[PDF] Ejercicios resueltos Ejercicios resueltos. Bolet´?n 2.

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Ejercicios resueltos

Bolet´ın 2

Campo gravitatorio y movimiento de sat´elites

Ejercicio 1

En el punto A(2,0) se sit´ua una masa de 2 kg y en el punto B(5,0)se coloca otra masa de 4 kg. Calcula la fuerza resultante que act´ua sobre una tercera masa de 5 kg cuando se coloca en el origen de coordenadas y cuando se sit´ua en el punto C(2,4).

Soluci´on 1

En una distribuci´on de masas la fuerza resultante que act´ua sobre una de ellas es la suma vectorial de las fuerzas con las que act´uan las dem´as masas sobre ella. a) Al colocar la masa dem= 5 kg en O (0,0). Las masasm1= 2 kg ym2= 4 kg interaccionan con la masam= 5 kg con unas fuerzas que tienen de direcci´on el eje X y sentido hacia las masasm1ym2. m = 2 kg1m = 4 kg2F 1F 2

O(0, 0)A(2, 0) B(5, 0)Y

X

Aplicando la ley de gravitaci´on universal:

F=?F1+?F2=G·m1·m

i

Sustituyendo:

F= 6,67·10-11·5?2

22+452??i= 2,20·10-10?iN

b) Al colocar la masam= 5 kg en C(2,4). Las fuerzas que act´uan sobre la masam tienen de direcci´on las rectas que unen la citada masa con las otras dos y por sentido hacia las masasm1ym2.

F1=G·m1·m

r21(-?j) =-6,67·10-11·2·542?j=-4,17·10-11?jN El m´odulo de la fuerza con la que act´ua la masam2= 4 kg es: F

2=G·m2·m

r22=6,67·10-11·4·5(⎷32+ 42)2= 5,34·10-11N 1 F2x F 2F2y F 1 m = 2 kg

1A(2, 0)m = 4 kg2B(5, 0)C(2, 4)

?Y X O De la figura se deduce que cos?= 4/5 y sin?= 3/5 por lo que las componentes de la fuerza que ejerce la masam2son:

F2x=F2·sin??i= 5,34·10-11·3

5?i= 3,20·10-11?iN

F2y=F2·cos?(-?j) =-5,34·10-11·4

5?j=-4,27·10-11?jN

La fuerza resultante que act´ua sobre la part´ıcula de masamtiene de componentes:

Fx=?F2x= 3,20·10-11?iN

Su m´odulo es:

?F|=? F2x+F2y=?(3,20·10-11)2+ (8,44·10-11)2= 9,03·10-11N

Ejercicio 2

Calcula el m´odulo del campo gravitatorio terrestre a una distancia de 100 km sobre la superficie de la Tierra. Datos:MT= 5,98·1024kg,RT= 6370 km

Soluci´on 2

Aplicando la definici´on de intensidad del campo gravitatorio y como la Tierra se com- porta como una part´ıcula con su masa concentrada en su centro, se tiene: g=G·MT r2=G·MT(RT+h)2

Sustituyendo:

g=6,67·10-11·5,98·1024 (6,37·106+ 105)2= 9,53 N/kg 2

Ejercicio 3

Una part´ıcula de masam1= 2 kg est´a situada en el origen de un sistema de referencia y otra part´ıcula de masam2= 4 kg est´a colocada en el punto A(6,0). Calcula el campo gravitatorio en los puntos de coordenadas B(3,0) y C(3,4) y la fuerza que act´ua sobre una part´ıcula de 3 kg de masa situada en el punto C.

Soluci´on 3

Aplicando el principio de superposici´on, el campo gravitatorio en un punto es igual a la suma vectorial de los campos individuales que act´uan en ese punto.

