LIMITES DE SUITES
+un . Calculer la limite de la suite (Sn). S n = u. 0 +u. 1 +u.
Puissance n-ième dune matrice Limite
II. Suites de matrices colonnes : Un+1 = AUn +B. Pour tout n de N Un est une matrice colonne à m lignes
Chapitre 4 Suites puissances et limites de matrices
Soit M une matrice diagonalisable c'est-à-dire telle que M = PDP?1 où D est dia- gonale. Alors ?n ? N?
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Limites de suites - BAC DE FRANCAIS
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Si g a pour limite l0 0 0 0 1 l 1 alors f g a pour limite l l0 1* F ind 0 1* F ind *Appliquer la règle des signes 4 Polynômes et les fonctions rationnelles 4 1 Fonction polynôme Théorème 1 Un polynôme a même limite en +1et 1 que son monôme du plus haut degré Si P(x) = a nxn +a n1xn 1 + +a 1x +a 0x 0 alors lim x!+1 P(x) = lim x!+1
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Chapitre 4Suites, puissances et limites de matricesSommaire 4.1 Activité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Calculsdes puissances decertaines matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Matrices triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 Matrices diagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.3 Matrices diagonalisables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Suites et limites dematrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Cas général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 Un cas particulier : suites de la formeUn+1=AUn+B. . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 Preuves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.2 Calculs par blocs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.3 Diagonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.4 Suites de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.5 Problèmes d"évolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Activité
Reprenons l"exercice
2.15page20du chapitre2.
Un théâtre propose deux types d"abonnementspour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles; un abonnement B donnant droit à trois spectacles. On considère un groupe de 2 500 personnes qui s"abonnent tousles ans. Tousles ans85%des personnesquiont choisil"abonnementA et 55%des personnesquiont choisi d"abonnement. On suppose que, l"année zéro, 1500 personnes ont choisi l"abonnement A et 1000 l"abonnement B. ?n?N, on note : anla probabilitéqu"une personne ait choisi un abonnement A l"annéen; bnla probabilitéqu"une personne ait choisi un abonnement B l"annéen; Pnla matrice?anbn?traduisant l"état probabilisteà l"annéen. Préliminaire :Justifier que, pour toutn?N,S:?an+1=0,85an+0,45bn b n+1=0,15an+0,55bn 374.2 Calculs des puissances de certaines matricesTerminale S - Enseignement de spécialité
Partie A :Étudionscette situationà l"aide de suites. Quoique hors sujet dans ce chapitre, consacré aux matrices et non aux suites, la façon de pro- céder ici, particulièrement dans la question3, nous permettra une analogie avec une suite de
matrices plus tard dans le chapitre.1. Rappeler le lien entreanetbn.
2. En déduire que, pour toutn?N,an+1=0,4an+0,45
3. (a) Déterminer le réelctel quec=0,4c+0,45.
(b) Montrer que la suite (cn) définie, pour toutn?N, parcn=an-cest géométrique. (c) En déduire que, pour toutn?N,an=0,75-0,15×0,4n. (d) En déduire vers quelle distributionva tendre le système. Partie B :Étudions cette situationà l"aide de matrices.1. DéterminerP0.
2. Montrer queSest équivalent àPn+1=Pn×MoùMest une matrice qu"on explicitera,
puis en déduire que, pour toutn?N,Pn=P0×Mn.3.Jusqu"icionutilisaitlacalculatrice pourexploiterlaformuleprécédente.Onseposemain-
tenant la question d"obtenir M n, pour tout n?N?. Nous allons voir ci-dessous une ma- nière de procéder. Nous en verrons une autre plus tard dans lechapitre. (a) Montrer queM=N+0,4RoùN=? 3 4143414?
etR=? 1
4-14-3
434?(b) CalculerN2,R2,N×RetR×N. (c) En déduire que, pour toutn?N?,Mn=N+0,4nR. (d) En déduire les coefficients deMnpour toutn?N?. (e) En déduire vers quelle distributionva tendre le système.
4.2 Calculs des puissances de certainesmatrices
possible, en sommes (comme dans l"activité), ou en produitsde matrices, dont on peut calculer facilement les puissances.Certaines matrices, du fait de la simplicité de calcul de leurs puissances, jouent un rôle plus parti-
culier : les matrices triangulaireset les matrices diagonales.4.2.1 Matrices triangulaires
Définition 4.1.SoitA=(ai j) une matrice carrée d"ordren. Aest ditetriangulaire supérieured"ordren(respectivementinférieure)si : ?(i,j)??1;n?2,i>j?ai j=0 (respectivementiLes puissances d"une matrice strictementtriangulaire d"ordre n sont nulles à partir de l"exposant n.
