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1. Analyse dimensionnelle — Documentation LI Introduction à la Physique 0.5 1. Analyse dimensionnelle 1. Analyse dimensionnelle ¶ On attribue au physicien américain J. Wheeler (1911–2008) la citation suivante: On ne devrait jamais faire de calcul sans en connaître le résultat au préalable. Cette affirmation peut sembler paradoxale.
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Année universitaire 2017-2018
Master MEEF
Mention 2nd degré- parcours Sciences Physiques et Chimiques2ème année
Une approche de l'analyse
dimensionnelle en classes de lycéeMots Clefs : analyse dimensionnelle, unités
Présenté par : Thibault Debelhoir et Benoît DelépineEncadré par : Paulo Martins
10 rue Molitor, 75016 PARIS ± tél. 01 40 50 25 92 ± fax. 01 42 88 79 74
www.espe-paris.frTable des matières
Introduction1
I Recherche bibliographique 1
I.1 Présentation de l"analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 L"analyse dimensionnelle dans les programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2.a Au collège . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.2.b Au lycée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.3 Constat et hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II Construction des séances pédagogiques 7
II.1A prioriobservés des élèves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
II.1.a Construction du questionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.1.b Résultats au questionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.1.c Catégories d"élèves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 II.2 Dans la bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.3 La démarche proposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 II.4 Support de l"enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15III Analyse du déroulement des séances 17
III.1 Déroulement des séances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 III.1.a Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.1.b Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 III.1.c Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22III.1.d Établir des lois sans démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III.2 Analyse critique post-séance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28Conclusion32
A Extraits de programmes 35
A.1 Collège . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35A.2 Seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A.3 Terminale S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A.4 Classes préparatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
B Étude de la loi de Hopkinson 38
B.1 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38B.2 Démonstration de la loi de Hopkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.2.a Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.2.b Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.2.c Démonstration par analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
C Statistiques des évaluations diagnostiques 42 C.1 Question 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
C.2 Question 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
C.3 Question 2 bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
C.4 Question 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
C.5 Question 3 bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
C.6 Question 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
C.7 Question 4 bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C.8 Question 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
C.9 Question 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
C.10 Question 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
D Document de travail utilisé lors de la séance 61
I RECHERCHE BIBLIOGRAPHIQUE
Introduction
Après avoir enseigné un nouveau concept ou un nouvel outil, il est fréquent d"entendre chez les
élèves le questionnement "Mais pourquoi ne nous l"a-t-on pas dit plus tôt?". Si la réponse est souvent
qu"un enseignement plus précoce n"aurait probablement pas permis aux élèves de pleinement saisir
cette nouvelle notion, la question posée est parfois pertinente. C"est ce qu"il nous a semblé à propos
de l"analyse dimensionnelle.Comme nous allons le voir, ce concept (autant physique que mathématique!) est tout à la fois un
puissant outil d"apprentissage, de véri?cation et même de démonstration. Et ainsi, il semble opportun
de le transmettre à des élèves aussi vite que possible. Or, dans les programmes actuels, l"analyse
dimensionnelle n"apparaît dans toute sa richesse qu"en classe de terminale scienti?que voire dans l"enseignement supérieur.a nécessité de relever certains dé?s mais, nous le verrons, les avantages procurés aux élèves se sont
montrés à la hauteur de ces dé?s!I Recherche bibliographique
I.1 Présentation de l"analyse dimensionnelle
Dans son terme le plus général, l"analyse dimensionnelle est un concept mathématique et physique
permettant de travailler l"homogénéité de formules physiques ou chimiques. Pour ce faire, on associe
à toute grandeur une dimension. Par exemple, la dimension d"une surface (exprimée enm2) est une
longueur carrée notéeL2.Historiquement, les raisonnements par analyse dimensionnelle ont été développés au cours du
XVIIIemesiècle [4] avant d"être formalisés dans leur forme moderne par le grand physicien J. C. Max-
well (1831-1879). Cedéveloppement estconcomitant avec l"apparitionde problèmesau nombre crois- sant de variables et paramètres. Au début du XXemesiècle, cette approche de la physique a été assezT. Debelhoir et B. Delépine1/676 mai 2018
I RECHERCHE BIBLIOGRAPHIQUE I.2 L"analyse dimensionnelle dans les programmessystématiquement utilisée pour rendre compte de phénomènes di?cilement modélisables, en par-
ticulier en dynamique des ?uides [10]. La formalisation mathématique de l"analyse dimensionnelledate quant à elle des travaux de Vaschy et Buckingham qui ont donnés leur nom au théorème de
Vaschy-Buckingham (connu aussi sous le nom de théorème) [9] [1].À titre d"exemple, on peut citer l"une des applications très souvent mentionnée en exemple de la
puissance de l"analyse dimensionnelle : la détermination de l"énergie développée par l"explosion de la
première bombe atomique américaine, Trinity. Cette démonstration, détaillée en [8], permet en e?et
d"aboutir à partir d"un jeu d"hypothèses simples à une grandeur alors classée secret défense.