1m = 2 kgO(0, 0)

2 m = 4 kgA(6, 0)u r1ur2g1g2 Y X

B(3, 0)

a) Campo gravitatorio en el punto B(3,0). ?g

1=-Gm1

r21?u r1=-G232?i=-G29?i ?g

2=-Gm2

r22?u r2=-G432(-?i) =G49?i

Sumando:

?g

B=?g1+?g2=-G2

9?i+G49?i=G29?i= 1,48·10-11?iN/kg

b) Campo gravitatorio en el punto C(3,4). El punto C est´a situado a la misma distancia de cada una de las part´ıculas, aplicando el teorema de Pit´agoras:d= 5 m. Los m´odulos de los campos creados por cada una de las part´ıculas son: g 1=Gm1 r21=G252=G225 g 2=Gm2 r22=G452=G425 Teniendo en cuenta la figura para determinar las relaciones trigonom´etricas de los respectivos ´angulos y aplicando el principio de superposici´on, se tiene: ?g

1x=?g1·sin?1·(-?i) =-G2

2535?i=-G6125?i

?g

2x=?g2·sin?2·?i=G4

2535?i=G12125?i

?g x=G6 125?i
3 m = 4 kg2B(6, 0)g 2x m = 2 kg 1g 2g2yg 1g 1x u r1u r2?

1?2g1y

Y X

A(3, 0)C(3, 4)

O ?g1y=?g1·cos?1·(-?j) =-G22545?j=-G8125?j ?g

2y=?g2·cos?2·(-?j) =-G4

2545?j=-G16125?j

?g y=-G24 125?j

Sustituyendo:

?g

C=?gx+?gy= (3,20·10-12?i-12,8·10-12?j) N/kg

|?gC|=? g2x+g2y=?(3,20·10-12)2+ (12,8·10-12)2= 1,32·10-11N/kg c) La fuerza que act´ua sobre la part´ıcula colocada en el punto C es: F=m·?gC= 3·(3,20·10-12?i-12,8·10-12?j) = 9,6·10-12?i-38,4·10-12?jN/kg ?F|=m· |?gC|= 3·1,32·10-11= 3,96·10-11N

Ejercicio 4

Demuestra la validez de la expresi´onm·g·hpara la variaci´on de energ´ıa potencial gravitatoria en puntos pr´oximos a la superficie terrestre.

Soluci´on 4

La variaci´on de la energ´ıa potencial al trasladar un objeto de masamdesde la superficie de la Tierra hasta un punto situado a una alturah, conh << RTierra, es:

ΔEp=Ep,h-Ep,T=-G·MT·m

RT+h-?

-G·MT·mRT? =G·MT·m?1RT-1RT+h? 4

Operando, y comog0=G·MTR2T, se tiene:

ΔEp=g0·m·R2Th

RT(RT+h)

Si la distanciahes mucho menor que el radio de la Tierra, entonces se puede realizar la aproximaci´onRT·(RT+h)≈R2Ty por tanto: ΔEp=m·g·h

Ejercicio 5

Dos part´ıculas de masasm1= 4 kg ym2= 0,5 kg que est´an situadas a una distancia de 20 cm se separan hasta una distancia de 40 cm. calcula la energ´ıa potencial asociada a las dos posiciones relativas y el trabajo realizado durante el proceso.

Soluci´on 5

a) La energ´ıa potencial asociada a las dos posiciones relativas es: E p,inicial=-G·M·m E p,final=-G·M·m b) Aplicando la ley de la energ´ıa potencial, el trabajo realizado por la fuerza gravita- toria es: W Fg=-ΔEp=-(Ep,final-Ep,inicial) =-(-3,35·10-10-(-6,67·10-10)) =-3,335·10-10J El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria tiene el signonegativo, como corresponde a

una transformaci´on no espont´anea, aumentando la energ´ıa potencial de la distribuci´on.

Ejercicio 6

La gr´afica adjunta representa la energ´ıa potencial gravitatoria asociada a la posici´on

de una masa de 1 kg en puntos pr´oximos a la superficie de un planeta de 5000 km de radio. Determina la intensidad del campo gravitatorio en susuperficie.

Soluci´on 6

Si se elige como origen del sistema de referencia la superficie del planeta, entonces para

puntos pr´oximos a dicha superficie la energ´ıa potencial gravitatoria asociada a la posici´on

de un objeto de masamesEp=m·g·h El valor de la pendiente de la representaci´on gr´afica es igual al productom·g. Por tanto: pendiente=100 J

25 m= 4 N =m·g= 1·g

Despejando:

g= 4 N/kg 5

E (J)p

5 10 15 20 25 h(m)20406080100

Ejercicio 7

Una part´ıcula de masam1= 2 kg est´a situada en el origen de un sistema de referencia y otra part´ıcula de masam2= 4 kg est´a colocada en el punto A(6,0). Calcula el potencial gravitatorio en los puntos de coordenadas B(3,0) y C(3,4). ¿Qu´e trabajo se realiza al transportar una masa de 5 kg desde el punto B hasta el punto C?

