[PDF] Pavages du Plan Pavages Hyperboliques





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Activité 3 : Créer un pavage. Pavage du plan Comprendre comment les motifs s'imbriquent les uns dans les autres. Pavage du plan.



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Activité 3 : Créer un pavage. Pavage du plan Comprendre comment les motifs s'imbriquent les uns dans les autres. Pavage du plan.



Application de la symétrie centrale aux pavages

La suite de cet article vous propose un moyen de réaliser un pavage Dans une feuille de papier de type « Canson » découper un rectangle de 6 cm sur 8cm.



Un pavage hors norme A. Introduction

que l'on peut réaliser un pavage : de la colle et une grande feuille de papier et Le mois de mars arrive avec une question : comment peut-on tracer ce ...



1- Première étape : la réalisation du gabarit

Devoir Maison cinquième : réalisation d'un pavage d'Escher méthode de Dans une feuille de papier de type « Canson » découper un rectangle de 6 cm sur ...



Les Pavages du plan avec des polygones convexes VERSION

déterminer l'ensemble des polygones convexes pouvant paver le plan. translation - on s'aperçoit rapidement que du fait que le parallélogramme possède ...



Réalisation dun pavage à la manière d Escher en classe de 5ième

du dessinateur hollandais Escher pour réaliser un pavage d'une feuille A4 : il s'agit de la répétition d'une même figure par une transformation géométrique.



COMMENT EXPLOITER LES PROBLEMES DE PAVAGES DU

hexagone ne fait pas débat. La question est de savoir si on peut réaliser un pavage avec un autre polygone régulier. Pour répondre à cette question 



Pavages du Plan Pavages Hyperboliques

Comment réaliser son propre pavage par simples découpages sans utilisation Fabrication des pavages à partir d'une feuille de papier par découpage et.



PAVAGES AU CM 2 par Jacques PAINCHAULT Les activités

Les enfants doivent tracer ce pavage précisément avec un compas

Comment entretenir un pavage ?

Sur le pourtour de votre pavage, prévoyez une réserve de 10 à 20 cm en largeur si vous comptez mettre une bordure. Essayez de niveler et égaliser le sol où vont se trouver les pavés aux extrémités. Vous pouvez étaler le matériau de base un peu plus loin que les bords et l'aplatir avec un compacteur ou un outil manuel.

Comment faire un pavage de poisson ?

De ce poisson, nous pouvons, bien sûr, faire un pavage de type 6a : Puis dessinons un motif de façon que chaque côté de la rotation 2 soit la réduction de moitié de chaque déformation compensée de la rotation 6 : Mais nous pouvons aussi lui accoler trois petits poissons identiques :

Comment bien choisir son pavage ?

Si votre pavage a une forme plus excentrique, fait de courbes, prévoyez 10 % en plus ! Il faut toujours en commander plus, car il y a toujours des coupes à faire. Plus les contours de votre pavage seront tarabiscotés, plus il faudra de coupes, plus il vous faudra de pavés ! Souvenez-vous que les pavés sont très lourds !

Comment calculer la profondeur d'un pavage ?

Si l'on résume, la profondeur de votre surface doit tenir compte de l'épaisseur : 1) de la couche de gravier, 2) de la couche de sable, 3) des pavés ! Mesurez bien avant de commencer pour ne pas trop enlever de terre ! Sur le pourtour de votre pavage, prévoyez une réserve de 10 à 20 cm en largeur si vous comptez mettre une bordure.

Pavages du Plan Pavages Hyperboliques [Tapez un texte] Page 1

Par Marcel Morales

Rattaché pour la recherche à

Marcel Morales

Professeur IUFM Lyon

2010

Pavages du Plan,

Pavages Hyperboliques

Pavages par découpage

[TA P E Z L'A D R E S S E D E L A S O C I E TE]

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Les pavages réguliers du plan,

Les pavages hyperboliques.

