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5) Etudier les variations de la suite . 6) Montrer que pour tout ?? 0< ? 1. Exercice 13. On considère la suite définie par = ?
Exercice 1 : (4 points) Etudier la monotonie de la suite u. 1) un = n
5) Étudier les variations de la suite (un). Page 3. Première S3. IE5 comportement des suites. S1 2016-2017.
Ex 2 - Exercices sur les variations de suites - CORRIGE.pdf
-. > : la suite ( )n u est croissante. Exercice 3 : Etudier le sens de variation de chacune des suites suivantes : Pour 1 n ?.
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Donc la suite est strictement croissante mais n'est pas monotone. II) Etude du comportement des suites à l'infini. Exemple 1 : On définit la suite par : = 2
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Construire sur l'axe des abscisses du graphique ci-contre les premiers termes de la suite. Décrire alors le comportement de cette suite. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Limites asymptotes EXOS CORRIGES
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PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES
Exercice n°3. On jette une pièce de monnaie 3 fois de suite. ... Dans un magasin d'électroménager on s'intéresse au comportement d'un acheteur ...
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dans lesquels le formalisme mathématique s'applique et permet de résoudre des permet de se faire une idée très précise du comportement de la suite ...
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Exercice 3 corrigé disponible Exercice 6 corrigé disponible ... Conjecturer graphiquement le comportement de la suite (un) (limite et sens de.
Première S - Comportement d’une suite Problèmes
Une suite ; ¹ Ù est monotone si elle est croissante ou décroissante Remarque : pour connaître le sens de variation d’une suite on compare donc deux termes consécutifs de la suite On doit faire cela pour tous les termes de la suite 2) Méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite
Exercices supplémentaires : Suites - Free
1) Montrer que la suite définie pour ? ? par = est arithmétique 2) Déterminer l’expression de en fonction de et en déduire l’expression de en fonction de 3) Déterminer la plus petite valeur de telle que ? 50
Exercice 1 - hmalherbefr
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017 CORRECTION 3 Exercice 1 : (5 points) Etudier la monotonie de la suite u 1) u n = n 2n 2) u n = 1 n + 1 - 1 n 3) u n+1 = u n 1 + u n ² et u 0 = 4 4) u est la suite géométrique de premier terme u 0 = -1 et de raison q = 1 4 5) u est la suite arithmétique de premier terme u 0 = -5 et de
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Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S1 1 Exercice 1 : (4 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un = n
2n2) un = 1
n + 1 - 1 n3) un+1 = un
1 + un² et u0 = 4
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raiso = 1
4.5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison r = 10.
Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par : u0 = 1 et un+1 = - 16 un + 8. 1) (un) ainsi que sa limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un + 4 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
4.3) vn).
4) n : un = 4 20n
4 + 5n.
5) Étudier les variations de la suite (un).
Première S3 IE5 comportement des suites S2 2016-2017 2Exercice 1 : (4 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un =22n+2
3n2) un = n n²
3) un+1 = (un + 1)² et u0 = 1
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raiso = 2.
5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = 10 et de raison r = -5.
Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par : u0 = 1 et un+1 = 96 un.
1) (un) ainsi que sa limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un 3 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
3.3) vn).
4) n : un = 6n + 3
2n + 3.
5) Étudier les variations de la suite (un).
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
3Exercice 1 : (5 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un = n
2n2) un = 1
n + 1 - 1 n3) un+1 = un
1 + un² et u0 = 4
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raison q = 1
4.5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison r = 10.
1) Comme 2n > 0, un est défini pour tout entier naturel.
un+1 un = n + 12n+1 - n
2n = n + 1
2n+1 - 2n
2n+1 = 1
2n+1 (n + 1 2n)
un+1 un = 12n+1(n + 1 2n)n + 1 + 2n
n + 1 + 2n un+1 un = 12n+1(n + 1² - (2n)²
n + 1 + 2n12n+1n + 1 - 4n
n + 1 + 2n= -3n + 12n+1(n + 1 + 2n)
2n+1(n + 1 + 2n) > 0
Pour n > 1, -3n + 1 < 0 ; et -3n + 1
2n+1(n + 1 + 2n) < 0.
Donc à partir du rang 1, la suite (un) est décroissante.Vérification graphique :
2) un est défini pour n > 0.