38http://perpendiculaires.free.fr/ Terminale S - Enseignement de spécialité4.2 Calculs des puissances de certaines matrices
On l"admettra.
Exemple 4.1.SoitMune matrice triangulairestrictement supérieure d"ordre 3.On peut écrireM=((0a b
0 0c0 0 0))
. CalculerM2etM3.4.2.2 Matrices diagonales
Définition 4.2.SoitA=(ai j) une matrice carrée d"ordren.Aest ditediagonaled"ordrensi :
?(i,j)??1;n?2,i?=j?ai j=0 Propriété 4.2.Soit D=(di j), une matrice diagonale d"ordre n. Alors,?p?N?, Dpest une matrice diagonale d"ordre n dont les éléments diagonaux sont,?i? ?1;n?, dp ii. On l"admettra pourn?=2, et, pour les matrices diagonales d"ordre 2, on laisse la démonstration (exigible) au lecteur : on le prouve par récurrence surp.4.2.3 Matrices diagonalisables
Définition 4.3.Une matrice carréeMd"ordrenest ditediagonalisables"il existe une matrice diagonaleDd"ordrenet une matrice carréePd"ordreninversible telles queM=PDP-1.Propriété 4.3.Soit M une matrice diagonalisable c"est-à-dire telle que M=PDP-1où D est dia-
gonale. Alors,?n?N?, Mn=PDnP-1. La démonstrationest à refaire dans chaque exercice. On le prouve par récurrence surn.Exemple 4.2.SoitM=?6,25-9
4,5-6,5?
,D=?0,25 00-0,5?
etP=?3 42 3?1. Montrer queP-1=?3-4
-2 3?2. Vérifier queM=PDP-1.
3. Montrer, par récurrence surn, que,?n?N?,Mn=PDnP-1.
4. En déduire les coefficients deMn,?n?N?.
Méthode pour diagonaliser une matrice2×2
La question se pose alors de déterminer, au moins pour les matrices carrées d"ordre 2 :si la matrice est diagonalisable;
quelles sont les matricesDetPdans ce cas.
On a alors la propriété suivante :
Propriété 4.4.Soit A une matrice carrée d"ordre 2.A est diagonalisable si, et seulement si, il existeλetμ, appelésvaleurs propresde A, et V et
W deux matrices colonnes à coefficients non proportionnels,appeléesvecteurs propres, tels que AV=λV et AW=μW.En posant P=?V W?, on a A=P?λ0
0μ?
P -1.David ROBERT39
4.3 Suites et limites de matricesTerminale S - Enseignement de spécialité
On l"admettra.
Dans la pratique, on procède de la manière décrite ci-dessous.SoitA=?a b
c d? . CherchonsV=?x y? tel queAV=λV.AV=λV??ax+by=λx
cx+dy=λy??(a-λ)x+by=0 cx+(d-λ)y=0?B?x y? =?00? avecB=?a-λb c d-λ?On aB=A-λI2.
SiBest inversible, alorsV=?x
y? =B-1?00? =?00? et donc la matrice colonneVest alors proportion- nelle à toute matrice colonneWcarV=0×W. Pour queAsoit diagonalisable,il faut donc queBne soit pas inversible, donc que son déterminant soit nul. En partant deAW=μW, on obtient aussiAdiagonalisable?μ2-(a+d)μ+ad-bc=0. Finalement,Aest diagonalisable?le polynômex2-(a+d)x+ad-bcadmet des racines réelles est appelé polynôme caractéristique deA.Reste alors à trouverVetW.
Il faudra, au cas par cas, résoudre le système suscité avecλpuisμ. On notera que, le déterminant
deBétant nul, il n"y aura pas de solution unique pourVouWdonc pourP. Exemple 4.3.Reprenons la matriceMde l"activité d"introduction:M=?0,85 0,450,15 0,55?1. Montrer que le polynôme caractéristique deMestx2-1,4x+0,4.
2. En déduire l"existence et la valeur des valeurs propresλetμdeM.
3. (a) On poseV=?x
y? . Montrer queMV=λV?x=3y. En déduire un vecteur propreV. (b) On poseW=?x y? . Montrer queMW=μW?x=-y. En déduire un vecteur propreW. (c) MontrerqueP=?V W?estinversible.EndéduirequeMestdiagonalisableetexpliciterP,P-1etD.
