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Activité 3 : Créer un pavage. Pavage du plan Comprendre comment les motifs s'imbriquent les uns dans les autres. Pavage du plan.
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Activité 3 : Créer un pavage. Pavage du plan Comprendre comment les motifs s'imbriquent les uns dans les autres. Pavage du plan.
Application de la symétrie centrale aux pavages
La suite de cet article vous propose un moyen de réaliser un pavage Dans une feuille de papier de type « Canson » découper un rectangle de 6 cm sur 8cm.
Un pavage hors norme A. Introduction
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1- Première étape : la réalisation du gabarit
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Les Pavages du plan avec des polygones convexes VERSION
déterminer l'ensemble des polygones convexes pouvant paver le plan. translation - on s'aperçoit rapidement que du fait que le parallélogramme possède ...
Réalisation dun pavage à la manière d Escher en classe de 5ième
du dessinateur hollandais Escher pour réaliser un pavage d'une feuille A4 : il s'agit de la répétition d'une même figure par une transformation géométrique.
COMMENT EXPLOITER LES PROBLEMES DE PAVAGES DU
hexagone ne fait pas débat. La question est de savoir si on peut réaliser un pavage avec un autre polygone régulier. Pour répondre à cette question
Pavages du Plan Pavages Hyperboliques
Comment réaliser son propre pavage par simples découpages sans utilisation Fabrication des pavages à partir d'une feuille de papier par découpage et.
PAVAGES AU CM 2 par Jacques PAINCHAULT Les activités
Les enfants doivent tracer ce pavage précisément avec un compas
Comment entretenir un pavage ?
Sur le pourtour de votre pavage, prévoyez une réserve de 10 à 20 cm en largeur si vous comptez mettre une bordure. Essayez de niveler et égaliser le sol où vont se trouver les pavés aux extrémités. Vous pouvez étaler le matériau de base un peu plus loin que les bords et l'aplatir avec un compacteur ou un outil manuel.
Comment faire un pavage de poisson ?
De ce poisson, nous pouvons, bien sûr, faire un pavage de type 6a : Puis dessinons un motif de façon que chaque côté de la rotation 2 soit la réduction de moitié de chaque déformation compensée de la rotation 6 : Mais nous pouvons aussi lui accoler trois petits poissons identiques :
Comment bien choisir son pavage ?
Si votre pavage a une forme plus excentrique, fait de courbes, prévoyez 10 % en plus ! Il faut toujours en commander plus, car il y a toujours des coupes à faire. Plus les contours de votre pavage seront tarabiscotés, plus il faudra de coupes, plus il vous faudra de pavés ! Souvenez-vous que les pavés sont très lourds !
Comment calculer la profondeur d'un pavage ?
Si l'on résume, la profondeur de votre surface doit tenir compte de l'épaisseur : 1) de la couche de gravier, 2) de la couche de sable, 3) des pavés ! Mesurez bien avant de commencer pour ne pas trop enlever de terre ! Sur le pourtour de votre pavage, prévoyez une réserve de 10 à 20 cm en largeur si vous comptez mettre une bordure.
