[PDF] Pavage du cube Notre problématique : assembler des





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Application de la symétrie centrale aux pavages

LC 2007. En 5ème au cours de math



MATHS À MODELER PAVAGES PAR DES DOMINOS

Par des arguments de symétrie on peut voir qu'en fait



Pavage du cube

Notre problématique : assembler des tuiles pour paver un cube. MATh.en.JEANS 2015-2016 Collège des Comment faire pour savoir si un patron est correct ?



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Réaliser son pavage

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Pavage avec des polygones

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Chapitre 1 Pavages probl`emes de pavage

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26 sept. 2004 Pavage non périodique du plan - Rectangle d'or. 3. Triangle d'or ... Faire des maths … avec GéoPlan : http://debart.pagesperso-orange.fr.



Leçon 13 : Transformations du plan. Frises et pavages.

2) Réaliser trois rotations de centre. B dans le sens horaire d'angles 90°



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Un pavage est un recouvrement d’une ?gure géométrique par différentes copies d’une même ?gure Un domino est une ?gure géométrique rectangulaires d’une unité sur k unités Par pavage on sous-entend souvent pavage par des dominos Peut-on recouvrir un échiquier (de taille 8 8) dont a enlevé deux coins opposés par



Comment Faire un Pavage en Maths ? Superprof

1 Un pavage périodique dans le plan Ce dessin (étendu en principe à tout le plan) se superpo-se exactement à lui-même lorsqu’on le translate du vec-teur V = 3a + 2b par exemple Les translations de vecteur ma + nb avec met nentiers forment un groupe ; celui-ci constitue une partie du groupe des symétries du pavage V= 3a + 2b b a



PAVAGES - University of Neuchâtel

Comme deuxi`eme exemple demandons comment il est possible d’´e-quid´ecomposer un rectangle de cˆot´es A+aB en un rectangle de cot´es AB + b lorsque (A + a)B = A(B + b) et 0 < a < A (La solution fait partie de la d´emonstration usuelle du th´eor`eme de Wallace-Bolyai-Gerwien ´evoqu´e plus haut Indication en ?n d’article )



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En 4ème: Ce pavage carré a un périmètre de 64 cm Faut-il plus de peinture blanche ou de peinture grise pour réaliser ce pavage ? En 3ème: Ce pavage carré a une aire de 4 m2 Piee et Isaa o sevent une mouhe ui s’appête à se pose su e pavage ui one le fond de leur salle de mathématiques

  • Pavages Semi-Réguliers

    Les pavages semi-réguliers sont ceux constitués d’au moins deux polygones réguliers convexes, il n’y a que huit cas possibles qui sont illustrés ci-dessous. Si on s’accorde plus de liberté, on peut réaliser des pavages qui ne sont pas strictement réguliers ou semi-réguliers comme l’illustrent ceux réalisés par les élèves de 3edu primaire de Magali ...

  • Transformations géométriques

    La construction d’un pavage du plan peut faire intervenir trois types de transformations isométriques, car le motif de base ne peut être modifié. Ce sont la translation, la rotation et la symétrie. Un pavage qui est réalisé en effectuant seulement des translations à partir d’un motif d’une cellule primitive est dit pavage périodique. Les rotations ...

Comment construire une figure de type pavage ?

En cours de maths, pour construire une figure de type pavage, vous aurez besoin de deux feuilles de papier, de crayons de couleur ou de feutres et d’une paire de ciseaux. En premier temps, choisissez votre élément géométrique. Vous pourrez tracer un polygone, un losange, un trapèze ou une forme triangulaire sur un quadrillage, puis découper le.

Quels sont les concepts mathématiques derrière les pavages ?

Les concepts mathématiques derrière les pavages sont principalement ceux d'iisométrie et de groupe d'isométries (cas des frises, des pavages bipériodiques, de la cristallographie). Mais on peut aussi considérer les pavages indépendamment de ces deux concepts, si l'on s'intéresse par exemple aux pavages polygonaux ou aux pavages de Penrose. 1.

Comment créer un pavage ?

Utiliser votre imagination pour tracer des figures, mais garder à l’esprit que la réussite réside dans un centre de symétrie parfait. Si vous êtes en quête d’inspiration pour vos pavages, le net regorge d’idées et de tutoriels. Plus que des mathématiques, le pavage donne un véritablement enseignement artistique.

Quels sont les différents types de pavage de l’espace ?

On parle également de pavage périodique en cours de maths quand l’ensemble des éléments géométriques est composé de quadrilatères. Enfin, il est possible de paver l’espace avec des prismes de Kepler. Il existe seulement cinq types de pavage de l’espace ne comprenant qu’un seul polyèdre.