Pour n > 0, un+1 un = 1
n + 2 - 1 n + 1 - 1 n + 1 - 1 n = 1 n + 2 - 2 n + 1 + 1 n Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
4 un+1 un = n(n + 1) 2n(n + 2) + (n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) = n² + n 2n² - 4n + n² + 2n + n + 2 n(n + 1)(n + 2) un+1 un = 2 n(n + 1)(n + 2) > 0Donc la suite u est croissante.
Autre méthode :
un = f(n) avec f(x) = 1 x + 1 1 x Alors un a les mêmes variations que f sur [0;+ [.Or pour x > 0, f'(x) = - 1
(x + 1)² + 1 x² = -x² + (x + 1)² (x + 1)²x² = [(x + 1) + x][(x + 1) x] (x + 1)²x² f'(x) = 2x + 1 (x + 1)²x²Pour x > 0, 2x + 1 > 0 et (x + 1)²x² > 0
Donc f'(x) > 0
Donc f est strictement croissante sur [0; + [.
Donc la suite (un) est strictement croissante.
Vérification graphique :
3) Comme 1 + un² > 0, alors un est défini pour tout entier naturel.
De plus comme u0 > 0 alors un > 0 pour tout entier naturel n. un+1 un = un1 + un²- un = un 1 (1 + un²)
1 + un² = un -un²
1 + un²
-un²1 + un² < 0 et comme un > 0, alors un+1 un < 0.
Donc la suite (un) est décroissante.
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
5Vérification graphique :
4) Comme la raison de la suite géométrique q = 1
4 est comprise entre 0 et 1, alors la suite
(qn) est décroissante et comme u0 < 0, alors la suite (un) est croissante. Autre méthode sans utiliser la propriété sur le sens de variation des suites géométriques : un+1 = 1 4un un+1 un = 14un un = - 3
4un et comme u0 < 0 et q > 0 alors un < 0 pour tout entier naturel n.
Donc -3
4un > 0 et donc la suite u est croissante.
Vérification graphique :
5) Comme u est une suite arithmétique de raison r = 10 > 0, alors la suite u est croissante.
Autre manière : un+1 un = 10 > 0, donc la suite u est croissante. Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
6Vérification graphique :
Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par u0 = 1 et un+1 = - 16 un + 8.1) (un) ainsi que sa
limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un + 4 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
4.3) vn).
4) n : un = 4 20n
4 + 5n.
5) Étudier les variations de la suite (un).
1) La suite (un) semble être décroissante et converger vers -4.2) vn+1 = 1
un+1 + 4 = 1 -16 un + 8 + 4 = 1 -16 + 4(un + 8) un + 8 = un + 8 -16 + 4un + 32 = un + 84un + 16
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
7 vn+1 vn = un + 84un + 16 - 1
un + 4 = un + 8 - 44un + 16 = un + 4
4(un + 4) = 1
4 v0 = 1 u0 + 4 = 11 + 4 = 1
5 Donc (vn) est la suite arithmétique de raison 14 et de premier terme v0 = 1
5.3) vn = v0 + nr = 1
5 + 1 4n4) vn = 1
un + 4 un + 4 = 1 vn un = 1 vn - 4 un = 1 1 5 + 1 4n - 4 = 204 + 5n - 4 = 20 4(4 + 5n)
4 + 5n = 20 16 20n
4 + 5n = 4 20n
4 + 5n
5) un+1 un = 4 -20(n + 1)
4 + 5(n + 1) - 4 20n
4 + 5n = (4 20n 20)(4 + 5n) (4 20n)(4 + 5n + 5)
(4 + 5n + 5)(4 + 5n) un+1 un = (-16 20n)(4 + 5n) (4- 20n)(9 + 5n) (5n + 9)(5n + 4) un+1 un = -64 -80n -80n 100n² - 36 20n + 180n + 100n² (5n + 9)(5n + 4) = -100 (5n + 9)(5n + 4) < 0Donc la suite (un) est décroissante.
Autre méthode : La suite (un) a le même sens de variation que la fonction f définie par f(x) =
4 - 20x
4 + 5x ; + [.
f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = 4 20x et v(x) = 4 + 5x (x)v(x) u(x)(x) (v(x))² -20 5 -20(4 + 5x) (4 20x)5 (4 + 5x)² = -80 100x 20 + 100x (4 + 5x)² = -100 (4x + 5)² < 0 Donc la fonction f est décroissante sur [0 ; + [.Donc la suite (un) est décroissante.
