[PDF] LIEU : THEME: CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES

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FORMATION DES FORMATEURS REGIONAUX

RENFORCEMENT DES CAPACITES DES FORMATEURS

REGIONAUX DANS L'ENSEIGNEMENT/APPRENTISSAGE

DES MATHEMATIQUES ET DES SCIENCES

SELON L'APPROCHE ASEI/PDSI

LIEU

CENTRE NATIONALE DE MAINTENANCE (CNM)/NIAMEY

DATE :

DU 05 AU 17 MARS 2007

THEME : CONSTRUCTIONS

GEOMETRIQUES

Compilé par

LES FORMATEURS

DE

MATHEMATIQUES

Mars 2007, Niamey Niger

2But:

Sensibiliser les participants sur l'intérêt de la pratique des constructions géométriques en vue

d'améliorer sa pratique en classe.

Objectifs de la séance :

Echanger avec les participants sur :

- l'amélioration de l'utilisation des matériels de géométrie en classe ; -les principes des constructions géométriques.

Motif :

L'enquête de base du projet SMASSE NIGER de décembre 2006, a révélé une faible pratique

constructions géométriques, pourtant les figures sont utilisées dans beaucoup de domaines de

la vie courante, notamment dans les plans et sur les mûrs de maisons conçus par les architectes, sur les motifs de pagne et sur les dessins des produits artisanaux etc. Au-delà de leur importance économique, les figures géométriques offrent un bon cadre d'apprentissage en classe car, elles ont un caractère pratique. Elles peuvent gui der et appuyer le raisonnement mathématique des apprenants.

Objectifs de l'exposé

L'objectif de l'exposé est d'échanger avec les participant sur : - quelques contraintes dans une construction géométrique donnée ; - quelques techniques de constructions géométriques ; - la résolution de quelques problèmes de constructions géométriques ;

- la préparation d'une fiche pédagogique de type ASEI sur les constructions géométriques.

Introduction :

Les constructions géométriques

font partie des activités pratiques en mathématiques. Mais leur gestion pose de problèmes dans nos classes, cet état de fait ne peut pas continuer. Alors, comment valoriser cette pratique dans nos classes ? Plan

I. Quelques définitions

II Etapes pour une construction géométriques III Quelques techniques de constructions géométriques

Conclusion

Samedi, 10 mars 2007

Heures activités

8h-8h30 inscription

8h30- 10h -Tâche1et (30)

-Restitution (30) -Exposé (15 mn)

10h-10h30 Pause café

10h 30- 12h - Tâche2 (1h)

- restitution ( 30mn) (travaux de groupe)- - restitution- conclusion.

3I. Quelques définitions

Constructions géométriques : Ce sont des activités géométriques conduisant à résoudre des

problèmes de construction en utilisant des définitions, des propriétés, et des instruments.

En géométrie, construire une figure c'est réaliser cette figure en mettant en action une méthode plus ou moins élaborée suivant le stade de l'apprentissage.

Reproduire une figure, c'est réaliser une autre figure qui lui est superposable.

Le dessin à main levée revêt une très grande importance dans les activités géométriques. En effet, il permet de développer l'habileté manuelle de l'apprenant d'une part;

d'autre part, il lui laisse une plus grande autonomie vis à vis des instruments dont il ne maîtrise pas toujours l'utilisation et peut permettre une meilleure compréhension du concept représenté par la configuration tracée .

L'esquisse d'une figure est un dessin approximatif qui peut être tracée à main levée. Elle précède la construction d'une figure avec les instruments.

II. Etapes pour une construction géométrique L

es problèmes de construction contribuent largement à l'initiation, au raisonnement. Cet effort doit être poursuivi

en apprenant progressivement à l'élève à suivre, lorsque cela est nécessaire, les étapes ci-dessous:

1.

Lecture de l'énoncé

Cette lecture permet une appropriation du problème. Il s'agit de :

Mettre en évidence des données ;

Dégager les contraintes ;

Lister les objectifs ;

Identifier les instruments imposés.

2. Recherche d'une méthode de construction : comment faire ?

Faire une esquisse de la figure que l'on doit réaliser ; Analyser cette esquisse afin de dégager une méthode de construction ; Rechercher les pistes conduisant à la conclusion ;

Sélectionner une définition ou une propriété pour justifier chaque étape du raisonnement.

3. Rédaction de la solution

Réaliser la construction.

Expliquer la méthode utilisée pour cette construction. S'assurer que la figure obtenue vérifie toutes les données et contraintes du problème

Remarques :

Dans une construction géométrique, plus les paramètres ou contraintes sont nombreux, plus le

problème est difficile. III. Quelques techniques de constructions géométriques Dans les constructions géométriques, les techniques suivantes peuvent être utilisées :

3.1 Les constructions " directes »

Les constructions sont immédiates, il suffit de suivre pas à pas les consignes

Exemples :

4 1. Construire un cercle de 3,5cm de rayon ; 2 diamètres [EF] et [MN] de ce cercle ; et le cercle de centre F passant par M.

Corrigé

2. Construire un triangle ABC rectangle en A tel que : AB=5cm et AC= 6,5cm.

Corrigé :

On trace deux demi-droites perpendiculaires [ AB) et [AC).on reporte les longueurs données pour AB et AC ; on trace à la fin [BC]. B A C 3. Construire la médiatrice du segment [AB]. (avec règle et compas) +B A +

Corrigé :

5En utilisant la technique de construction de la médiatrice d'un segment à l'aide de la règle et

du compas on obtient facilement la construction. Avec deux coups de compas de même ouverture de centres respectifs A et B, on obtient deux intersections d'arcs de cercle, en les joignant on a ainsi la médiatrice du segment [AB].

