[PDF] Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Fiches-élève

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Épreuve pratique de mathématiques

Printemps 2009

Fiches-élève

Sujet011 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève Étude d"une suite définie par une relation de récurrenceÉnoncé

On considère la suite récurrente (un) de premier termeu1=0 et telle que, pour tout entier naturel

nnon nul, u n+1=12un 1. (a) En utilisant un tableur ou une calculatrice, donner les 40 pr emierstermes de cette suite. (b) Représenter gr aphiquementle nuage de points de coor données( n;un). (c) En observant le nuage de points, quelles conjectu respeut-on fair esur le comportement de cette suite?Appeler l"examinateur pour une vérification des conjectures. 2. On cher cheà déter minerune formule qui permette de calculer unen fonction den. (a) Compléter letableaudevaleursenfaisantfigurerlecalculde 1u n1pourles40premiers termes de la suite (un). (b)

Conjectur erl"e xpressionexplicite de unen fonction den.Appeler l"examinateur pour une vérification de la conjecture.

3.

Démontr erla form uleconjecturée.

Production demandée

V isualisationà l"écran du tableau de valeurs et du nuage de points.

Démonst ration.2=101

Sujet024 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève

Étude d"une courbe de BézierÉnoncé

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal O;~{;~|, on considère les points A de coordonnées (0;6), B de coordonnées (2; 0) et C de coordonnées (4; 6). Soittun réel de l"intervalle [0; 1]. On définit les points : G bary centredu système de points pondérés f(A;1t);(B;t)g; H baryce ntredu système de points pondérés f(B;1t);(C;t)g; M baryc entredu système de points pondérés f(G;1t);(H;t)g.

Le but de l"exercice est d"étudier le lieu des points M quandtdécrit l"intervalle [0;1], et la position

de cet ensemble par rapport aux droites (AB) et (BC).

Partie A

1. Réaliser la fig ureavec un logiciel de géométrie dynamique. Tracer les droites (AB) et (BC), puis faire apparaitre le lieu décrit par le point M lorsquet varie.Appeler l"examinateur pour lui montrer le lieu du point M. 2. Quelle sembl eêtr ela position des dr oites(AB) et (BC) par rapport au lieu obtenu ? 3.

Sur quelle cou rbesemble se déplacer le point M ?Appeler l"examinateur pour annoncer les conjectures et décrire la démarche.

Partie B

4. Déterminer en fonction de tles coordonnées des points G, H et M. 5. V aliderou inval iderla conjectur eémise à la question 3. Donner l"expression analytique du lieu du point M.Production demandée

V isualisationdu lieu du point M.

Énoncé des conjectur es: courbe décrite par le point M et position des dr oites(AB) et (BC) par

rapport à cette courbe. Répon sespour les questions 4. et 5. Version du 29 juillet 20093=101 Sujet031 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève Lieu géométrique de points dans l"espaceÉnoncéE A F B H D G C E A F B H D G

CDans l"espace muni d"un repère orthonor-

malR, on considère le cube ABCDEFGH reproduit ci-contre. On note I le centre de la face EFGH et J le milieu du segment [IF].

M le barycentre des points pondérés sui-

vants (E;m), (F;2m), (G;m), (C;44m).

Le but de l"exercice est de trouver le lieu du

point M lorsquemdécrit l"intervalle [0;1]. 1. (a) À l"aide d"un logiciel de géométrie dans l"espace, constr uirele cube ABCDEFGH ainsi que les points I et J.Appeler l"examinateur pour vérifier la figure construite. (b) Constr uirele point M barycentr edu système de points pondérés (E; m), (F;2m), (G;m), (C;44m) pourm2[0;1]. (c)

Émet treune conjectur equant au lieu du point M lorsque mdécrit l"intervalle [0;1].Appeler l"examinateur pour vérifier la conjecture faite.

2. (a) Démontr erque les points M, F, I et C sont cop lanaires. (b)

Déterminer une r elationentr eles vecteurs

!CM et!CJ. (c) Conclur ealors quant au lieu du point M lorsque mdécrit l"intervalle [0;1].Production demandée Constr uctionde la figur eà l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique.