4. Montrer, par récurrence surn, que,?n?N?,Mn=PDnP-1.
5. En déduire les coefficients deMn,?n?N.
4.3 Suites et limitesde matrices
4.3.1 Cas général
Définition 4.4.De la même manière qu"on définit une suite de nombres, on peut définir une
suite de matrices comme une application qui à chaque entier naturelnassocie une matriceUn, ces matricesUnétant toutes de mêmes dimensions. Remarque.Unesuite(Un) de matricespeut aussiêtre considéréecomme unematriceUndonttous les coefficients sont des termes de suites numériques(éventuellement stationnaires). Définition 4.5.Une suite de matrices converge si et seulement si toutes les suites formant les coefficients de cette matrice convergent. 40http://perpendiculaires.free.fr/ Terminale S - Enseignement de spécialité4.4 Exercices et problèmes Exemple 4.4.On peut considérer la suite de matrice(Un) oùUn=MnoùMest la matrice de l"acti- vité d"introduction.On a alors,?n?N,Un=? 3
4+14×0,4n14-14×0,4n
34-34×0,4n14+34×0,4n?
Cette suite de matrices converge vers la matriceU=? 3 4143414?
4.3.2 Un cas particulier : suites de la formeUn+1=AUn+B
Propriété 4.5.Soit :
(Un)une suite de matrices colonnes de taille p;A une matrice carrée non nulle d"ordre p;
B une matrice colonne de taille p,
telles que?n?N,Un+1=AUn+B. S"il existe une matrice C telle queC=AC+B alors,?n?N,Un=An(U0-C)+C.La preuve sera faite en classe.
Remarque.Dans le cas de la modélisation d"un graphe probabiliste, si la matriceCexiste, elle est appeléétat stabledu système. On a alors le théorème suivant (qu"on admettra). Théorème4.6.Silamatrice detransition A d"unprocessusmodélisableparungrapheprobabiliste (on dit aussiunemarche aléatoire),admet une puissance dont tous les coefficients sont strictementpositifs, alors le système admet un unique état stable et la suite des états probabilistes converge vers
l"état stable indépendammentde l"état initial.Méthode pour trouverl"état stable
C=AC+B?C-AC=B?InC-AC=B?(In-A)C=B.
SiIn-Aest inversible,C=(In-A)-1B.
4.4 Exercices et problèmes
4.4.1 Preuves
EXERCICE4.1.
On s"intéresse dans cet exercice aux matrices triangulairessupérieures.1. Matrices d"ordre 2
(a) SoitMetM?deux matrices triangulairessupérieuresd"ordre 2 à coefficients réels. Mon- trer queMM?est aussi une matrice triangulairesupérieure. (b) Montrer, par récurrence surn, que,?n?N?,Mnest aussi une matrice tiranngulaire supérieure.2. Matrices d"ordre 3
Reprendre la démonstrationprécédente pour une matrice triangulairesupérieure d"ordre 3.David ROBERT41
4.4 Exercices et problèmesTerminale S - Enseignement de spécialité
4.4.2 Calculs par blocs
EXERCICE4.2.
On considère la matriceMécrite en blocsM=?A B C D? oùA=?2 03-1? ,B=?0 12 0? ,C=?1 11 1? etD=?0 13 0?
1. Quel est le format deM?
2. ÉcrireMavec tous ses coefficients.
3. CalculerM2à la main de la manière suivante :
(a) Effectuer le calcul deM2en considérant l"écriture deMpar blocs. (b) Calculer les produitsA2,BC, etc. nécessaires pour expliciterM2. (c) Donner alorsM2.EXERCICE4.3.
On considère la matriceMsuivante :
M=(((((1 0 0 00 2 0 00 0 1 02 0 2 0)))))En calculant par blocs, montrer que M n=(((((1 0 0 00 2 n0 00 0 1 0
2 0 2 0)))))
4.4.3 Diagonalisation
EXERCICE4.4.
Onconsidèrelesmatrices:M=((-3
413414034-1
4114))
,P= (1 1-1 1-1-11 1 1))
etQ=((0 1 11-1 0 -1 0 1))1. CalculerleproduitPQet leproduitQP.En
déduire quePest inversible.2.D=P-1MP. CalculerD.
