[PDF] FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2





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Recherche de léquation dune parabole passant par 3 points (Alain

Soit une parabole P d'équation y = ax2 + bx + c passant par trois points Les points étant distincts on a xA; xB; xC différents deux `a deux ce qui.



Comment trouver léquation dune équation du second degré à partir

Les zéros et un point de la courbe. • L'ordonnée à l'origine et 2 points de la courbe. • 3 points quelconques de la courbe. • Une coordonnée du sommet et 2 



Théorèmes sur la parabole

l'équation d'une tangente h la parabole; m et m'dési- gnant les coefficients angulaires de deux trois sommets du triangle et deux points fixes I ef J.



FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Par exemple la fonction ? 3 ?2 +1 est une fonction polynôme du second degré. (?3) × 3 = ?18. Le sommet de la parabole S est donc le point de.



Lecture 9: Introduction to Spline Curves

We now have the equation of a curve interpolating the three points. It is of course a parabola or parabolic spline. Notice that we don't have any control 



Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 1 Exercice 1 : (3

Exercice 1 : (3 points). Soit la parabole d'équation y = 25x² - 10x + 1. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;IJ).



FONCTIONS QUADRATIQUES EXPONENTIELLES ET

Le point 0 est donc l'ordonnée à l'origine de la parabole. Tracer le graphe de la parabole dont l'équation est 2 3 5. Sommet de la parabole:.



Axe de symétrie dune parabole (1)

3 y x . Ici ? =7 et ? =3 donc la parabole admet pour sommet le point (. ) 7 ; 3. S . Exercices. Donner les coordonnées du sommet de la parabole d'équation 



Sylvain Lacroix 2005-2006 - 1 - www.sylvainlacroix.ca Deuxième

Définition : Une parabole est le lieu d'un point à égale distance d'un point fixe 3 - www.sylvainlacroix.ca. Troisième cas. Quatrième cas. Équation x.



Lecture Notes-3(Polar Equation of Conics)

Unit-I-2D-PolarEquationofConics(Normal).pdf



How do you find the equation of a parabola with 3 points? - Byju's

Standard Equation of a Parabola k= A(x h)2andx h= A(y k)2 Form of the parabola x2 = y opens upwardx2 = y opens downwardy2 = x opens to the righty2 = x opens to the left Vertex at (h;k) Stretched by a factor of Avertically fory=x2andhorizontally forx=y2Written by: Narration: Graphic Design: Mike Weimerskirch Mike Weimerskirch Mike Weimerskirch



Worksheet 19: Determining Quadratic Functions Page 1 - RYSS

Given three points that are not on a line there is only one parabola y = ax2 + bx + c that will go through those points To determine this parabola • Substitute all three points (xy) into the equation y = ax2 + bx + c to obtain a system of three equations for three unknowns (ab and c) • Solve the system to determine ab and c



Equations of Parabolas - Kuta Software

3 a > 0 y = 3(x ? 4)2 + 2 Use the information provided to write the intercept form equation of each parabola 23) x2 + 3x + y ? 28 = 0 y = ?(x + 7)(x ? 4) 24) ?y2 + x ? 20 y ? 103 = 0 x = y2 + 20 y + 103-2-Create your own worksheets like this one with Infinite Algebra 2 Free trial available at KutaSoftware com



Three Points and a parabola

Three Points and a parabola Overview: Students will find equations of parabolas from three points on the parabola and then study what happens to the parabola when one of the points is changed slightly Learning Objectives: • To find the equation of a parabola given three points • To find the location of the vertex of a parabola

How to find the equation of a parabola with 3 points?

Let ( x 1, y 1), ( x 2, y 2), ( x 3, y 3) are the 3 points that lie on the parabola. These points satisfy the equation of parabola. After solving these equations we can find the values of a, b , c. After substituting in equation will be able to find the required equation. Hence, in this way we can find the equation of a parabola with 3 points.

What is the standard form of parabola equation?

The standard form of parabola equation is expressed as follows: The orientation of the parabola graph is determined using the “a” value. If the value of a is greater than 0 (a>0), then the parabola graph is oriented towards the upward direction. If the value of a is less than 0 (a

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Chapitre 2/2

Partie 1 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2

Exemple :

La fonctiondéfinie par

=2 -2 +2 est une fonction du second degré. En effet, elle s'écrit aussi sous la forme ⟼ =2 -2 +2 =2 -4 =2 -8. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par sont des fonctions polynômes de degré 2.

Les coefficients ,

et sont des réels avec ≠0. A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme de degré 2, toute fonction qui s'écrit sous la forme ⟼

Par exemple, la fonction ⟼3

-2+1 est une fonction polynôme du second degré. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ par

L'équation

=0 possède deux solutions (éventuellement égales) : = et appelées les racines de la fonction polynôme. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ par La droite d'équation = avec = est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction. Méthode : Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée.