3.2 Constructions par " restriction du domaine »

Exemple :

A, B, C sont trois points marqués du plan. Placer le point D tel que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme. On peut restreindre le domaine de recherche du point D, en utilisant les égalités de longueurs des côtés opposés. AB= CD ; tracer le cercle de centre B et de rayon AC ; AC= BD ; on trace le cercle centre C et de rayon AB. On obtient deux cercles qui ont deux points communs, mais un seul convient.

3.3 Constructions utilisan

t les transformations.

Exemples :

3.3.1.

Construire B' le symétrique de B par rapport à (D), connaissant un point A et son symétrique A'. (Avec la règle) 1 er cas : (AB) sécante à (D) A B (D) + A' B A 2 ième cas : (AB) //(D) (D) +A'

6Corrigé :

1 er cas : La droite (AB) coupe (D) en I, par rapport à (D), le symétrique de (AB) est la droite (A'I).La droite (BA') coupe (D) en I', et par rapport à (D), le symétrique de (BA') est la droite (AI'). Les deux droites symétriques (A'I) et ( AI') se coupent en B' le point cherché. + A B I I' (D) B' + A' 2 ième cas : (AB) //(D) : on choisit un point E n'appartenant pas à la droite (AB), on construit son symétrique E' par rapport à (D) ; puis à l'aide du couple (EE') on procède comme au premier cas. B A + E J 1 I 1 I 2 (D) +A' 3.3.2 Le point O et les droites (D) et (D') sont données. Construire un parallélogramme de centre O avec un côté sur (D) et un sur (D'). (D') O+ (D)

Corrigé : On trace les symétriques de (D) et (D') par rapport à O. Les deux autres côtés

du parallélogramme sont supportés par les deux droites images. 7 (D) O (D) 3.3.3 On donne deux cercles, © et ©' un point M sur ©', un poin t N sur ©. On cherche un parallélogramme MNPQ avec P sur © et Q sur ©'. + N +

Corrigé :

Comme MNPQ parallélogramme alors NM = PQ Ce qui veut dire que la translation t qui

transporte N en M, transporte P en Q. Ainsi, Q doit être aussi sur ©1, image de © par t. ©1 et

©' passant déjà par M, Q est le 2

ième point d'intersection.

On construit le point P par la

translation du vecteur MN.

Conclusion :

La pratique des constructions géométriques constitue chez nos élèves un entraînement précieux. Elle développe chez eux des habitudes et des attitudes souhaitables : - habitudes de prévision, de soin, d'organisation et d'ordre ; - habitudes de maniement des instruments géométriques : règle, compas équerre, crayon et gomme ; - habitude d'éviter de faire de figures géométriques dans un cas particulier ; - attitude de curiosité, de recherche, d'initiative, d'intérêt. Redynamiser la pratique des constructions géométriques dans nos établissements sera un atout pour un changement positif d'attitude et d'habitude des acteurs de l'enseignement/apprentissage.

Bibliographie :

- Les livres CIAM (6 ième -5 ième -4 ième - 3 ième - Trait d'union (bulletin de liaison des professeurs de mathématiques du B.F), n°4 décembre 1991 ; - Bases mathématiques tome1, INDRAP. 8

Tâches des groupes de discussion :

Tâche 1 : Identifier les problèmes qui entravent la pratique des constructions géométriques

dans nos classes ;

Proposer des solutions à ces problèmes.

Tâche2 : Résoudre les problèmes des constructions géométriques suivants, préciser les techniques utilisées pour les résoudre.

Corrigé : Tâche2 :

Résoudre les problèmes des constructions géométriques suivants, Préciser les techniques utilisées pour les résoudre Execice1 : Construire la droite perpendiculaire à (D) passant par A. (avec règle et compas) 1 er cas : (D) + A 2 ième cas : A (D)

Cas N° 3 (D)

Cas N° 4

(D) A A+

Corrigé :

Cas n°1 : -

On trace un segment sur (D) ayant A comme

milieu. La médiatrice de ce segment est la perpendiculaire à (D) passant par A A (D) Cas n°2 : Ici aussi il s'agit de tracer la médiatrice d'un segment de (D) obtenu par l'intersection d'un cercle de centre A et de la droite (D). 9 a) b)

A+ (D) Cas n°3 Dans ce cas on peut tracer un triangle rectangle en A inscrit dans un demi-cercle. On choisit un point C du plan n'appartenant pas à (D). C sera le centre du "demi cercle

Circonscrit". On obtient B tel que

[CB] est un rayon. On trace le diamètre [BD].

Cas n°4 :

On peut se ramener au cas précédent en traçant la droite parallèle

à (D) : passant par A

(méthode du parallélogramme). Autre méthode: Tracer une perpendiculaire à (D) et ensuite la parallè le à cette droite passant par A.( méthode du parallélogramme) A

10Execice2: Construire la ou les tangentes au cercle © de centre connu O passant par A. (avec

règle et compas) A 1 er cas : Aɽ © A+ 2 ième cas :A¢©

Corrigé :

Corrigé : Construire la (ou les) tangentes au cercle C passant par A

Instruments : Règles et Compas

Cas n O 1

A est un point du cercle.

La tangente au cercle en A est perpendiculaire au rayon OA on se ramène donc la construction de la perpendiculaire à (OA) passant par A Cas n O 2

A n'est pas un point du cercle. (il est extérieur au cercle) on peut construire 2 tangentes au cercle passant par A. La construction utilise le principe du triangle rectangle inscrit dans un demi cercle de diamètre OA

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Justification : une tangente au cercle en T

l est perpendiculaire au rayon [OTquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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