ne peut pas être considérée comme étant une discipline à part. Elle ne trouve tout son sens que dans
la résolution de problèmes propres aux diverses branches de la physique, le plus souvent d"ailleurs
inspirés de phénomènes expérimentaux complexes. À ce titre, elle mérite d"une part d"être enseignée
de façon soignée mais également appliquée. On donne en annexe B une utilisation de l"analyse dimensionnelle pour aborder un problème del"intérêt du raisonnement par analyse dimensionnelle : il permet d"aborder un très large éventail de
problèmes physique avec un bagage somme toute limité.Sans nécessairement de tels niveaux de complexité avec nos élèves, nous avons cependant bel et
bien cherché à leur faire ressentir la force de ce type de raisonnement, comme nous allons le voir.
I.2 L"analyse dimensionnelle dans les programmes
Préalablement à toute construction de séance, nous avons parcouru les programmes du collège, du
lycée et du supérieur pour y reconnaître les occurrences claires ou dissimulées de l"analyse dimen-
sionnelle.T. Debelhoir et B. Delépine2/676 mai 2018 I RECHERCHE BIBLIOGRAPHIQUE I.2 L"analyse dimensionnelle dans les programmesI.2.a Au collège
À notre relativement grande surprise, les premières mentions de l"analyse dimensionnelle ont lieu
en cycle 3 mais davantage en mathématiques qu"en sciences et technologie. En e?et, si la partiesciences et technologie du programme laisse apparaître le champMouvement d"un objet (trajectoire et
vitesse : unités et ordres de grandeur)"[5], on trouve dans la partie mathématiques un développement
bien plus conséquent :Au cycle 3, les connaissances des grandeurs déjà fréquentées au cycle 2 (longueur, masse, contenance,
durée, prix) sont complétées et structurées, en particulier à travers la maitrise des unités légales du Sys-
de celle de périmètre. Les élèves approchent la notion d"angle et se familiarisent avec la notion de volume
unité étant choisie, un nombre (entier ou non) à la grandeur considérée. Il s"agit de déterminer combien
d"unités ou de fractionnements de l"unité sont contenus dans la grandeur à mesurer. Les opérations sur
les grandeurs permettent également d"aborder les opérations sur leurs mesures. Les notions de grandeur
et de mesure de la grandeur se construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes faisant appel
à di?érents types de tâches (comparer, estimer, mesurer). Dans le cadre des grandeurs, la proportionna-
lité sera mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans di?érents contextes. Dans la
continuité du cycle 2, le travail sur l"estimation participe à la validation de résultats et permet de donner
du sens à ces grandeurs et à leur mesure (estimer en prenant appui sur des références déjà construites :
longueurs et aire d"un terrain de basket, aire d"un timbre, masse d"un trombone, masse et volume d"une
bouteille de lait...).retrouve les trois grandes utilités de l"analyse dimensionnelle que sont l"apprentissage, la véri?cation
et la démonstration. Autre point intéressant, le programme appelle à une utilisation de l"analyse
dimensionnelle pour l"étude des situations de proportionnalité. On trouve un exemple assez explicite de cet enseignement dans le manuel de mathématiques de 3ièmeédité par Belin [7] et dont une reproduction est donnée en ?gure 1.T. Debelhoir et B. Delépine3/676 mai 2018
I RECHERCHE BIBLIOGRAPHIQUE I.2 L"analyse dimensionnelle dans les programmes Figure1 - Copie d"une page de [7] traitant des unitésT. Debelhoir et B. Delépine4/676 mai 2018 I RECHERCHE BIBLIOGRAPHIQUE I.2 L"analyse dimensionnelle dans les programmesDeux enseignements sont donc à retirer du programme du collège. D"une part, telle qu"elle devrait
être enseignée, l"analyse dimensionnelle est pour un nouvel élève de seconde un champ relevant plus
des mathématiques que des sciences physiques. D"autre part, cette notion ne devrait pas leur être
totalement inconnue.I.2.b Au lycée
Étonnamment, la place occupée par l"analyse dimensionnelle dans le programme du cycle 3 ne seretrouve ni en classe de seconde ni en classe de première S. On la retrouve en revanche de façon très