![Les Pavages du plan avec des polygones convexes VERSION Les Pavages du plan avec des polygones convexes VERSION](https://pdfprof.com/Listes/17/34826-17Dossier_pavage.pdf.pdf.jpg)
Pavages du plan avec des
polygones convexesPar Nicolas Even, Gaby Portelli et Paul Prilleux
Problématique :
Notre projet est de trouver quels polygones pavent le plan. Plus précisément, il s"agit de déterminer l"ensemble des polygones convexes pouvant paver le plan. Nous sommes tout d"abord partis d"un résultat fondamental que tout parallélogramme pavele plan afin de trouver premièrement quels sont les polygones convexes réguliers pavant le plan,
puis nous nous sommes intéressés au cas des polygones convexes non réguliers. Notre étude se limitant au pavage par des polygones convexes, nous ne parlerons pas des pavages avec des figures non convexes, bien que ceux-ci représentent une grande partie des pavages.Sommaire :
I] Définitions et résultat fondamental
II] Pavages avec des polygones réguliers
III] Pavages avec des polygones non réguliers
A) Les triangles
B) Les quadrilatères
C) Les hexagones
D) Les pentagones
E) Les polygones à plus de six côtés
IV] Animations prévues
I] Définitions et résultat
fondamentalDéfinitions
-Pavage : le plan est considéré comme pavé lorsqu"il est rempli par des copies d"une seule et
même figure, les copies ayant été créées par translation, rotation et symétrie centrale de la
figure originale. Le plan ne doit présenter aucun espace libre ni aucune superposition de la figure de base. Les symétries miroir sont ici interdites. -Polygone convexe : un polygone convexe est un polygone dont chaque point - pas obligatoirement un sommet - peut être relié par un segment qui ne quitte pas le polygone. Figure 1 : polygone convexe Figure 2 : polygone non convexe-Polygone régulier : on appelle polygone régulier tout polygone convexe dont tous les côtés
et angles sont égaux. Résultat fondamental : tout parallélogramme pave le plan.Ce premier résultat nous a été donné au début de nos recherches et a été considéré comme
admis, mais il est simple de prouver graphiquement que tout parallélogramme pave le plan : eneffet, lorsqu"on effectue des copies successives de ce parallélogramme - uniquement par
translation - on s"aperçoit rapidement que, du fait que le parallélogramme possède des côtés
parallèles et égaux deux à deux, ses copies s"emboîtent parfaitement et peuvent paver le plan.
Figure 3: pavage du plan avec des parallélogrammes.On peut facilement deviner les translations effectuées à partir du parallélogramme d"origine.
II] Pavages avec des polygones
réguliers Théorème : les seuls polygones réguliers qui pavent le plan sont : -Les triangles équilatéraux -Les carrés -Les hexagones réguliersPreuve
: soit un polygone régulier à n côtés et ϑ la valeur de l"angle entre deux côtés
consécutifs. Divisons-le en n triangles isocèles identiques de sorte à ce que chacun est comme base l"un des côtés du polynôme.Figure 4 : Illustration géométrique
Notons dans ces triangles isocèles β l"angle unique et α tel que 2α = ϑ.Nous avons alors :
β = 2π/n
De plus comme les triangles sont isocèles :
22α + 2π/n = π
= π/2 - π/nα = π(n-2)/2n
Commeϑ = 2α, il vient :
ϑ = π(n-2)/n
Pour que P pave il doit donc exister un entier naturel k tel que : 2π = k ϑ
2π = kπ(n-2)/n
2 = k(n-2)/n
k(n-2) = 2n k(n-2) = 2(n-2) + 4 (n-2)(k-2) = 4 Autrement dit, (n-2) doit être diviseur de 4. Comme les seuls diviseurs positifs de 4 sont 1, 2 et 4, n peut donc valoir 3, 4 ou 6. Par conséquent, aucun autre polygone convexe régulier ne peut paver le plan.Figures 5, 6 et 7 : pavages avec des carrés, des triangles équilatéraux et des hexagones réguliers.
III] Pavages par des polygones
non réguliersA) Les triangles
Tout triangle pave le plan. Ceci est évident car tout d"abord, tout triangle est nécessairement
convexe. De plus, si l"on prend un triangle, et que l"on forme son symétrique par rapport à l"un de
ses côtés, alors on se retrouve avec un parallélogramme qui comme nous le savons, est une figure
qui pave le plan.Ici, la technique de pavage utilisée est la symétrie centrale pour former un
parallélogramme, puis des translations afin de paver le plan. Figure 9 : formation d"un parallélogramme à partir de la symétrie axiale du triangle.Figure 10 : pavage du plan avec des triangles.
B) Les quadrilatères
Tout quadrilatère convexe pave le plan. En effet, si l"on prend un quadrilatère quelconque etqu"on procède par translations/rotations, de manière à ce que seuls les côtés de même longueur se
touchent, on obtient l"assemblage suivant, ne possédant aucune superposition de polygones du fait que la somme des angles d"un quadrilatère fait 360°. Ainsi en procédant par successions de symétries centrales du quadrilatère par rapport aux Pour nous assurer que tous les quadrilatères pavent le plan, nous avons créé un pavage entemps réel à partir d"un quadrilatère d"origine sur GeoGebra. Voici quelques résultats qui confirment
par monstration que n"importe quel quadrilatère pave le plan : Figure 11 : succession de symétries centrales à partir d"un quadrilatère d"origine.Figures 12, 13, 14, et 15 : différents pavages avec des quadrilatères convexes non réguliers.