Pavage du cube Cet ariticle est rédigé par des élèves. Il peut comporter des oublis et imperfecitions, autant que possible signalés par nos relecteurs dans les notes d'édiition.

Pavage du cube Année 2015- 2016

Prénoms et Noms des élèves, niveaux :

6ème : Adélie SERAFINI, Rosalie SERRE, Romane LOISEAU, Noé TERRON, Milo ALDROVANDI,

Vianney DE LAMARZELLE

5ème : Hanny DAHER HASSAN, Jusitine CAIRONI, Zoé MAISTRE, Laeitiitia GOUZOWSKY,

Aurélien THEVENY, Ilan OUZEN, Valenitin DURY, Ethan PETREQUIN

3ème : Mathis VIDAL, Alice LAURENDON

Établissement :

Collège des Grattte-Ciel Morice Leroux, Villeurbanne

Enseignantes :

Natalie Jacotey, Christel Bouvier

Chercheurs :

Daniel Hirschkofff, Sebasitian Barbieri, Bertrand SIMON, Mattthieu ROSENFELD, Simon CASTELLAN

ENS Lyon

Présentaition du sujet

Notre problémaitique : assembler des tuiles pour paver un cube

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Sommaire

Paritie 1: Déifiniitions et représentaition

I. Les tuiles

II. Colorier les tuiles avec deux couleurs

III. Assembler les tuiles

IV. Les patrons

Paritie 2 : Conjectures et résultats obtenus I. Pavage du cube de côté 1 avec deux couleurs II. Pavage du cube de côté 2 avec deux couleurs

III. Pavage du pavé 2-1-1 avec deux couleurs

IV. Pavage du cube de côté 1 avec trois couleurs V. Pavage du cube de côté 1 avec des tuiles toutes diffférentes

Paritie 3 : Illustraition avec Scratch

Lien vers un projet Scratch illustrant notre sujet

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Paritie 1: Déifiniitions et représentaition

I. Les tuiles

Déifiniition : Une tuile de Wang est un carré dont les diagonales forment quatre triangles.

II. Colorier les tuiles avec deux couleurs

Exemple de tuile à deux couleurs :

Il est possible de faire des rotaitions :

Notaitions :

Diagonale Pac-Man Sablier

Voici les diffférentes

tuiles à deux couleurs, que nous nommerons ainsi :

III. Assembler les tuiles

Pour assembler deux tuiles, les deux triangles adjacents doivent avoir la même couleur.

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IV- Les patrons

Déifiniition : Un patron permet de représenter un solide à plat Nous avons trouvé plusieurs patrons pour le cube :

Nous uitiliserons ce patron

pour tous les cubes représentés. Comment faire pour savoir si un patron est correct ? Pour savoir si un patron est correct, il faut vériifier que les triangles adjacents sont de la même couleur.

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Combien y a-t-il de patrons diffférents pour un cube dont les faces sont numérotées? [1]

On considère ce patron d'un cube dont les faces sont numérotées : Théorème : Il y a 24 patrons diffférents de ce cube

Preuve :

Pour le démontrer, on regarde la manière dont une face, la face 1 par exemple, peut apparaître sur

les diffférents patrons. - La tuile 1 peut être tourné de 4 manières diffférentes . Haut en haut Haut a droite Haut en bas Haut à gauche - La tuile 1 peut occuper 6 posiitions diffférentes sur le patron :

Conclusion : la face portant le numéro 1 pouvant être tourné de 4 manières diffférentes, à 6

posiitions diffférentes, le calcul suivant 6 x 4 = 24 donne donc 24 patrons diffférents.

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521

611 1111

1 111
Voici les 24 patrons diffférents que l'on peut obtenir :

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I. Pavage du cube de côté 1 avec deux couleurs Théorème : Il est impossible de paver un cube avec la tuile sablier.

Preuve :

On place une tuile sablier au centre.

On est obligé de placer les deux tuiles adjacentes de façon à ce que les triangles de même couleur

se touchent. Mais quand on place une tuile au-dessus de la première tuile placée, on remarque que c'est impossible car les deux triangles en angle droit ne sont pas de même couleur. Conclusion : il est impossible de paver un cube avec la tuile sablier uniquement !

Théorème : Il y a deux cubes diffférents, et seulement deux, qui puissent être pavés avec la

tuile Pac-Man.

