il ne s'agit pas de vérifier l'homogénéité à chaque ligne de calcul, mais sur le résultat final, et éventuellement à chaque étape importante d'un long calcul.
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