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Suites et séries de fonctions

7 octobre 2019

Dans ces notes on s"intéresse aux problèmes de convergence de suites ou de séries de fonc- tions, et aux propriétés de l"éventuelle limite. Tous les résultats donnés dans ce chapitre sont valables pour des fonctions d"une variable réelle. Quand cela aura du sens on pourra également considérer des fonctions d"une variable

complexe (ou de plusieurs variables réelles ou complexes) mais les spécificités des fonctions

d"une variable complexe seront abordées dans le chapitre sur les fonctions holomorphes. On commence par rappeller qu"étudier une suite ou une série est essentiellement équi- valent. En effet, si on s"intéresse à la série numériqueP n2Nun, alors pour toutN2Non peut noterSN=PN n=0un(inversement on aun=SnSn1pour toutn2N), et alors la convergence de la sérieP n2Nunest équivalente à la convergence de la suite(SN)N2N.

Simplement, selon les cas, il est plus agréable de travailler soit avec le terme général d"une

suite soit avec la différence entre deux termes consécutifs. Ce sera la même chose pour les suites et séries de fonctions. Dans toutes ces notes on considérera des fonctions à valeurs dansK, oùKdésigneRou C. En fait on pourrait énoncer la plupart des résultats pour des fonctions dans un espace de

Banach quelconque, mais on n"en parlera pas ici.

1 Convergence simple

1.1 Définition et exemples

SoitDun ensemble. On considère une suite(fn)n2Nde fonctions deDdansK. La façon la plus naturelle de définir une limite pour la suite(fn)n2Nest de regarder, pour chaque x2D, la limite éventuelle de la suite numérique(fn(x))n2N. Définition 1.1.SoientDun ensemble,(fn)n2Nune suite de fonctions deDdansK, etf une fonction deDdansK. On dit quefnconverge simplement (ou ponctuellement) versf quandntend vers+1si pour toutx2Don a f n(x)!n!+1f(x):

Autrement dit,

8x2D;jfn(x)f(x)j !n!+10:

Ce qui s"écrit encore

8x2D;8" >0;9N2N;8n>N;jfn(x)f(x)j6":(1.1)

Exemple1.2.Pourn2Non considère la fonction

f n:[0;1]!R; x7!xn: Alorsfnconverge simplement vers la fonctionfqui àx2[0;1]associe f(x) =(

0six2[0;1[;

1six= 1:

1 Préparation à l"agrégation - Suites et séries de fonctions

Figure1 - Puissances dexsur[0;1]

Exemple1.3.Pourn2Non considère la fonction

f n:R!R x7!1 +xn n Alorsfnconverge simplement vers la fonction exponentielle. Exemple1.4.Soit'une fonction quelconque deRdansR. Pourn2Retx2Ron note f n(x) ='(x)n+1. Alorsfnconverge simplement vers 0. La convergence simple est définie de façon parfaitement analogue pour les séries de fonc- tions. Définition 1.5.Soit(gn)n2Nune suite de fonctions deDdansK. On dit que la sérieP n2Ngn converge simplement si la série numériqueP n2Ngn(x)est convergente pour toutx2D. Dans ce cas on noteP n2Ngnla fonction qui àx2DassocieP n2Ngn(x).

Remarque1.6.PourN2Non noteSN=PN

n=0gn:Alors la sérieP n2Ngnest simple- ment convergente si et seulement si la suite(SN)N2Nconverge simplement. Dans ce cas,SN converge simplement vers la sommeS=P n2Ngn.

Exemple1.7.La sérieP

n2Nxnconverge simplement sur]1;1[, et sa somme est X n2Nx n=11x: En effet, pour toutN2Nla somme partielleSNest telle que, pour toutx2]1;1[, S

N(x) =1xN+11x!N!+111x:

Exemple1.8.Pourn2Netx2Ron pose

g n(x) =sin(nx)n 2:

Soitx2R. Pourn2Non ajgn(x)j61n

2, donc la série numériqueP

n2Ngn(x)converge.