3. Montrer queM=PDP-1puis queMn=
PD nP-1pour toutndeN?.4. CalculerDnet en déduireMn.
EXERCICE4.5.
SoitA=?2 34 1?
1. SoitV=?11?
etW=?-3 4? (a) CalculerAVetAW.EndéduirequeA admet deux valeurs propres que l"on précisera. (b) SoitD=?5 00-2? . Donner une ma- trice carréePtelle queA=PDP-1. Vérifier en calculantPDP-1.2. Montrer que pour toutndeN?,An= PD nP-1.3. CalculerDnet en déduireAnpour toutn
deN?.EXERCICE4.6.
On considère la matriceA=?-1 5
4-2?1. Soitxun réel etVune matrice colonne
2×1.
(a) MontrerqueAV=xV?(A-xI2)V=?00? (b) Justifierquepourqu"il existeunema- triceVnon nulle, vérifiant cette éga- lité, il est nécessaire que le détermi- nant de la matriceA-xI2soit nul. (c) En déduire les valeurs possiblesλetμdex.
2. DéterminerV=?ab?
etW=?c d? non pro- portionnelles telles queAV=λVetAW=μW.
3. Diagonaliser la matriceA.
4. En déduireAnpour toutn?N?.
42http://perpendiculaires.free.fr/ Terminale S - Enseignement de spécialité4.4 Exercices et problèmes
4.4.4 Suites de matrices
EXERCICE4.7.
Soit la suite de matrices colonnes (Un) définies parU0=?11? et par la relation de récurrence : U n+1=AUnavecA=?0,3-0,10,2 0?
1. Montrer queAn=0,1n?2n+1-1 1-2n
2 n+1-2 2-2n?En déduire l"expression deUnen fonction
den.2. La suite (Un) est-elle convergente?
EXERCICE4.8.
Soit la matriceA=?0,3 0,20,1 0,4?
etB=?12 0? 3? et, pour tout entier natureln:Un+1=AUn+B.1. Montrer queA=PDQ, avecP=?1-2
1 1?D=?0,5 0
0 0,2?
etQ=? 1 323-1313?
2. CalculerQPet en déduireAnen fonction
den.3. ExprimerUnenfonctionden,puisétudier la convergence de la suite (Un).EXERCICE4.9.
On considère une suite réelle (un) définie par : (un):???u 0=0 u 1=4 ?n?N,un+2=32un+1-12un
1. Calculeru2,u3etu4.
2. À l"aide de la calculatrice, conjecturer le
comportement asymptotiquede (un).3. Onconsidèrelasuitedematricescolonnes
(Vn) définie,?n?N, parVn=?un+1 u n? (a) Montrer que,?n?N,Vn+1=AVn, où A=? 32-121 0?
puis que,?n?N,Vn= A nV0. (b) Diagonaliser la matriceApuis déter- minerAn. (c) En déduireVnpuisunen fonction de n.4. Étudier la convergence de la suite (un).
4.4.5 Problèmes d"évolution
EXERCICE4.10.
Deux joueurs de tennisAetBdécident de jouer une partie toutes les semaines. La probabilité queAgagne une partie de la première semaine est 0,7. SiAgagne la partie de la semainen,Btirant des enseignements de sa défaite, la probabilité queAl"emporte la semaine qu"il gagne la semaine suivante est de 0,9. On noteAl"état "Agagne la semainen» etBl"état "Bgagne la semainen».1. Écrire la matricede transitionassociée à cette marche aléatoire, en considérant les états dans
l"ordre alphabétique.2. Déterminer si un état stable existe et, si oui, quel est-il.
3. Conclure.
EXERCICE4.11.
Un individu susceptible de contracter une maladie peut êtredans un des trois états suivants :S :sain;
M :malade/infecté par la maladie;
I :immunisé.
Son état peut changer tous les trois mois selon les probabilités suivantes :David ROBERT43
4.4 Exercices et problèmesTerminale S - Enseignement de spécialité
Si l"individu est sain,il le reste avec une probabilitéde 0,6 ou bienil devient maladeavec une
probabilité de 0,3 ou bien il devient immuniséSi l"invidivu est malade, il le reste avec une probabilitéde0,1 ou bien il devient immunisé
Sil"invidivu est immunisé,il leresteavec uneprobabilitéde0,9 ou bienil perdsonimmunitéquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] conjecturer graphiquement le comportement d'une suite
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