C) Les hexagones
Sur la figure précédente, on peut voir que deux quadrilatères côte à côté forment un
hexagone qui pave le plan.Ces hexagones ont la propriété d"être formés par deux quadrilatères identiques, chacun
symétrique de l"autre par rapport de l"autre par rapport au milieu de leur côté commun. Ils ont donc
leurs côtés opposés parallèles et de même longueur. De plus, seuls ces hexagones " semi-réguliers » pavent le plan : le fait qu"un hexagone aitses côtés opposés parallèles et égaux est une condition nécessaire pour que celui-ci pave le plan.
D) Les pentagones
Les pentagones sont un cas bien particulier du fait que les pentagones réguliers ne pavent pas le plan. Nous avons trouvé deux cas de pentagones qui peuvent se ramener par le biais detranslations et de rotations à une figure particulière, l"hexagone cité précédemment :
Figure 16 : pavage du plan avec des hexagones formés par deux quadrilatères.1er cas :
Si l"on prend un hexagone ayant ses côtés opposés parallèles et de même longueur, alors en
traçant un segment passant par son centre on obtient deux pentagones identiques :Si le segment tracé à pour extrémités deux points situés sur les côté de l"hexagone on obtient alors
un pentagone, tandis que si les extrémités sont des coins de l"hexagone, on obtient deuxquadrilatères. Dans le cas du pentagone, celui formé possède donc deux côtés parallèles. Ainsi les
pentagones possédant deux côtés parallèles pavent le plan.2ème cas
Il existe une deuxième façon de découper un ledit hexagone particulier, mais cette fois en 4
pentagones, ce découpage est le suivant :Ce pentagone a la particularité d"avoir 2 angles droits, chacun étant formé par deux côtés de
même longueur, de plus comme la somme des angles d"un pentagone fait 540°, la somme des trois autres sommets fait donc 360°, ce qui explique pourquoi les sommets peuvent se rejoindre au pointA et B sans trous ni superpositions.
Figure 17 : hexagone formé à partir de deux pentagones. Figure 18 : hexagone formé à partir de quatre pentagones. Voici un tableau donnant des exemples de pentagones pavant, en fonction de leur nombre de côtés parallèles (lignes) et d"angles droits (colonnes).Ainsi, peuvent paver le plan :
-Les triangles -Les quadrilatères -Les hexagones possédant leurs côtés opposés parallèles et de même longueur -Les pentagones possédant deux côtés parallèles et/ou deux angles droits formés par deux côtés de même longueur.E) Résultats supplémentaires
Nous avons trouvé des polygones convexes non réguliers pavant le plan. Mais sont-ce les seuls ? Afin de répondre à cette question, nous avons émis l"hypothèse suivante : Aucun polygone à plus de six côtés ne peut paver le plan.Cette hypothèse peut être vérifiée graphiquement : en effet, avec un polygone de 7 côtés ou
plus, le " pavage » n"est pas parfait : il comporte des superpositions des figures pavées. Donc aucun
de ces polygones ne pave le plan.IV] Animations prévues
Nous souhaitons réaliser des polygones convexes en bois afin qu"on puisse par la manipulation voir si le pavage est possible ou non. D"autre part, une application sur tablette tactile permettra d"illustrer quels sont les pavages convexes que l"on peut déformer. En conclusion : nous avons déterminé tous les polygones convexes pouvant paver le plan. -Polygones réguliers : seuls les triangles équilatéraux, les carrés et les hexagones réguliers peuvent paver le plan. -Polygones non réguliers : seuls les triangles, les quadrilatères et les hexagones et pentagones décrits ci-dessus pavent le plan.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] comment faire un pavage avec geogebra
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