TRANSLATION ET VECTEURS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014. II. Vecteurs. 1. Définition : ... Somme de vecteurs.
Programme de mathématiques de seconde générale et technologique
L'enseignement des mathématiques de la classe de seconde est conçu à partir des Somme de deux vecteurs en lien avec l'enchaînement des translations.
Partie 1 : Notion de vecteur
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES VECTEURS– Chapitre 1/2. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/aSSDBNn_rRI.
Partie 1 : Produit dun vecteur par un réel
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Cours de mathématiques pour la classe de Seconde
La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur associé à la translation résultant de l'enchaî- nement des translations de vec- teur u et de vecteur v. Produit
Cours de mathématiques de 2nde (2018 ? 2019)
segments [AD] et [BC] provient d'une caractérisation des parallélogrammes. 6.2 Somme de deux vecteurs. Comme nous allons le voir il est possible d'additionner
Les vecteurs
B - Somme de vecteurs. On peut définir une addition des vecteurs qui a des propriétés semblables à celles de l'addition des nombres. 1- Relation de Chasles.
CLASSE DE 2NDE – CHAPITRE : VECTEURS (Programme 2010)
Dans le manuel Math'x 2nde édition 2010 : Exercice 38 page 331 83 et 89 p 336
VECTEURS ET DROITES
mécanique : addition de forces de vitesses Le calcul vectoriel prend alors réellement son essor. I. Colinéarité de deux vecteurs. Définition :.
82 exercices de mathématiques pour 2nde
4 oct. 2015 VI.4 Intersection de deux droites – Vecteur directeur . ... VII Fonctions du second degré . ... XI.6 Chez les profs de math .
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frLES VECTEURS - Chapitre 1/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/aSSDBNn_rRI Activités de groupe : La Translation (Partie1) :La Translation (Partie2) :
Partie 1 : Notion de vecteur
1. Translation (Rappel)
Exemple :
Définition :
Une translation fait glisser une figure selon une direction, un sens et une longueur donnée, schématisé par une flèche.Ne pas confondre direction et sens :
Par exemple :
La droite (AB) définit une direction.
De A vers B définit un sens.
2. Définition et propriétés :
Définition :
La flèche qui définit la translation s'appelle un vecteur.Un vecteur est défini selon :
- une direction, - un sens, - une longueur. Méthode : Construire l'image d'une figure par une translationVidéo https://youtu.be/8Jb9cMOeYSk
Soit la translation définie par le vecteur í µí µâ€² Construire l'image B'C'D'E' du trapèze BCDE par cette translation.M' est l'image de M par la
translation qui envoie A en B.La tortue rose est l'image de la
tortue verte par la translation de vecteur noté í µí µ2 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
" vecteur » vient du latin " vehere » (conduire, transporter) Le mot a été introduit en 1925 et la notation í µí µ en 1920.A l'origine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis (1803-1880) qui les désignait comme segments
équipollents.
Activités de groupe :
TP info : Bonhommes et dromadaires :
3. Vecteurs égaux
Définition :
Des vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur.Exemple :
Les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont égaux.On note : í µí µ
On dit dans ce cas que í µí µ
et í µí µ sont des représentants d'un même vecteur. On peut noter plus simplement ce vecteur à l'aide d'une seule lettre : í µ#⃗.Et on a : í µ#⃗ = í µí µ
Définition :
La longueur d'un vecteur est appelée la norme du vecteur.3 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Construire un point défini à partir de vecteursVidéo https://youtu.be/zcQPz4dfnn0
À partir du parallélogramme í µí µí µí µ, construire les points í µ, í µ, í µ et í µ tels que :
Correction
Propriété du parallélogramme :
Dire que les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont égaux revient à dire que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.Propriété du milieu :
Dire que í µest le milieu du segment [í µí µ] revient à dire que et í µí µ sont égaux. Méthode : Utiliser des propriétés sur les vecteursVidéo https://youtu.be/XokpP_8mTOE
í µí µí µí µet í µí µí µí µsont deux parallélogrammes. a) Réaliser une figure. b) Démontrer que í µest le milieu du segment [í µí µ]. H A G B D C F EA D B C
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
a) b) Dire que í µ est le milieu de [í µí µ] revient à dire que í µí µDémontrons-le.
car í µí µí µí µ est un parallélogramme. car í µí µí µí µ est un parallélogramme.Donc í µí µ
Et donc en particulier : í µí µ
D'où í µest le milieu de [í µí µ].
4. Vecteur nul
Définition : Un vecteur í µí µ
est nul lorsque les points A et B sont confondus.On note : í µí µ
= 0 Remarque : Pour tout point í µ, on a : í µí µ = 05. Vecteurs opposés
Il ne faut pas confondre sens et direction !
Une droite définit une direction, ci-dessous la direction de la droite (AB). Cependant une direction possède deux sens, ici de " A vers B » ou de " B vers A ».Définition : Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et
qu'ils sont de sens contraire. et í µí µ sont des vecteurs opposés.On note í µí µ
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 2 : Somme de vecteurs
1. Exemple avec les translations
Soit í µ
la translation de vecteur í µ#⃗ et í µ la translation de vecteur í µâƒ—.Appliquer la translation í µ
puis la translation í µ revient à appliquer la translation í µ de vecteur í µ##⃗ :L'enchaînement de deux translations de vecteurs í µ#⃗ et í µâƒ— est la translation de vecteurs noté í µ##⃗=
2. Addition de deux vecteurs
Exemple :
Sur la figure, on a : í µí µ
La somme des vecteurs í µí µ
et í µí µ construit bout à bout estégale au vecteur í µí µ
Remarques :
• L'égalité précédente porte le nom de relation de Chasles. • Dans le triangle í µí µí µ, on a également les relations : í µí µ Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation n'est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs. Homme naïf, on raconte qu'il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne d'arc à sa mère, Vercingétorix à César,...) ! Méthode : Appliquer la relation de Chasles (non exigible)Vidéo https://youtu.be/fbVrdYiY0qc
Simplifier les écritures :
a) í µí µ b) í µí µ c) í µí µ d) í µí µ e) í µí µ f) í µí µ6 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
a)í µí µ b) í µí µ c) í µí µ d) í µí µ e) í µí µ f) í µí µ = 0 = 0 = 0 Propriété caractéristique du parallélogramme : Dire que í µí µí µí µ est un parallélogramme revient à dire que í µí µDémonstration :
D'après la relation de Chasles, l'égalité í µí µ peut s'écrire :Soit í µí µ
soit encore : í µí µí µí µ est un parallélogramme.3. Soustraction de deux vecteurs
Exemple :
Pour effectuer la différence des vecteurs í µ#⃗ et í µâƒ—, on passe à la somme :Pour obtenir la somme des vecteurs í µ#⃗ et -í µâƒ—, on construit les vecteurs í µ#⃗ et -í µâƒ— bout à bout.
B A C D
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Construire un point défini à partir d'une somme de vecteursVidéo https://youtu.be/nzABUzFM6p8
Soit un triangle í µí µí µ.
Construire le point í µ tel que í µí µ
Correction
On construit à partir de A (origine de í µí µ ) le vecteur í µí µ en mettant " bout à bout » les vecteurs í µí µ et í µí µOn a ainsi construit le vecteur í µí µ
et donc le point í µ.C A B Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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