Énoncé de la conjectur e.

Relat ionet démonstrations demandées dans la question 2. 4=101 Sujet058 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève

Suite définie par une sommationÉnoncé

On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturelnnon nul, par : v n=1+12 2+13 2++1n 2: 1. À l"aide d"un outil adapté, calculer les 500 pr emierstermes de la suite ( vn).

Quelle conjecture peut-on faire concernant la convergence de cette suite?Appeler l"examinateur pour une validation des calculs et de la conjecture.

2. Recher cher,dans les deux cas suivants, à l"aide de l"outil choisi, un entier n0tel que, pour tout entiern>n0, on ait : (a)vn+1vn6103; (b)vn+1vn6105.

Comment interpréter ces résultats au regard de la conjecture émise à la question 1?Appeler l"examinateur pour une validation des résultats et de l"interprétation.

3. Pour tout nom breentier natur elnon nul n, on posexn=vn+1n À l"aide de l"outil choisi, calculer les 500 premiers termes de la suite (xn) puis représenter graphiquement les suites (vn) et (xn).

Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de ces deux suites?Appeler l"examinateur pour une validation des calculs et de la conjecture

et pour proposer une démarche pour la question 4. 4. (a) Démontr erla conjectur eémise à la questi on3. (b) Conclur esur la con vergencede la suite ( vn).Production demandée

Obten tiondes 500 pr emièresvaleursdes suites (vn) et(xn), ainsi quela représentation graphique

de ces valeurs.

Obten tiondes valeurs de n0à la question 2.

Répons esar gumentéespour la question 4. Version du 29 juillet 20095=101 Sujet065 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève Distance minimale d"un point à une courbeÉnoncé

Dans un repère orthonormal d"origine O, on considère la courbeCreprésentative de la fonction

logarithme népérien.

On s"intéresse à la distance OM lorsque M parcourtC. Le but de l"exercice est de préciser si cette

distance peut être rendue minimale et de caractériser le ou les point(s) M, s"il en existe, situé(s)

surCet rendant cette distance minimale.

Partie A

1. À l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, fair eune figur epermettant d"explor ercette situation. 2. Cette distance semble-t-elle minimale pour un (ou plusieurs) point(s) particulier(s) de C? Si oui donner une valeur approchée à 10

2près de cette plus petite distance et de l"abscisse de

ce(s) point(s).Appeler le professeur pour une vérification de la figure construite et des conjectures émises. 3. T racerla dr oite(OM) ainsi que la tangente en M à la courbe C. Que semble-t-il se passer

lorsque M est positionné sur la courbeCde sorte que la distance OM soit minimale?Appeler le professeur pour une vérification de la conjecture.

Partie B

4.

Quelle relationdoitvérifierl"abcissex0d"unpointM0enlequelladistanceOMestminimale?Appeler le professeur pour lui présenter la méthode envisagée

et une vérification de la relation éventuellement obtenue. 5. Pr ouverla conje ctureélaborée dans la question 3.

Production demandée

Les di érentes étapes des stratégies prévues pour répondre aux questions 4. et 5.

La mise en forme de l"une de ces étapes. 6=101

Sujet069 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève

Intersection de tangentesÉnoncé

On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar : f(x)=e1+x+e1x2 etg(x)=e1+xe1x2 On noteCfla courbe représentative defetCgla courbe représentative deg.

Pour tout réela, on note :

A le po intde Cfd"abscisseaet TAla tangente àCfau point A, B le poi ntde Cgd"abscisseaet TBla tangente àCgau point B, M ( xM;yM) le point d"intersection des tangentes TAet TB. On souhaite étudier le lieu géométriqueEdu point M lorsqueavarie dansR.

Partie A

1. À l"aide d"un l ogicielde géométrie dynamique : (a) Constr uirel escourbes CfetCgainsi que les tangentes TAet TB. (b)

Const ruirele point M. Appeler l"examinateur pour valider la figure, ou en cas de dicultés.(c)En observantlasituationobtenueavecplusieursvaleursdea,direquellerelationsemble

exister entre les réelsaetxM.Appeler l"examinateur pour valider la conjecture. 2. T racerle lieu Ldu point M. Ce point semble appartenir à la courbe représentativeEd"une

fonction connue, quelle est cette fonction? Comment peut-on vérifier cette conjecture?Appeler l"examinateur pour valider la conjecture.