Preuve :

Au départ, on place une première tuile sur le patron : Puis on place les triangles imposés sur les tuiles adjacentes : Ensuite, deux choix s'offfrent à nous pour placer le triangle jaune : [2]

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- 1er choix : à l'ouest : A ce moment-là, le triangle jaune à l'ouest

impose le triangle jaune sur la tuile du bas. Ensuite, on place le reste des triangles des tuiles et on obitient le patron ifinal avec le 1er choix (ouest) : - 2ème choix : au nord:

A ce moment-là, le triangle jaune au nord

impose le triangle jaune sur la tuile du haut Ensuite, on place le reste des triangles des tuiles et on obitient le patron ifinal avec le 2ème choix (nord) :

Nous avons vériifié, en formant les deux cubes correspondant à chaque patron, que ces deux cubes

étaient diffférents.

Conclusion : Il y a deux cubes diffférents, et seulement deux, qui puissent être pavés avec la tuile

Pac-man. [3]

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Théorème : Il y a deux cubes diffférents, et seulement deux, qui puissent être pavés avec la

tuile diagonale.

Preuve :

Nous avons essayé de paver un cube avec cettte tuile : Ensuite, il y a un choix à faire pour placer un triangle rouge sur la tuile de gauche :

MATh.en.JEANS 2015-2016 Collège des Grattte-Ciel Morice Leroux, Villeurbanne page 9Commençons par

placer cettte tuile au centre du patron.Ce qui nous oblige à placer les triangles adjacents de même couleur

Etant donné que

nous ne voulons uitiliser que des tuiles diagonales, nous devons obligatoirement metttre les deux triangles rouges

à l'opposé des

deux jaunes.1er choix : le triangle rouge au sud

Ce qui nous

oblige à placer les triangles adjacents de même couleur2ème choix : le triangle rouge au nord

Ce qui nous

oblige à placer les triangles adjacents de même couleur

Nous avons vériifié en formant les deux cubes correspondant à chaque patron que les deux cubes

étaient diffférents.

Conclusion :

Il y a deux cubes diffférents, et seulement deux, qui puissent être pavés avec la tuile diagonale.

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II. Pavage du cube de côté 2 avec deux couleurs Nous avons travaillé sur le cube de côté 2. Voici le patron que nous avons choisi d'uitiliser, il faut 4 tuiles pour chaque face. Nous avons choisi de rechercher tous les cubes uitilisant la tuile diagonale. Nous avons fait le choix de ifixer la tuile de départ sur la face du milieu en haut à gauche.

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Nous sommes ensuite obligés de metttre de la nous avons dû faire un 1er choix :

même couleur les triangles qui se trouvent nous avons mis un triangle jaune à l'ouest

autour. sur la tuile du haut.

Nous avons complété jusqu'à ce qu'il y ait Et ainsi de suite jusqu'à la ifin.

un 2ème choix à faire : nous avons choisi de metttre un triangle rouge à l'ouest sur la tuile tout en haut à gauche. De cettte manière, nous avons trouvé 8 patrons qui donnent 8 cubes diffférents.

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II. Pavage du pavé 2-1-1 avec deux couleurs

1.Le pavé formé avec deux cubes

Voici un patron :

Théorème : Il y a 5 pavés diffférents, et seulement 5, uitilisant la tuile Pac-Man.Il y a 5 pavés diffférents, et seulement 5, uitilisant la tuile Pac-Man.

Preuve:Preuve:

Au départ nous avons ifixé une tuile Pac-Man sur le pavé. Cela impose les couleurs des triangles adjacents : la tuile jaune du haut impose la couleur rouge des triangles adjacents et donc aussi la couleur de la tuile du bas qui touche la tuile du haut.

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A ce moment-là, il y a un choix à faire.

Ce choix sera fait sur une des tuiles sur la gauche du patron.

1er choix : nous plaçons le triangle jaune à l'ouest de la tuile de gauche,

(tous les patrons ainsi obtenus formeront la famille des patrons Aatrons A)) :: Cela impose un triangle rouge sur la tuile de gauche et un triangle jaune sur la tuile du bas, qui va imposer à son tour la couleur rouge aux triangles adjacents et sur la tuile en haut à droite :

Par la suite, nous aurons de nouveau un choix à faire, et nous obtenons ifinalement 2 patrons A Par la suite, nous aurons de nouveau un choix à faire, et nous obtenons ifinalement 2 patrons A

diffférents. diffférents.

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Nous avons uitilisé le même principe pour le 2nd choix (c'est la famille des patrons B), ce qui va

donner ces trois patrons : Nous avons vériifié que les pavés obtenus étaient tous diffférents.

Conclusion :

Il y a cinq pavés diffférents, et seulement cinq, qui puissent être pavés avec la tuile pac-man.