Vidéo https://youtu.be/riqMPcUT_Ts

On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 -2 +4

Déterminer :

a) l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, b) son axe de symétrie, c) les coordonnées de son extremum.

Placer au fur et à mesure ces éléments géométriques dans un repère puis tracer la parabole

représentant la fonction.

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Correction

a) Pour déterminer l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, il suffit de résoudre l'équation =0.

Soit : 2

-2 +4 =0.

Il s'agit d'une équation-produit. On a donc :

-2=0 ou +4=0 soit : =2 ou =-4. La courbe detraverse l'axe des abscisses en =-4 et en =2. On peut marquer ces deux points d'intersection, A et B, dans le repère. b) Ici, =2 -2 +4 donc =2 et =-4, et donc = =-1. La droite d'équation =-1 est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction.

On peut tracer cette droite dans le repère.

c) - Le sommet S de la parabole se trouve sur l'axe de symétrie, donc il a pour abscisse = -1 et pour ordonnées : -1 =2 -1-2 -1+4 =2× -3

×3=-18

Le sommet de la parabole S est donc le point de

coordonnées (-1 ; -18).

On peut placer le point S dans le repère.

- L'expression de la fonctionest =2 -2 +4 , donc a = 2 > 0.

On en déduit que la parabole

représentant la fonctionpossède des branches tournées vers le haut.

Le sommet de la parabole

correspond donc au minimum de la fonction.

On trace ainsi la parabole

passant par les points S, A et B.

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Méthode : Associer une fonction du second degré à sa représentation graphique

Vidéo https://youtu.be/Yrt2Cdx1uk4

Associer chaque fonction à sa représentation graphique :

Correction

- On a : ℎ =5 -1 =5

La fonction ℎ est la seule à posséder une racine double égale à 1. Cela signifie que la parabole

correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses. La parabole bleue intercepte l'axe des abscisses en 1 uniquement, c'est donc la représentation graphique de la fonction ℎ. - Les fonctionset sont de la forme =3 -1 +3 et =-2 -1 +3 Ces fonctions possèdent donc toutes les deux les mêmes racines : =1 et =-3. On peut donc les associer à la parabole rouge et à la parabole verte qui passent toutes les deux par les points d'abscisse -3 et 1.

Les branches de la parabole verte sont tournées vers le haut donc > 0 dans l'écriture de la

fonction ⟼ Ainsi, la parabole verte représente la fonctionpour qui = 3 > 0. La parabole rouge représente alors la fonction . Méthode : Factoriser une expression du second degré

Vidéo https://youtu.be/FoNm-dlJQLc

On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 +4-6. a) Conjecturer une racine de la fonction polynômeet vérifier par calcul. b) Factoriser.

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Correction

a) On peut conjecturer que 1 est racine de la fonction polynôme.

En effet,

1 =2×1 +4×1-6=2+4-6=0. b) D'après l'expression de la fonction , on a : =2 +4-6.

On peut affirmer que =2.

Par ailleurs, 1 est une racine de. Donc, sous sa forme factorisée,s'écrit : =2 -1

Il s'agit donc de déterminer

, tel que : 2 +4-6=2 -1 En prenant par exemple =0, cette égalité s'écrit : -6=2 -1 , soit -6=2 ou encore -3= Ainsi, sous sa forme factorisée, la fonction polynômes'écrit =2 -1 -3 > ou encore =2 -1 +3 Partie 2 : Signe d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Étudier le signe d'un polynôme du second degré

Vidéo https://youtu.be/EjR6TCc_fdg

Étudier le signe de la fonction polynômedéfinie sur ℝ par =-2 -3 +2

Correction

Le signe de -2

-3 +2 dépend du signe de chaque facteur -2, - 3 et + 2. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. - 3 = 0 ou + 2 = 0 = 3 = -2 En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit =-2 -3 +2

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On en déduit que ()≥0 pour ∈ -2;3 et -∞;-2

3;+∞

La représentation de la fonctionà l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats

établis précédemment.

Partie 3 : Équation de la forme x² = c

Propriété :

Les solutions dans ℝ de l'équation

=dépendent du signe de . Si < 0, alors l'équation n'a pas de solution. Si = 0, alors l'équation possède une unique solution qui est 0. Si > 0, alors l'équation possède deux solutions qui sont et - Méthode : Résoudre une équation du type x 2 = c

Vidéo https://youtu.be/ef15aeQRs6w

Résoudre dans ℝ les équations :

a) =16 b) =-8 c) 2 -8=120

Correction

a) 16 est positif donc l'équation =16 admet deux solutions =

16=4 et

16=-4.

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b) -8 est négatif donc l'équation =-8 n'a pas de solution dans ℝ. c) 2 -8=120

2

=120+8

2

=128 =64

L'équation admet donc deux solutions =

64=8 et =-

64=-8.

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