Partie B

3. Démontr erque Lfait eectivement partie deE. Que dire de plus?Production demandée

Courb esdemandées aux questions 1 et 2.

Répon seà la question 3. Version du 29 juillet 20097=101 Sujet075 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève

Volume d"un tétraèdreÉnoncé

ABCDEFGH (voir figure ci-contre). Sur la demi-droite [AE) on considère un point variable K. Le but de l"exercice est de rechercher une position du point K, pour laquelle le volume du tétraèdre BDGK est

égal à la moitié du volume du cube.ADEH

BF CG 1. À l"aide d"un l ogicielr eprésenterun cube ABCDEFGH.

Placer un point K variable sur la demi-droite [AE).Appeler l"examinateur en cas de diculté2.Pour quellepositiondupointKlevolumedutétraèdreBDGKsemble-t-ilêtreégalàlamoitié

de celui du cube?Appeler l"examinateur pour une vérification de la position du point K trouvée.

3. En supposant que K occupe la position tr ouvéeà la question 2., conjectur erla natur edes

triangles KGB et KDG à l"aide du logiciel.Appeler l"examinateur pour une vérification des conjectures faites.

4. Démontr erque lorsque le point K occupe la position tr ouvéeà la question 2., le volume du tétraèdre BDGK est bien la moitié du volume du cube.Production demandée A chage des valeurs numériques nécessaires pour émettre la conjecture de la question 2. Élémen tsde pr euvepour la question 4. 8=101 Sujet076 Épreuve pratique de mathématiques (spécialité) Fiche élève

Recherche d"un point fixeÉnoncé

Dans le plan complexe orienté, on considère un triangle OO

0A de sens direct, rectangle en O. On

considère M un point du cercleCde centre O et passant par A. On désigne parSla similitude directe de centre A qui transforme O en O

0et on désigne par M0le point image de M par la

similitudeS. On cherche à prouver que la droite (MM0) passe par un point fixe. 1.

À l"aide d"un logiciel de géométrie plane, constr uirela figur eassociée à la situation décrite

ci-dessus. 2. Constr uirel"i mageC0du cercleCpar la similitudeS. Caractériser cet ensembleC0. 3. Quelle conjec turepeut-on émettr epour la dr oite(MM

0) lorsque M décrit le cercleC?Appeler l"examinateur pour une vérification de la construction faite.

On appelle A et B les points d"intersection deCetC0. 4. On pose S(B)=B0. Quelle propriété relative est vérifiée par les triangles ABB0et AOO0?

Justifier.

5. Positionner le point M afin que le point B soit entr eles points M et M 0. 6. Donner des ar gumentsmathématiques permettant de pr ouverque les points M, B et M 0sont alignés.Appeler l"examinateur pour vérification.

Production demandée

La figur eréalisée avec le logiciel de géométrie dynamique.

La caracté risationde l"ensemble C0.

La justi ficationde la pr opriétéde la question 4.

La justification de la conjectur ede la question 3. seulement dans le cas où le point B est entr eles

points M et M

0.Version du 29 juillet 20099=101

Sujet077 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève

Suites, approximation d"un réelÉnoncé

On considère les suites (an) et (bn) définies para0=9 et, pour tout entiern>0 : b n=25a

2netan+1=2an+bn3

On se propose d"étudier la monotonie et la limite de chacune de ces deux suites.

Partie A

1. Sur un tableur ,créer tr oiscolonnes donnant les val eursde n, deanet debn, pournentier variant de 0 à 20. 2. En observant les résultats obtenus sur le tabl eur,conjectur er,pour chacune des suites ( an) et

(bn), la monotonie et une valeur approchée de la limite à 106près.Appeler l"examinateur pour lui présenter les tableaux et les conjectures.