Cela signifie que la série de fonctionsP

n2Ngnconverge simplement. Exemple1.9.Soit >0. On considère sur[0;1]la série de fonctionsP n2N(1)nxnn . Par le critère des séries alternées la série converge pour toutx2[0;1]. Puisque la notion de convergence simple n"est rien d"autre qu"une limite de suites numé- riques regardées indépendamment les unes des autres, il est clair que toutes les opérations algébriques valables pour les limites sont valables pour la convergence simple. Ainsi la somme de deux suites de fonctions simplement convergentes est simplement convergente, et la limite de la somme est la somme des limites. Idem pour le produit, le quotient si les dénominateurs ne s"annulent pas, etc.2 J. Royer - Université Toulouse 3

1 CONVERGENCE SIMPLE

1.2 Propriétés de la limite simple

On considère un intervalleIdeRet(fn)n2Nune suite de fonctions deIdansRconver- geant simplement vers une fonctionf.

On commence par les propritétés définies par des égalités, évidemment préservées par

passage à la limite simple. Proposition 1.10.(i)SiIest un intervalle symétrique et sifnest paire (respectivement impaire) pour toutn2N, alorsfest paire (respectivement impaire). (ii)SiI=Ret s"il existeT >0tel quefnestT-périodique pour toutn2N, alorsfest

T-périodique.

On rappelle que le passage à la limite est compatible avec la relation d"ordre. Ainsi toutes

les propriétés définies par des inégalités sont préservées par le passage à la limite simple. On

pense évidemment à la monotonie, mais aussi à la convexité. On rappelle qu"une fonction f:I!R, oùIest un intervalle deR, est convexe si

8x;y2I;82[0;1]; fx+ (1)y6f(x) + (1)f(y):

La définition de la concavité est obtenue en renversant l"inégalité. Proposition 1.11.(i)Sifnest croissante (respectivement décroissante) pour toutn2N, alorsfest croissante (respectivement décroissante). (ii)Sifnest convexe (respectivement concave) pour toutn2N, alorsfest convexe (res- pectivement concave). Démonstration.On suppose quefnest croissante pour toutn2N. Soientx;y2Itels que x6y. Pour toutn2Non afn(x)6fn(y). Par compatibilité de la relation d"ordre avec le passage à la limite, on obtient quandntend vers+1quef(x)6f(y). Cela prouve quef

est croissante. Les autres propriétés sont démontrées de façon analogue.Remarque1.12.Attention, les inégalités strictes ne sont pas préservées par passage à la

limite. Ainsi, sifnest strictement croissante pour toutn2Nalorsfsera croissante (d"après la proposition 1.11 ) mais pas nécessairement strictement croissante (voir par les exemples 1.2 ou 1.4 a vec'strictement croissante). De même la limite simple d"une suite de fonctions strictement convexes sera convexe mais pas nécessairemeent strictement convexe.

1.3 La régularité ne passe pas à la limite simple

La convergence simple d"une suite de fonctions est relativement simple à vérifier, puisqu"il suffit de vérifier, pour chaquexindépendamment des autres, la convergence d"une suite numérique. Mais cela ne donne pas de bons résultats, au sens où si on part d"une suite de

fonctionsfnqui vérifient de bonnes propriétés, la limitefne vérifiera pas nécessairement ces

mêmes propriétés. Typiquement, la régularité des fonctions, qui nécessite de pouvoir comparer la valeur d"une fonction en un pointxaux valeurs de la fonction aux points proches dex, ne se trans- met pas du tout par limite simple.

Prenons l"exemple

1.2 . On observe que lim n!+1limx!1x<1x n= limn!+11 = 1; tandis que limx!1x<1limn!+1xn= limx!1x<10 = 0:

Avec les notations de l"exemple

1.2 on p eutencore écrire que

8n2N;limx!1x<1f

n(x) = 1;Année 2019-2020 3 Préparation à l"agrégation - Suites et séries de fonctions et pourtant limx!1x<1f(x)6= 1: Pour chaquen, sixest suffisamment proche de 1, alorsxnest proche de 1. Mais la condition "xest suffisamment proche de » est de plus en plus restrictive au fur et à mesure quengrandit, à tel point qu"aucunx <1ne peut vérifier cette condition pour toutn. Plus précisément, si on fixe" >0, alorsjfn(x)1j6"si et seulement six>(1")1n . Cette condition devient de plus en plus restrictive quandngrandit, et seulx= 1la vérifie pour toutn. Une autre façon de dire la même chose est de remarquer que si on notexn= (1")1n alors on a x n!n!+11etfn(xn) = 1" <1: Pire, si on noteyn= 1=(n1=n) = exp(ln(n)=n)alors on a y n!n!+11etfn(yn)!n!+10:

Par suite, toutes les notions de régularité définies à partir de limites (continuité, dérivabi-

lité, etc.) ne passent pas non plus à la limite simple. À nouveau, l"exemple 1.2 est très parlan t, puisqu"une suite de fonctions polynomiales (on ne peut plus régulières, donc) converge vers une fonction qui n"est même pas continue. Pour se convaincre qu"on ne peut rien conclure avec la limite simple, on donne un autre contre-exemple.