Soluci´on 7

aplicando el teorema de Pit´agoras, el punto C est´a situadoa 5 m de cada una de las dos masas. a) El potencial gravitatorio en un punto es igual a la suma de los potenciales creados por cada una de las masas. V

B=V1+V2=-G·m1

r1-G·m2r2=-G?23+45? =-1,334·10-10J/kg V

C=V1+V2=-G·m1

r1-G·m2r2=-G?25+45? =-8,004·10-11J/kg

b) Aplicando la relaci´on entre el trabajo de la fuerza conservativa y la energ´ıa potencial:

W

B→C=-ΔEp=-m·ΔU=-m·(VC-VB) =

=-5·(-8,004·10-11-(-1,334·10-10)) =-2,668·10-10J El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria tiene el signonegativo por lo que el proceso no es espont´aneo, ya que el sistema evoluciona hacia una situaci´on de mayor energ´ıa potencial.

Ejercicio 8

Considerando a la Tierra y a la Luna aisladas de toda influencia exterior se desea saber el potencial gravitatorio en el punto en el que se anulael campo gravitatorio. La masa de la Tierra es igual a 5,98·1024kg y equivale a 81 veces la de la Luna y la distancia desde la Tierra hasta la Luna es de 384000 km. 6

Soluci´on 8

Seadla distancia Tierra-Luna y P el punto pedido, que supongamosest´a a una distanciaxdel centro de la Tierra. En ese punto los m´odulos de los campos gravitatorios creados por cada astro son iguales,gT=gL.

G·MT

x2=G·ML(d-x)2

G·81·ML

x2=G·ML(d-x)2?92x2=1(d-x)2

Por tanto:

9·(d-x) =x

9d= 10x?x=9

10·384·106m = 3,456·108m

El potencial gravitatorio en ese punto es el debido a la Tierra y a la Luna: V

P=VT+VL=-G·MT

Operando:

V

P=-G·10·MT

9d-G·10·MT81d=-10081G·MTd

Sustituyendo:

V

P=-100

Ejercicio 9

Un meteorito de 1000 kg de masa se encuentra en reposo a una distancia sobre la

superficie de la Tierra de cinco veces el radio terrestre. ¿Cu´al es el valor de la energ´ıa

mec´anica asociada al meteorito en esa posici´on? Justificael signo obtenido. Prescindiendo

de la fricci´on con el aire, calcula la velocidad con la que impactar´a contra la superficie de

la Tierra. ¿Depender´a esa velocidad de la trayectoria que siga el meteorito?

Dato:RT= 6370 km.

Soluci´on 9

a) El meteorito est´a situado a una distancia 6RTdel centro de la Tierra y en re-

poso, por lo que la energ´ıa mec´anica asociada a su posici´on es exclusivamente potencial

gravitatoria. E mec´anica=Epotencial=-G·MT·mm

6·RT

Multiplicando y dividiendo porRT, como

g

0=G·MT

R2T 7 y sustituyendo, resulta que: E mec´anica=-g0·RT·mm El signo negativo significa que el meteorito est´a ligado al campo gravitatorio terrestre. b) Al prescindir de la fricci´on con el aire, la ´unica fuerzaque act´ua sobre el meteorito es la que aplica el campo gravitatorio terrestre, por lo que la energ´ıa mec´anica asociada a la posici´on del meteorito se conserva durante su ca´ıda. ΔEc+ ΔEp= 0?Ec,inicial+Ep,inicial=Ec,superficie+Ep,superficie

La energ´ıa potencial gravitatoria asociada a la posici´oninicial del meteorito se transforma

en energ´ıa potencial gravitatoria y energ´ıa cin´etica enla superficie de la Tierra.

0-G·MT·mm

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