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IV. Pavage du cube avec trois couleurs

Nous avons trouvé 9 tuiles diffférents à 3 couleurs que l'on a organisé en plusieurs familles : [4]

Famille A Famille B

Famille 1 (bleu)

Famille 2 (rouge)

Famille 3 (jaune)

Il y a les familles (horizontales) par couleur et il y a les familles que l'on disitingue grâce à

posiition des deux triangles de même couleur : dans la famille A, les triangles de même couleur se

touchent tandis que dans la famille B (les tuiles sablier) ils ne se touchent pas.

Remarque : Sur chacune des lignes, les deux tuiles de la famille A sont diffférentes car selon que

l'on place l'une ou l'autre de ces tuiles en posiition centrale sur les deux patrons ci-dessous, on obitient un patron faux à gauche et un patron juste à droite.

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Pavage du cube avec des chifffres

Nous avons essayé de remplir le cube autrement qu'avec des couleurs, nous avons alors pensé à

une autre technique : remplir le cube avec des chifffres qui seraient remplaçables par des couleurs,

prédéifinies ou non.

Exemple :

MATh.en.JEANS 2015-2016 Collège des Grattte-Ciel Morice Leroux, Villeurbanne page 17En prédéifinissant les

couleurs (1 = rouge ;

2 = jaune ; 3 = bleu),

nous obtenons ce patron, ce qui revient exactement au même.

Voici ce patron

avec uniquement des couleurs.Prenons ce patron codiifié avec des chifffres. Théorème : On ne peut pas paver un cube avec une des trois tuiles sablier. Preuve : On prend la tuile sablier de la famille 1 par exemple, que l'on va placer au centre du patron. On n'a pas le choix, on doit placer à la gauche de la tuile centrale un autre sablier de la famille 1. Là non plus, on n'a pas le choix, on doit placer à la droite de la tuile centrale un autre sablier de la famille 1.

On remarque, qu'il y aura un problème.

Si on ajoute une tuile au-dessus de la tuile centrale,

ROUGE touchera BLEU et JAUNE touchera BLEU.

Le raisonnement est le même avec les tuiles sablier de la famille 2 ou de la famille3. Conclusion : on ne peut donc pas paver le cube uniquement avec une des trois tuiles sablier.

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V. Pavage du cube de côté 1 avec des tuiles toutes diffférentes

1. Première problémaitique : comment paver un cube avec des tuiles toutes diffférentes ?

On peut uitiliser 12 couleurs : on ifixe une couleur diffférente pour chacune des 12 arêtes.

On obitient un patron tel que celui-ci :

2. Deuxième problémaitique : combien de couleurs diffférentes faut-il au minimum pour paver un

cube uniquement avec des tuiles toutes diffférentes ? a. Avec 1 seule couleur : C'est impossible car les tuiles seront forcement idenitiques puisqu'il n'y a qu'une seule couleur b. Avec 2 couleurs : Nous avons remarqué que l'on pouvait faire 6 tuiles diffférentes avec deux couleurs. Pour paver un cube avec les 6 tuiles, il y aura forcément une tuile sur chacune des 6 faces.

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4

Mais cela est impossible car, en ifixant la tuile rouge au centre et en étudiant toutes les possibilités

pour faire un patron correct, on se rend compte qu'il y aura toujours 2 tuiles diagonales sur chaque patron. c. Avec 3 couleurs :

Nous avons trouvé un exemple qui convient,

les tuiles sont toutes diffférentes :

Conclusion : Trois couleurs sont nécessaires et suiÌifiÌisantes pour paver un cube avec des tuiles qui

sont toutes diffférentes.

Paritie 3 : Illustraition avec Scratch

Nous avons réalisé un programme avec Scratch pour illustrer ce que nous vous expliquons et pour

tester les possibilités de pavage. Il est possible également de créer ses propres patrons.

Cliquez ici pour accéder au site :

Merci de votre lecture.

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Notes d'édiition :

[1] Les auteurs se demandent ici combien de façons il y a de coller un patron en forme de croix

sur un cube donné. Ils remarquent qu'il suiÌifiÌit de déterminer sur quelle case du patron on pose la

face n°1 du cube, et dans quelle orientaition elle est posée. Une fois ceci ifixé, il y a une seule façon

de poser le patron sur le cube.

[2] On cherche ici à remplir la case à gauche de la case centrale ; la seule chose à déterminer est

la place de la paritie jaune de la tuile.

[3] On aurait aussi pu placer la première tuile sur la case centrale avec une autre orientaition ;

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