Exemple1.13.Pourn2Netx2Ron pose

f n(x) =sin(nx)n

Pour toutx2Ron a

jfn(x)j61n !n!+10; doncfnconverge simplement versf= 0. On observe quefnest dérivable surRpour tout n2Net pourn2Netx2Ron a f

0n(x) =ncos(nx):

D"un autre côté,fest dérivable de dérivée nulle. Et pourtantf0nne converge pas versf0.

D"ailleurs, la suite(f0n)n2Nn"a pas du tout de limite simple.

1.4 Limites simples et intégration

Le passage à la limite simple ne se comporte pas bien du tout non plus vis-à-vis de l"intégration. On reviendra sur ce point au paragraphe 4

. On note ici que même si(fn)n2Nest une suite de fonctions continues à supports compacts qui converge (simplement) vers une

fonction continue à support compact (le cas a priori le plus favorable pour l"intégration), on peut avoir lim n!+1Z R f n(x)dx6=Z R limn!+1fn(x)dx: Exemple1.14.Pourn2Non notefnla fonction définie surRpar f n(x) =8 >>:0six6n1; x(n1)sin16x6n; (n+ 1)xsin6x6n+ 1;

0six>n+ 1:

La fonctionfnainsi définie est continue à support compact surRet on a Z R f n(x)dx=Z n+1 n1f n(x)dx= 1:4 J. Royer - Université Toulouse 3

2 CONVERGENCE UNIFORME

D"autre part,fnconverge simplement vers 0. Ainsi on a lim n!+1Z R f n(x)dx6=Z R limn!+1fn(x)dx: Exemple1.15.Pourn2Non notefnla fonction définie surRpar f n(x) =8 >>:0six60; n

2xsi06x61n

2nn2xsi1n

6x62n

0six>2n

Comme pour l"exemple précédent, cela définit une suite de fonctions continues, à supports

compacts, d"intégrales 1, et qui pourtant converge simplement vers 0 (le vérifier). Exemple1.16.On a de la même façon un contre-exemple en considérant, pourn2N, la fonctionfndéfinie surRpar f n(x) =8 >>:0six6n; 1n +xn

2sin6x60;

1n xn

2si06x6n;

0six>n:

2 Convergence uniforme

2.1 Définition et exemples

On a vu que la convergence simple d"une suite ou d"une série de fonctions est une notion trop faible pour pouvoir prouver de bonnes propriétés sur la limite. On introduit maintenant une notion de convergence plus contraignante, pour les suites puis pour les séries. Définition 2.1.SoientDun ensemble,(fn)n2Nune suite de fonctions deDdansK, etf une fonction deDdansK. On dit quefnconverge uniformément versfquandntend vers +1si sup x2Djfn(x)f(x)j !n!+10:

Cela s"écrit aussi

8" >0;9N2N;8x2E;8n>N;jfn(x)f(x)j6":(2.2)

Définition 2.2.SoientDun ensemble et(gn)n2Nune suite de fonctions deDdansK. On dit que la série de fonctionsP n2Ngnconverge uniformément si la suite des sommes partielles correspondante converge uniformément. Autrement dit,

8" >0;9N2N;8n>N;8p>0;8x2D;

n+pX k=ng k(x) 6": On commence par vérifier que la convergence uniforme est une propriété plus forte que la convergence simple. Proposition 2.3.Soient(fn)n2Netfcomme à la définition2.1 . Sifnconverge uniformé- ment versf, alorsfnconverge simplement versf.