3. On considèr ela sui te( cn) définie, pour tout entiern>0, parcn=a3n. Créer une nouvelle colonne du tableur pour calculer les termescn, pournvariant de 0 à 20. Émettre alors une conjecture sur la valeur exacte de la limite de la suite (an). 4. Conjectur erde m êmela valeur exacte de la limite de la suite ( bn).Appeler l"examinateur

Partie B

5.

On admet que, pou rtout entier n>0,b3n6256a3n.

,démontrerlesrésultats

conjecturés à la question 2. sur la monotonie des suites (an) et (bn).Appeler l"examinateur pour lui présenter le schéma de la démonstration.

6.

Citer les thé orèmesqui permettent de conclur eque les suites ( an) et (bn) sont convergentes.Appeler l"examinateur pour lui donner la réponse attendue.

7. On désigne par `et`0les limites respectives des suites (an) et (bn).

En utilisant les relations qui définissent ces deux suites, démontrer les résultats conjecturés

aux questions 3. et 4. sur les valeurs exactes des réels`et`0.Appeler l"examinateur

Production demandée

Obten tionà l"écran des termes an,bnetcn, pournentier variant de 0 à 20. Conjectur esur les val eursexactes des limites des suites ( an) et (bn). Démar cheset réponses ar gumentéesaux questions 5. et 7. 10=101 Sujet081 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève

Aire variable d"un triangleÉnoncé

Soit un repère orthonormal

O;~{;~|du plan et la courbeCd"équationy=ex1.

Soit B le point deCd"abscisse 1, et A le point deCd"abscissea,aétant un nombre réel de l"intervalle [0; 1]. On s"intéresse à l"aire du triangle OAB et à la variation de cette aire en fonction dea.

Partie A

1.

Constr uirela fig ureà l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique. Appeler l"examinateur pou rlui présenter la figure construite.

2.

A cher à l"écran l"aire du triangle OAB.

En faisant variera, chercher une valeur approchée de la valeur deapour laquelle l"aire du

triangle OAB est maximale. Donner une valeur approchée de cette aire maximale.Appeler l"examinateur pour lui exposer la conclusion.

3. Pour tout adans l"intervalle [0;1], on notef(a) l"aire du triangle OAB. Construire l"ensemble

des points Ma;f(a). Retrouver les résultats de la question précédente.Appeler l"examinateur pour lui présenter la courbe obtenue et lui proposer

la démarche envisagée pour la question suivante.

Partie B

4. (a) Déterminer l"expr essionde f(a) en fonction dea. (b) En étudiant la fonction f, déterminer la valeur exacte de la variableapour laquelle la fonctionfatteint son maximum et la valeur exacte de ce maximum.Production demandée

V isualisationà l"écran de la figur edemandée et de l"ensemble des points M de la question 3.

A chage des valeurs approchées deaet def(a) pour lesquelles l"aire du triangle est maximale. Démar cheset réponses ar gumentéesà la question 4. Version du 29 juillet 200911=101 Sujet083 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève

Optimisation en géométrie planeÉnoncé

Dans un repère orthonormal du plan, on considère la courbe représentativeCde la fonction x7!exet la droite D d"équationy=2x3. On se propose de déterminer, s"il existe, un point M deCtel que la distance de M à la droite D soit minimale.

Partie A

1. Utiliser un l ogicielde géométrie pour constr uirela dr oiteD et la courbe C. 2. Placer un point mobile M sur Cet construire le point N image de M par la projection orthogonale sur D. 3. Conjectur er,au moyen du logiciel, l"abscisse du point M

0deCdont la distance à D est

minimale. Proposer une valeur approchée de cette distance minimale. Conjecturer une propriété de la tangente en M

0àC.Appeler l"examinateur pour lui présenter les constructions,

la valeur approchée et les conjectures.

Partie B

4.

Élabor erune mét hodepermettant de démontr erces conjectur es.Appeler l"examinateur pour lui présenter la méthode.

5.

Calculer les co ordonnéesde M

0et sa distance à D.Production demandée

Constr uctionde C, D, M et N au moyen du logiciel de géométrie.

Conject uresr elativesà l"abscisse de M

0et à la tangente en M0àC.

Pr opositiond"une valeur appr ochéede la distance de M

0à D.

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