explicite dans le programme de terminale S : "Le professeur fera aussi appel à des exploitations qualitatives conduites avec rigueur. L"emploi de celles-ci s"avère particulièrement opportun dans le cas où elles permettent de dégager directement le sens de l"étude que pourrait masquer un développement calculatoire. Ainsi,l"analyse dimensionnelle, l"examen préalable des di?érents phénomènes en cause, la comparaison d"ordres de grandeur peuvent permettre une simpli?cation e?cace du cadreconceptuel de la situation et fournir une résolution élégante, rapide, à un problème a priori
complexe."Mais bien qu"il soit clairement spéci?é que l"usage de l"analyse dimensionnelle doit servir la com-
préhensionphysiquedes phénomènes étudiés, on constate dans les faits que les manuels scolaires,
comme l"édition Bordas [2], font souvent le choix de ne traiter l"analyse dimensionnelle que dansuneFiche méthode(dont une copie est donnée en ?gure 2), au même titre donc que d"autres outils
mathématiques ou expérimentaux détachés du contenu scienti?que du cours.T. Debelhoir et B. Delépine5/676 mai 2018
I RECHERCHE BIBLIOGRAPHIQUE I.3 Constat et hypothèse Figure2 - Copie d"une page de [2] traitant de l"analyse dimensionnelleI.3 Constat et hypothèse
La volonté d"expérimenter l"enseignement de l"analyse dimensionnelle dans nos classes de lycée
a été motivée par divers éléments. En premier lieu, nous avons voulu lutter contre les oublis trop
fréquentsd"unitésdanslescopiesoumêmeàl"oral.Ainsi,iln"étaitpasrared"entendretouteuneclasseT. Debelhoir et B. Delépine6/676 mai 2018
II CONSTRUCTION DES SÉANCES PÉDAGOGIQUES
s"écrier unanimement "1" à la question "Quelle est la masse volumique de l"eau?". Deuxièmement,
permet de limiter au plus strict l"apprentissagepar coeurde formules et de les véri?er en cas de doute.
L"analyse dimensionnelle forme davantage la ré?exion que lepar coeur, ce qui dans le cadre d"une formation à la citoyenneté est également un facteur essentiel.Précisons à ce stade que les établissements dans lesquels nos travaux ont été conduits se situent
parmi les plus privilégiés de la capitale : Louis le Grand et Charlemagne. Les élèves sont recrutés en
seconde sur le mérite, ce qui donne des classes d"un excellent niveau, capables d"intégrer rapidement
des notions nouvelles et complexes (surtout pour celles du lycée Louis le Grand). Il n"en demeure pas
moins, comme nous le verrons, qu"il subsiste des di?érences de niveau entre les élèves. La classe de
STI2D, seule classe dont les élèves ne sont pas directement choisis par l"administration du lycée, peut
ainsi servir de référence, étant probablement plus proche du niveau moyen national que les autres.
II Construction des séances pédagogiques
II.1A prioriobservés des élèves
II.1.a Construction du questionnaire
Pour sonder le niveau de compétence initiale de nos élèves sur les questions d"unités et d"ana-
lyse dimensionnelle, nous avons utilisé -en outre d"une impression générale- principalement deux
éléments : un questionnaire diagnostique et une analyse qualitative des évaluations sur l"année.
Pour cette dernière, des questions bonus ont été un moyen discret de tester les compétences des
élèves à plusieurs stades de l"année. Glissées dans les évaluations, ces questions se devaient d"être
courtes et accessibles par le plus grand nombre, comme dans l"exemple ci-dessous donné dès le début
du mois de novembre à une classe de seconde.Bonus :Si l"on écrit la formule donnant l"indice de réfraction du verrebarium ?intsous la forme
n() =n0+A2, quelle est l"unité deA?T. Debelhoir et B. Delépine7/676 mai 2018
II CONSTRUCTION DES SÉANCES PÉDAGOGIQUES II.1A prioriobservés des élèvesFriands de ces questions facultatives, les élèves cherchent pratiquement tous à y répondre. Ainsi,
le taux de réponse est souvent élevé ce qui en fait un outil exploitable.Pour ce qui est du questionnaire diagnostique, il a été élaboré pour couvrir les di?érents aspects de
de formules), ce questionnaire eut la forme suivante.T. Debelhoir et B. Delépine8/676 mai 2018 II CONSTRUCTION DES SÉANCES PÉDAGOGIQUES II.1A prioriobservés des élèvesQuestionnaireQuestion 1 :
Parmi les relations suivantes, cocher celle(s) qui lie(nt) e?ectivement la fréquencefd"un signal sonore, la vitessevdu son dans le milieu considéré et la longueur d"ondedu signal. v×f=A?v==f
B?=f=v
C?f=v D?Question 2 :
L"indice optiquend"un matériau pour une radiation lumineuse de longueur d"ondepeut s"écrire sous la formen=n0+A=2(loi de Cauchy). Indiquer l"unitédeAet justi?er au dos.Question 3 :