Démonstration.Soitx2D. On a

jfn(x)f(x)j6sup x2Djfnfj !n!+10: D"oùfnconverge simplement versf.Année 2019-2020 5 Préparation à l"agrégation - Suites et séries de fonctions Remarque2.4.Pour montrer qu"une suite ne converge pas uniformément, on peut utiliser une caractérisation séquentielle. Soit(fn)n2Netfcomme précédemment. On suppose qu"il existe une suite(xn)n2Nd"éléments deDtelle que f n(xn)f(xn)!n!+10: Alorsfnne tend pas uniformément versf. En effet, il existe" >0et une extraction' (fonction':N!Nstrictement croissante) telle que pour toutk2Non a f'(k)(x'(k))f(x'(k))>": Cela donne immédiatement une contradiction avec la définition de la convergence uniforme. Exemple2.5.On revient sur l"exemple1.2 . Alors la convergence defnversfn"est pas uniforme. En effet pour toutn2Non a f n(21n )f(21n ) =12 ;(2.3) ce qui, d"après la remarque 2.4 , prouve quefnne converge pas uniformément versf. Puisque f nne peut pas converger uniformément vers une autre limite que sa limite simple, cela prouve que la suite(fn)n2Nne converge pas uniformément. Il est important de bien faire la différence entre convergence simple et convergence uni- forme. Pour la convergence simple, on regarde la convergence de la suite(fn(x))n2Npour chaquexindépendamment les uns des autres, et en particulier la vitesse de convergence de f n(x)versf(x)peut être différente pour chacun desx. Pour avoir convergence uniforme il faut non seulement avoir convergence simple, mais de plus la vitesse de convergence defn(x) versf(x)doit êtreuniformeenx2D. C"est une condition bien plus forte qui va typiquement

permettre de résoudre les problèmes de régularité de la limite évoqués au paragraphe

1.3

2.2 Continuité de la limite uniforme

Dans ce paragraphe on montre que contrairement à la limite simple, la convergence uni- forme préserve bien la continuité. On se donne une partieDdeRou deC(typiquement un intervalle deR, ou un ouvert quelconque deRou deC). Proposition 2.6.Soient(fn)n2Nune suite de fonctions deDdansK. On suppose quefn converge uniformément vers une fonctionf:D!K. Soita2D. On suppose que pour tout n2Nla fonctionfntend vers une limite`n2Kena. Alors la suite(`n)n2Nadmet une limite`et on a f(x)!x!a`: Il s"agit d"un résultat d"interversion de limites, qu"on peut encore écrire sous la forme lim x!alimn!+1fn(x) = limn!+1limx!afn(x): Démonstration.Soit" >0. Il existeN2Ntel que pour tousn;m>Netx2Don a jfn(x)fm(x)j6"3 D"autre part, pourn>Nil existen>0tel que pour toutx2Dtel quejxaj6non a jfn(x)`nj6"3 Soient alorsn;m>N,= min(n;m)>0etx2Dtel quejxaj6. On a Cela prouve que(`n)n2Nest une suite de Cauchy dansK. Elle admet donc une limite, qu"on note`.6 J. Royer - Université Toulouse 3

2 CONVERGENCE UNIFORME

Étant donné" >0, on choisit maintenantn2Ntel que pour toutx2Don a jfn(x)f(x)j6"3 etj`n`j6"3 Pourx2Dtel quejxaj6n(oùn>0est choisi comme précédemment) on a alors jf(x)`j6jf(x)fn(x)j+jfn(x)`nj+j`n`j6":

Cela prouve queftend vers`quandxtend versa.Puisque la continuité d"une fonction n"est rien d"autre qu"une propriété sur la limite en

chaque point du domaine de définition, on en déduit le résultat suivant. Proposition 2.7.Soit(fn)n2Nune suite de fonctions continues deDdansK. On suppose quefnconverge uniformément vers une fonctionf:D!K. Alorsfest continue surD.

Sifest une fonction continue surD, on note

kfk1= sup x2Djf(x)j: Proposition 2.8.L"applicationf7! kfk1est une norme sur l"espaceC0(D;K)des fonc- tions continues deDdansK. L"espace vectorielC0(D;K)muni de cette norme est alors un espace de Banach (espace vectoriel normé complet). Démonstration.On vérifie la deuxième assertion. Soit(fn)n2Nune suite de Cauchy dans C

0(D;K). Soitx2D. On a

jfn(x)fm(x)j6kfnfmk1!m;n!+10: Cela prouve que la suite('n(x))n2Nest de Cauchy dansK. CommeKest complet, elle admet une limite, que l"on notef(x). Cela définit une fonctionfdeDdansK. Il reste à montrer quef2C0(D;K)et quefntend versfdansC0(D;K)(c"est-à-dire pour la normekk1). Soit" >0. Il existeN2Ntel que pour tousn;m>Non akfnfmk16". Soitx2D.