Réalisation des pavages

avec un logiciel et avec une feuille de papier par découpage et collage

Par Marcel Morales

Université Claude Bernard Lyon I

Rattaché pour la recherche à

Institut Fourier

Université de Grenoble I

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Le pavage est une activité ludique en tout âge de 9 à 99 ans. ludique à des personnes ayant peu des connaissances mathématiques. servi en tout temps et par toutes les civilisations pour la décoration des surfaces : poteries, tapisseries, murs , plafonds, sols. Dans un deuxième temps le logiciel sert à introduire les 17 groupes de pavage régulier et à aborder dans une classe les deux points suivants :

1. Comment décrypter un pavage (reconnaître les symétries, rotations, son

groupe.

2. Comment réaliser son propre pavage par simples découpages, sans utilisation

des techniques compliquées sur des objets fermés. Pour chacun des 17 groupes de pavage, un film complet de réalisation est donnée, permettant une réalisation simple est rapide. Chaque groupe de pavage est illustré par des dessins en couleur. Le logiciel a été développé par Marcel Morales, mais a beaucoup profité des expérimentations dans les classes de collège de Alice Morales. Il a été testé avec divers publics ayant souvent un à priori contre les mathématiques. Le travail fait avec une classe de Collège a été présenté par cette classe à Exposciences

International 2001 à Grenoble.

Ce logiciel a été présenté dans diverses manifestations scientifiques en France et : Mexique, Pérou, Colombie, Iran, Turquie, Vietnam. dique de cette technique nouvelle, elle permet une meilleure compréhension de la géométrie

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage retrouvé sur les murs dans une tombe en Egypte.

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage retrouvé sur

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage retrouvé sur un tapis péruvien (Paracas).

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage retrouvé sur un mur au Mexique

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage réalisé par un élève de Collège.

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage non périodique, mais rempli

losange jaune, utilisant trois transformations (Observer le cube en haut): par translations il reste jaune, par rotation de 120° et translations il devient rouge, et par rotation de 240° et translations il devient bleu.

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Ci-dessous sont introduits par des exemples les transformations isométriques du plan : translation, rotations, symétrie, et symétrie glissement.

Translation

Rotations

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Symétrie et symétrie glissement collage Nous allons décrire les étapes pour réaliser un pavage, ceci pour chacun des 17 groupes de pavage.

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage p1ou R0

Prendre une feuille

rectangulaire

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2

Découpez suivant le chemin

tracé et le coller sur

Tracer une ligne polygonale

de 2 à 3

Découpez suivant le chemin

tracé et le coller après avoir fait une translation

Voici votre pavé colorié en

bleu Le remplissage du plan se fera par des translations horizontales et verticales :

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage p2 ou R2

Prendre une feuille rectangulaire.

1 et 4 sont des milieux des

segments. Tracer une ligne polygonale de 1 à 2

Découpez suivant le chemin

tracé et le coller après avoir fait un demi-tour

Tracer une ligne polygonale

de 2 à 3

Découpez suivant le chemin tracé

et le coller après avoir fait un demi-tour

Tracer une ligne polygonale

de 3 à 4. découpez suivant le chemin tracé et le coller après avoir fait un demi-tour

Voici votre pavé colorié en

vert Le remplissage du plan se fera par des rotations centrales et des translations.

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage p3 ou R3

prendre une feuille en losange (deux triangles équilatères)

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2 découpez suivant le chemin tracé et le coller après une rotation de 120°

Tracer une ligne polygonale

de 2 à 3 découpez suivant le chemin tracé et le coller après une rotation de 120°

Voici votre pavé colorié en

jaune Le remplissage du plan se fera par des rotations de 120° et des translations :

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage p4 ou R4

Prendre une feuille carrée

Tracer une ligne polygonale de

1 à 2

Découpez suivant le chemin

tracé et le coller après avoir fait un quart de tour

Tracer une ligne polygonale de

2 à 3

Découpez suivant le chemin

tracé et le coller après avoir fait un quart de tour

Voici votre pavé colorié en

jaune Le remplissage du plan se fera par des demi-tours et translations :

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage p6 ou R6

Prendre une feuille triangle

équilatéral

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2

Découpez suivant le chemin

tracé et le coller après une rotation de 60° de centre 1

Tracer une ligne polygonale

de 2 à 3

Découpez suivant le chemin

tracé et le coller après avoir fait une rotation de 60° en 3

Voici votre pavé colorié en

bleu Le remplissage du plan se fera par des rotations 180° autour du point3, et de 60° autour des points 1 et 2:

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage pg ou M0

Prendre une feuille

rectangulaire

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2

Découpez suivant le chemin

tracé et le coller sur

Tracer une ligne polygonale

de 2 à 3

Découpez suivant le chemin

tracé et le coller après avoir retourné la feuille

Voici votre pavé colorié en

bleu Le remplissage du plan se fera par des translations et des symétries glissement :

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage pgg ou M0R2

prendre une feuille rectangulaire

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2 découpez suivant le chemin tracé, retourner cette pièce et

Tracer une ligne polygonale

de 2 à 3 découpez suivant le chemin retourné

Voici votre pavé colorié en

vert Le remplissage du plan se fera par des translations, des symétries glissement et des demi-tour:

Les pavages avec les mains

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Pavage cm ou M1

prendre une feuille rectangulaire

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2 découpez suivant le chemin tracé et le coller sur

Voici votre pavé colorié en

rose Le remplissage du plan se fera par des translations et des symétries :

Les pavages avec les mains

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Pavage pm ou M1g

prendre une feuille rectangulaire

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2 découpez suivant le chemin tracé et coller la pièce après

Voici votre pavé colorié en

bleu Le remplissage du plan se fera par des symétries verticales et des symétries glissement :

Les pavages avec les mains

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Pavage pmg ou M1R2

prendre une feuille rectangulaire

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2 découpez suivant le chemin tracé et le coller sur droite

Tracer une ligne polygonale

de 2 à 3 découpez suivant le chemin tracé et le coller après avoir fait une rotation centrale de centre 3

Voici votre pavé colorié en

bleu Le remplissage du plan se fera par des symétries horizontales et des rotations centrales :

Les pavages avec les mains

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Pavage pmm ou M2

prendre une feuille rectangulaire

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2

Tracer une ligne polygonale

de 2 à 3

Voici votre pavé (un rectangle

avec un dessin) Le remplissage du plan se fera par des symétries horizontales et verticales :

Les pavages avec les mains

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Pavage cmm ou M2R2

prendre une feuille rectangulaire

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2 découpez suivant le chemin tracé et le coller sur té droite

Tracer une ligne polygonale

de 2 à 3 découpez suivant le chemin retourné

Voici votre pavé colorié en

bleu Le remplissage du plan se fera par des translations et des symétries glissement :

Les pavages avec les mains

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Pavage p4g ou M2R4

prendre une feuille carrée

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2 découpez suivant le chemin tracé et le coller après une rotation de 90°

Voici votre pavé colorié en

bleu Le remplissage du plan se fera par des translations et des symétries glissement :

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage p4m ou M4

prendre une feuille rectangulaire

Tracer une ligne polygonale

de 1 à 2

Tracer une ligne polygonale

de 2 à 3

Voici votre pavé colorié (un

triangle bicolore) Le remplissage du plan se fera par des symétries:

Les pavages avec les mains

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Pavage p31m ou M3R3

prendre une feuille triangulaire cipal 120°)

Tracer une ligne polygonale de 1 à 2

Découper, faire une rotation et coller

Voici votre pavé colorié en jaune

Le remplissage du plan se fera par des symétries et des rotations de 120°:

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage p3m1 ou M3

prendre une feuille triangle équilatère

Tracer une ligne polygonale de 1 à 2

Tracer une ligne polygonale de 2 à 3

Voici votre pavé colorié en bleu et

jaune Le remplissage du plan se fera par des symétries suivant les trois cotés du triangle :

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Pavage p6m ou M6

prendre une feuille demi-triangle

équilatère

Tracer une ligne polygonale de 1 à 2

Tracer une ligne polygonale de 2 à 3

Voici votre pavé colorié en bleu et

jaune Le remplissage du plan se fera par des symétries suivant les trois cotés du triangle

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Les Pavages hyperboliques.

Le plan Hyperbolique est représenté par un disque ouvert, nous donnons quelques exemples de pavages du plan hyperbolique, réalisés par le logiciel. Rappelons que dans la géométrie hyperbolique il y a une infinité de groupes de pavage. Ce logiciel est le p réaliser un pavage hyperbolique .

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

Les pavages avec les mains

©Marcel Morales

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