L"écran d"oscilloscope au-dos de la feuille a?che une tension périodique de périodeT= 20ms. Quelle est lasensibilité horizontaleutilisée?Sh=Question 4 : Pendant une durée de10s, on peut mesurer que3300m3d"eau passent sous le pont de l"Alma àParis. Quel est le débit (volume par unité de temps)Dde la Seine sous ce pont?(Une seule réponse
possible)D= 303µs=m3
A?D= 3300m3
B?D= 330s-1
C?D= 330m=s
D?Question 5 :
La loi de la gravitation universelle stipule que la forceF1-→2exercée par un corps 1 de massem1
sur un corps 2 de massem2, séparés par une distancedest de la formeF1-→2=G×m1×m2d2. Quelle
est l"unité deGdans le système international?(Une seule réponse possible) kg 2m2=N A?s2kg-1m3
B?m3kg-1s-2
C?Nm 2=kg2 D?Question 6 :
Le poidsPd"un objet sur Terre est lié à sa massempar la relationP=mgoùgest l"intensité de
la pesanteur. Parmi les énoncés suivants, lequel vous semble correct?(Justi?er au dos de la feuille)
?AIl est possible de conserver à l"expression ci-dessus le même sens physique en remplaçant la lettrePpar une autre lettre. ?BIl n"est pas possible de conserver à l"expression ci-dessus le même sens physique en rempla-çant la lettrePpar une autre lettre.
?CIl est possible de conserver à l"expression ci-dessus le même sens physique en remplaçant la
lettrePpar seulement un nombre restreint d"autres lettres, qui sont :Question 7 :Quelle peut être l"unité deg(dé?ni dans la question précédente) parmi celles proposées ci-
dessous? m=s2A?kg=N
B?m 2=sC?N=kg
D?1 eravril 2018Questionnaire?Au dos de cette feuille se trouvent quelques questions auxquelles vous êtes invités à répondre -de façon
anonymeetindividuelle- en10 minutes. Ce questionnaire,non noté, a pour but de préparer une séance de TP à venir.?Pour les éventuels calculs, merci de les faire ?gurer à côté des questions ou sur ce côté, en utilisant les
emplacements ci-dessous. On pourra également utiliser ces emplacements pour justi?er les réponses
lorsque cela est demandé ou pour indiquer ce qui vous bloque pour répondre.Question 1 :
Question 2 :
Unité deA:
Justi?cation
Question 3 :Question 4 :
Question 5 :
Question 6 :
Question 7 :
1eravril 2018On notera qu"il n"y a pas de bonne réponse parmi les solutions proposées pour la question 4. Cette
singularité, conséquence d"une inattention lors de la conception, a toutefois été conservée pour deux
raisons. Premièrement, la corriger entre deux classes n"eut pas permis de comparer les résultats etT. Debelhoir et B. Delépine9/676 mai 2018
II CONSTRUCTION DES SÉANCES PÉDAGOGIQUES II.1A prioriobservés des élèvesdeuxièmement, cela permettait d"évaluer l"assurance des élèves à signaler une erreur.
Le questionnaire a été soumis à deux classes de seconde, une classe de première S, une classe de
terminale S ainsi qu"à une classe de première STI2D1. Cette diversité dans les classes sondées permet
éventuellement d"évaluer l"évolution dans la maîtrise des compétences liées à l"analyse dimension-
nelle au cours du temps, y compris sans qu"aucun cours n"ai été dispensé spéci?quement sur ce sujet.
II.1.b Résultats au questionnaire
Nous nous arrêterons davantage sur les résultats au questionnaire car ils sont plus parlants que
ceux des questions bonus. La construction de la séance proposée s"est appuyée sur ces points parti-
culiers, les plus révélateurs selon nous.Les résultats détaillés sont donnés en annexe C et nous n"allons que résumer les grandes tendances
et les points d"appui pour préparer la séance. Le questionnaire a bien fait ressortir l"intuition que nous avions sur les méthodes d"appren-tissage d"une majorité d"élèves, à savoir qu"ils apprennent par coeur les formules sans être en
mesure de pouvoir les véri?er. Voici quelques citations extraites des réponses qui soulignent cela : "je ne me souviens plus de la formule." (Question 1, Seconde 7, élève 2) "Aest en mètre. Je crois que c"est dans le dernier DS, mais j"avoue ne pas avoir vraiment compris pourquoi..." (Question 2, Seconde 6, élève 4) "Par mémoire et intuition" (Question 5, Première S, élève 10) A ce type de raisonnement, il faudra que notre séance parvienne à substituer une utilisation quasi-systématique de l"analyse dimensionnelle.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21[PDF] taux alcoolémie québec
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