On a alors

jfn(x)fm(x)j6":

Par passage à la limite (m!+1), on obtient

jfn(x)f(x)j6":

Ceci étant valable pour toutx2D, on a donc

kfnfk16": Cela prouve quefntend versfuniformément. D"après la proposition2.7 , cela implique en particulier quefest continue. Ainsifappartient bien àC0(D;K)et est bien limite defn pour la norme uniforme.2.3 Convergence uniforme sur les compacts

L"un des principaux intérêts de la convergence uniforme est de préserver la continuité. Or

la continuité est une propriété locale. Et la convergence uniforme est une propriété globale.

Ainsi, sifntend versf, et si on veut montrer la continuité defen un certainx2D, on a a priori besoin d"une propriété sur les valeurs defau voisinage dex, et pour cela on demande des informations sur les valeurs defetfnsur toutD. C"est sans doute une hypothèse plus forte que nécessaire. En y réfléchissant, pour avoir la continuité defenx, il suffit d"avoir la convergence uniforme defnversfsur un voisinage dex. Et si on veut la continuité en toutx, il suffit donc d"avoir la convergence uniforme defnversfau voisinage de toutx. La notion qu"on utilise est alors la suivante.Année 2019-2020 7 Préparation à l"agrégation - Suites et séries de fonctions Définition 2.9.SoitDun invervalle deR(ou un ouvert deRou deC). Soit(fn)n2Nune suite de fonctions deDdansK. On dit quefnconverge versf:D!Kuniformément sur les compacts si pour tout compactKdeDla restrictionfnjKdefnàKconverge uniformément versfjK. Proposition 2.10.Soit(fn)n2Nune suite de fonctions continues deDdansK. On suppose quefnconverge uniformément sur les compacts vers une fonctionf:D!K. Alorsfest continue surD. Exemple2.11.Pourn2Non considère sur[0;1[la fonctionfn:x7!xn. Par rapport à l"exemple 1.2 (v oiraussi l"exemple 2.5 ), on a retiré le point 1, au voisinage duquel se posait le problème pour la convergence uniforme. Néanmoins, la convergence defnvers 0 n"est toujours pas uniforme, puisque ( 2.3 ) est toujours valable. SoitKun compact de[0;1[. Il existea2[0;1[tel queK[0;a]. Pourn2Netx2[0;a] on a jxnj6an: Puisqueanne dépend pas dexet tend vers 0 quandntend vers+1, on obtient quefn converge uniformément vers 0 sur[0;a](et donc surK). Ainsi,fnconverge uniformément vers 0 sur tous les compacts de[0;1[. Dans cet exemple, le fait quefnconverge uniformément sur[0;a]assure que sa limite est continue sur[0;a](certes, dans ce cas simple, on le savait déjà). Soient maintenantx2[0;1[ eta2]x;1[. Comme la limite defnest continue sur[0;a], elle est en particulier continue en x. Ceci étant valable pour toutx, on obtient que la limite defnest continue sur tout[0;1[, même si la convergence n"est pas uniforme sur tout[0;1[. On donne plus d"exemples, avec des limites moins triviales, au paragraphe 3

2.4 Intégrale de la limite uniforme

On revient dans ce paragraphe sur le passage à la limite sous une intégrale. Si une suite de fonctions continue converge uniformément sur un compact, alors la limite des intégrales est bien l"intégrale de la limite (qui est elle-même continue). Proposition 2.12.Soienta;b2Raveca < bet(fn)n2Nune suite de fonctions continues sur[a;b]. On suppose quefnconverge uniformément vers une fonctionfsur[a;b]. Alorsf est continue sur[a;b]etZb a f n(x)dx!n!+1Z b a f(x)dx:

Démonstration.La continuité defest conséquence de la proposition2.7 . Ainsi l"intégrale de

fsur[a;b]est bien définie. En outre on a par linéarité de l"intégrale et l"inégalité triangulaire

Z b a f(x)dxZ b a f n(x)dx Z b af(x)fn(x)dx 6 Z b a jfn(x)f(x)jdx 6 Z b a kfnfk1dx

6(ba)kfnfk1

!n!+10:

D"où le résultat.Ce résultat est important, mais il n"est pas suffisant. D"une part, il n"est pas du tout

valable sur un intervalle non borné deR(voir l"exemple1.16 , où la suite de fonctions consi- dérée converge uniformément vers 0). En outre, on aura besoin de considérer des limitesquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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