[PDF] Exercices : Théorème de Pythagore

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Cours de mathématique de 3ème

Exercices : Théorème de Pythagore

Exercice 1 : Débuter

en douceur

On considère les deux

triangles rectangles ci- dessous.

Pour chacun d'eudž,

1) Recopier et compléter :

2) Enoncer le théorème de Pythagore pour ces deux triangles.

Triangle ABC Triangle DEF

Le triangle ABC est rectangle en A.

L'hypotĠnuse du triangle ABC est le côté [BC]. [AC] et [AB].

D'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

2 2 2BC BA AC

Le triangle DEF est rectangle en E.

L'hypotĠnuse du triangle DEF est le côté [DF]. [DE] et [EF].

D'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

2 2 2DF DE EF

Mini-flashback :

Où se trouve le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ? Au triangle DEF ?

Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC se trouǀe au milieu de ΀BC΁, l'hypotĠnuse. De mġme le centre

du cercle circonscrit au triangle DEF se trouve au milieu de [DF]. Exercice 2 : Calculer la longueur de l'hypotĠnuse

Soit AMF un triangle rectangle en M tel que :

AM 21 cm et MF 28 . Calculer AF.

1) Faite une figure ă main leǀĠe en n'oubliant pas les codages.

2) Recopier la réponse à trous suivante :

On sait que le triangle AMF est rectangle en M.

Or, d'aprğs le théorème de Pythagore, on a :

2 2 2AF AM MF

La longueur AF vaut 35 cm.

Exercice 3 : Calculer la longueur de l'hypotĠnuse- Bis

1) Soit EGL un triangle rectangle en L, tel que

EL 2,5

cm et LG 6 cm. Calculer EG.

On sait que le triangle EGL est rectangle en L.

Or, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

2 2 2EG EL LG

La longueur EG vaut 6,25 cm.

2) Soit LPA un triangle rectangle en A, tel que AP = 6 mm et AL = 4 mm. Calculer PL.

On sait que le triangle LPA est rectangle en A.

Or, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

2 2 2LP LA AP

La longueur LP vaut environ 7,21 cm.

3) Soit ZEN un triangle rectangle en E, tel que ZE = 2,4 m et EN = 3,2 m. Calculer ZN.

On sait que le triangle ZEN est rectangle en E.

Or, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

2 2 2ZN ZE EN

La longueur ZN vaut 4 cm.

AF² ² ²

AF² ² ²

AF AM MF 21 28

441 784

1225

1125 35

AF²

AF 2 2 2 2 2 2

EG EL LG

EG 2,5² 6²

EG 6,25 3

EG 42,25

EG 42,25 6,5

222
2 2 2

ZN ZE EN

ZN 2,4² 3,2²

ZN 5,76 10,24

ZN 16

ZN 16 4

2 2 2 2 2 2

LP LA AP

LP 4² 6²

LP 16 36

LP 52

LP 52 7,21

Cours de mathématique de 3ème

Exercice 4 : Pythagore et son écran plat

Un client a choisi un écran dont voici les dimensions :

1) Calculer la diagonale AC de l'Ġcran. Arrondir

à 0,1 cm.

On sait que le triangle ADC est rectangle

en D.

Or, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on

a :

2 2 2AC AD DC

La longueur AC vaut environ 17,5 cm.

2) Un écran est dit " 16/9ème » lorsque ses dimensions vérifient la relation

16 9 L l L'Ġcran prĠcĠdant est-il un " 16/9ème » ? Justifier la réponse.

15,31,7798,6

L l et

161,7779

. Les rapports ne sont pas Ġgaudž donc l'Ġcran n'est pas un 16ͬ9ème . Soit BSR un triangle rectangle en S, tel que SB= 10 cm et BR= 26 cm. Calculer SR.

1) Faite une figure à main levée sans oublier le codage.

2) Recopier et compléter :

" On sait que le triangle BSR est rectangle en S. Or, d'aprğs le théorème de Pythagore, on a :

La longueur SR vaut 24 cm. »

Soit BHP un triangle rectangle en H, tel que BP = 5,3 cm et BH = 2,8 cm. Calculer HP.

1) Soit LOT un triangle rectangle en O, tel que LO=2,4 m et LT= 16 m. Calculer OT.

On sait que le triangle LOT est rectangle en O.

Or, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

La longueur OT vaut environ 15,82 cm.

2) Soit CAT un triangle rectangle en A, tel que CA = 7 mm et CT = 14 mm. Calculer AT.

On sait que le triangle CAT est rectangle en A.

Or, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

La longueur AT vaut environ 12,12 cm.

Exercice 7 : La réciproque du théorème de Pythagore Soit EJO un triangle tel que EJ = 21 cm, JO= 29 cm et EO = 20 cm.

1) Faite une figure à main levée sans oublier le codage.

2) Démontrer que EJO est un triangle rectangle :

Recopier et compléter :

" On sait que le côté le plus grand est JO. Si le triangle serait rectangle, ce côté serait l'hypotĠnuse.