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
8 Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
9Exercice 1 : (4 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un =22n+2
3n2) un = n n²
3) un+1 = (un + 1)² et u0 = 1
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison q = 2.
5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = 10 et de raison r = -5.
1) un+1 un = 22(n+1)+2
3n+1 22n+2
3n = 22n+2+2 - 322n+2
3n+1 = 22n+2(22 3)
3n+1 = 22n+2
3n+1 > 0
Donc la suite u est croissante.
Vérification graphique :
2) un+1 un = n + 1 (n + 1)² - (n n²) = n + 1 n² - 2n 1 n + n²
un+1 un = -2n < 0 pour n > 0 Donc la suite u est décroissante à partir du rang 1.Autre méthode :
un = f(n) avec f(x) = x - x² Alors un a les mêmes variations que f sur [0;+ [.Or f'(x) = 1 2x
Pour x 1, 1 2x < 0
Donc f est décroissante sur [1; + [.
Donc la suite (un) est décroissante à partir du rang 1. Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
10Vérification graphique :
3) un+1 un = (un + 1)² - un = un² + 2un + 1 un = un² + un + 1
Comme u0 > 0, un+1 étant un carré est positif, donc un est toujours positif.Donc un+1 un > 0
Donc la suite u est croissante.
4) Comme la raison de la suite géométrique q = 2est supérieure à 1, alors la suite (qn) est
croissante et comme u0 > 0, alors la suite (un) est croissante. Autre méthode sans utiliser la propriété sur le sens de variation des suites géométriques : un+1 = 2un un+1 un = 2un un = un et comme u0 > 0 et q > 0 alors un > 0 pour tout entier naturel n.Donc la suite u est croissante.
Vérification graphique :
Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
115) Comme u est une suite arithmétique de raison r = -5 < 0, alors la suite u est décroissante.
Autre manière : un+1 un = -5 < 0, donc la suite u est décroissante.Vérification graphique :
Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
12Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par u0 = 1 et un+1 = 96 un.
1) (un) ainsi que sa
limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un 3 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
3.3) vn).
4) n = 6n + 3
2n + 3.
5) Étudier les variations de la suite (un).
1) La suite (un) semble être croissante et converger vers 3.2) vn+1 = 1
un+1 - 3 = 1 96 un - 3
= 19 3(6 un)
6 un = 6 un9 18 + 3un = 6 un
3un - 9
vn+1 vn = 6 un3un - 9 - 1
un 3 = 6 un 33un - 9 = 3 un
3(un 3) = - 1
3 v0 = 1 u0 3 = 11 - 3 = - 1
2 Donc (vn) est la suite arithmétique de raison 13 et de premier terme v0 = - 1
2.3) vn = v0 + nr = -1
2 - 1 3n Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
134) vn = 1
un - 3 un 3 = 1 vn un = 3 + 1 vn un = 3 + 1 - 1 2 - 1 3n = 3 63 + 2n = 3(3 + 2n) 6
3 + 2n = 9 + 6n 6
2n + 3 = 6n + 3
2n + 3
5) un+1 un = 6(n+1) + 3
2(n + 1) + 3 - 6n + 3
2n + 3 = (6n + 6 + 3)(2n + 3) (6n + 3)(2n + 2 + 3)
(2n + 2 + 3)(2n + 3) un+1 un = (6n + 9)(2n + 3) (6n + 3)(2n + 5) (2n + 5)(2n + 3) un+1 un = 12n² + 18n + 18n + 27 12n² - 30n 6n 15 (2n + 5)(2n + 3) = 12 (2n + 5)(2n+ 3) > 0Donc la suite (un) est croissante.
Autre méthode : La suite (un) a le même sens de variation que la fonction f définie par f(x) =
6x + 3
2x + 3 ; + [.
f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = 6x + 3 et v(x) = 2x + 3 (x)v(x) u(x)(x) (v(x))²6(2x + 3) (6x + 3)2
(2x + 3)² = 12x + 18 12x 6 (2x + 3)² = 12 (2x + 3)² > 0Donc la fonction f est croissante sur [0 ; + [.
Donc la suite (un) est croissante.
Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2CORRECTION
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