D'une part, on a :

2JO 29 4²81

D'autre part, on a :

22EJ EO 21 20²4²81

On constate que

2EJ² EO² JO

Donc, d'aprğs la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EJO est rectangle en E. »

BS SR 10 26 100 6

² ² BR²

SR² ² ²

SR²

S 76

676 100

576

576 24

R²

SR²

SR 2 2 2 2 2 2

AC AD DC

AC 8,6² 15,3²

AC 73,96 234,09

AC 308,05

AC 308,05 17,5

OT² LO² LT²

OT² 2,4² 16²

OT² 5,76 256

OT² 256 5,76

OT² 250,24

OT 250,24 15,82

AT² CA² CT²

AT² 7² 14²

AT² 49 196

AT² 196 49

AT² 147

AT 147 12,12

Cours de mathématique de 3ème

Exercice 8 : La réciproque du théorème de Pythagore-Bis

1) Soit DOG un triangle tel que DO = 2,5 cm, OG = 6,5 cm et DG = 6 cm. Démontrer que DOG est un triangle

rectangle.

D'une part, on a :

2OG² 6,5 42,25

D'autre part, on a :

22DO² DG² 2,5 6 42,25

On constate que

2DO² DG² OG

2) Soit HIP un triangle tel que HI = 6,5 cm, IP = 7,2 cm et HP = 9,7 cm. Démontrer que HIP est un triangle

rectangle.

D'une part, on a :

2HP² 9,7 94,09

D'autre part, on a :

22HI² IP² 6,5 7,2 94,09

On constate que

2HI² IP² HP

3) Soit HOP un triangle tel que HO = 8,5 cm, OP = 4 cm et HP = 7,5 cm.

D'une part, on a :

2HO² 8,5 72,25

D'autre part, on a :

22OP² HP² 4 7,5 72,25

On constate que

2OP² HP² HP

Exercice 9 : Contraposée du théorème de Pythagore Soit LUT un triangle tel que LU = 21 cm, UT = 34 cm et LT = 28 cm.

1) Faite une figure à main levée sans oublier le codage.

2) Le triangle LUT est-il rectangle ?

Recopier et compléter :

" On sait que le côté le plus grand est UT. Si Le triangle LUT est rectangle, ce côté serait l'hypotĠnuse.

D'une part, on a :

2UT 34 56²11

D'autre part, on a :

22LU LT 21 28 122²²5

On constate que

LU² LT² UT²

Donc, d'aprğs la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle LUT est rectangle. »

Exercice 10 : Théorème, réciproque et contraposée

ABCD est un rectangle tel que AM=3cm et MB=5cm.

1) Calculer ND et DC.

ND = AD - AN = 5 - 3 = 2 cm

DC = AM + MB = 3 + 5 = 8 cm

2) Calculer les valeurs exactes des longueurs MN, MC et NC.

On sait que le triangle NAM est rectangle en A.

Or, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

La longueur MN vaut environ

18 cm.

On sait que le triangle MBC est rectangle en B.

Or, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

La longueur MC vaut environ

50
cm. 2 2 2 2 2 2

MC MB BC

MC 5² 5²

MC 25 25

MC 50 MC 50 2 2 2 2 2 2

NM NA AM

NM 3² 3²

NM 9 9

NM 18 NM 18

Cours de mathématique de 3ème

On sait que le triangle NDC est rectangle en D.

Or, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

La longueur NC vaut environ

68
cm.

3) Démontrer que les droites (MN) et (MC)

sont perpendiculaires

Pour démontrer que les droites (MN) et (MC) sont perpendiculaires, on va montrer que le triangle NMC est

rectangle en M.

D'une part, on a :

2NC² 68 68

D'autre part, on a :

22NM² MC² 18 50 68

On constate que

2NM² MC² NC

Et donc les droites (MN) et (MC) sont bien perpendiculaires. Exercice 11 : Théorème, réciproque et contraposée bis

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Les points B, E et C sont alignés. Il en est de même pour les points A,

D et B.

1) Montrer que BC=10 cm.

On sait que le triangle BAC est rectangle en A.

Or, d'aprğs le thĠorğme de Pythagore, on a :

La longueur BC vaut environ 10 cm.

2) Quelle est la nature du triangle EDB ?

EB = CB - CE = 10 - 7,5 = 2,5 cm.

D'une part, on a :

2EB² 2,5 6,25

D'autre part, on a :

22ED² DB² 1,5 2 6,25

On constate que

2ED² DB² EB

3) Démontrer que les droites (AC) et (DE) sont parallèles.

On sait que (AC) est perpendiculaire à (AB). On sait aussi que (DE) est perpendiculaire à (AB).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc les droites (AC) et (DE) sont parallèles.

2 2 2 2 2 2

NC ND DC

NC 2² 8²

NC 4 64

NC 68 NC 68 2 2 2 2 2 2

BC BA AC

BC 8² 6²

BC 64 36

BC 10

BC 100 10

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