[PDF] Équations différentielles appliquées à la physique

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DERNIÈRE IMPRESSION LE19 juin 2017 à 15:40

Équations différentielles

appliquées à la physique

Table des matières

1 Introduction2

2 Méthode de résolution2

3 Premier ordre2

3.1 Résultat mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.2 Notation physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.3 Interprétation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.4 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4.1 Décharge d"un condensateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4.2 Chute libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Second ordre6

4.1 Résultats mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Notations physiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.3 Identification graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.3.1 Régime apériodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.3.2 Régime pseudo périodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.4 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4.1 Système mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4.2 Système harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4.3 Système RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.4.4 Analogie entre un système mécanique et un circuit RLC. . 11

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. INTRODUCTION

1 Introduction

On se limitera aux équations différentielles linéaires de degré 1et 2 à coefficients et second terme constants. C"est à dire les équations qui peuvent s"écrire sous la forme : y ?+a0y=bety??+a1y?+a0y=b ou encore avec la notation différentielle de variablet: dy dt+a0y=betd2ydt2+a1dydt+a0y=b

2 Méthode de résolution

Comme on a pu le voir dans la résolution de mathématiques : •On résout l"équation homogène c"est à dire sans second membre : y ?+a0y=0 ety??+a1y?+a0y=0 •On détermine une solution particulière de l"équation avec second membre. Comme celui-ci est constant, on peut prendreypart=b a0 •La solution générale est alors la somme des solutions de l"équationhomogène et de la solution particulière :y=yhom+ypart •On utilise ensuite la ou les conditions initiales pour trouver la solution qui convient. Remarque :Dans la majorité des cas les coefficientsa0,a1etbseront positifs.

3 Premier ordre

3.1 Résultat mathématique

Théorème 1 :Les solutions de l"équation différentielley?+a0y=bsont les fonctionsyde la forme : y(t) =λe-a0t+b a0 Remarque :Je vous invite à lire la démonstration dans le cours de mathéma- tiques au paragraphe 1.5.

3.2 Notation physique

On préfère écrire en physique l"équation de premier ordre sous laforme : y ?+1

τy=bavecτ=1a0

τcorrespond au temps caractéristique facilement évaluable graphiquement.

Les solutions sont alors :y(t) =λe-t

τ+bτ

On détermineλà l"aide d"une condition initiale souvent avecy(0).

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

3. PREMIER ORDRE

3.3 Interprétation graphique

On obtient une fonction croissante ou décroissante selon le signedeλ La solution particulière fixe le régime permanent et la solution homogène fixe le régime transitoire.

•λ<0 ety(0) =0 on a alorsy(t) =A?

1-e-tτ?

τ3τ5τA

0,63A O régime permanent régime transitoire T0

T0représente la tangente à la courbe en 0.

Elle coupe l"asymptote du régime permanent au point d"abscisseτ.

On peut retenir

τ3τ5τ

63 %95 %99 %

•λ>0 ety(0) =Aon a alorsy(t) =Ae-tτ

τ3τ5τA

0,37A

Orégime permanent

régime transitoire T0

T0représente la tangente à la courbe en 0.

Elle coupe l"asymptote du régime permanent (ici l"axe des abscisses) au point d"abscisseτ.

On peut retenir

τ3τ5τ

37 %5 %1 %

Remarque :τreprésente l"ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.

PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR

3. PREMIER ORDRE

3.4 Exemples

3.4.1 Décharge d"un condensateur

Considérons un condensateur dont les armatures initialement chargées à±q0 comme dans la figure ci-dessous.

Il n"y a aucun mouvement de charges

tant que l"interrupteur est ouvert. On ferme l"interrupteur àt=0, il y a un mouvement de charges qui crée un cou- rantidans le circuit. La somme des ten- sions aux bornes du condensateur et de la résistance étant nulle, on a : +q0 -q0 RC q

C+Ri=0?qC+Rdqdt=0?dqdt+1RCq=0 doncτ=RC

La solution générale estq(t) =λet

RCorq(0) =0 doncq(t) =q0etRC.

RC3RC5RCq

0

0,37q0

Oq(t) t

3.4.2 Chute libre

On cherche à déterminer l"expression de la vitesse d"un corps dans l"air, c"est à dire dans notre environnement habituel. Lorsqu"on lâche un corpsM de massem dans cet environnement, il est soumis à trois forces :

•son poids :m-→g,

•une force de frottement :-k-→v

qui s"oppose au mouvement et qui est proportionnelle à la vitesse kdépend de la forme du corps et de la composition de l"atmosphère.

•la poussée d"Archimède :-→Π

que l"on négligera en raison de sa faible influence.

On oriente l"axe du déplacement vers le

bas ?M m -→g-k-→v-→

Πnégligeable

axe du déplacement

PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR

3. PREMIER ORDRE

D"après le second principe de la dynamique on a : m en projetant sur l"axe du mouvement et en remarquant que l"accélération est la dérivée de la vitesse, on obtient : m dv •La solution de l"équation homogène est :λe-kmt

•Une solution particulière est :ba0=mgk.

•Lasolutiongénéraleest:v(t) =λe-kmt+mgkorv(0) =0 doncv(t) =mgk? 1-e-k mt? m k3mk5mkmg k

0,63mg

k Ov(t) t Remarque :Un corps lâché en chute libre possède une vitesse limitev∞=mgk

PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR

4. SECOND ORDRE

4 Second ordre

4.1 Résultats mathématiques

Théorème 2 :Soit l"équation différentielle homogène du second ordre : y ??+a1y?+a0y=0 On appellepolynôme caractéristiquede l"équation, le polynômePdéfini par :

P(X) =X2+a1X+a0

SoitΔle discriminant du polynômeP

Les solutions de l"équation dépend du nombre et de la nature des racines du polynômeP. •SiΔ>0,Padmet deux racines réellesX1etX2, les solutions sont : y(t) =λeX1t+μeX2t,(λ,μ)?R2 •SiΔ=0,Padmet une racine doubleX0, les solutions sont : y(t) = (λ+μt)eX0t,(λ,μ)?R2 •SiΔ<0,Padmet deux racines complexes conjuguéesX1=X0+iωet X

2=X0-iω, alors les solutions peuvent se mettre sous la forme :

y(t) =λeX0t[sin(ωt+?)],(λ,?)?R2ou y(t) =eX0t[λcos(ωt) +μsin(ωt)],(λ,μ)?R2 Remarque :a1=0 etΔ<0 donne pourPdes racines imaginaires pures X

1=iωetX2=-iω.

Les solutions de l"équation homogène sont alors : y(t) =λsin(ωt+?)ouy(t) =λcos(ωt) +μsin(ωt)

4.2 Notations physiques

On préfère écrire en physique l"équation du second ordre sous la forme : y ??+2γy?+ω20y=0

γcorrespond à l"amortissement(rd.s-1)

0correspond à lapulsation propre(rd.s-1)

Δ=4(γ2-ω20)

•Δ>0, comme les coefficientsγetω0sont positifs, les racines réellesX1et X

2sont négatives. Les solutions de l"équation homogène sont la combinaison

linéaire de deux exponentielles décroissantes : y(t) =λeX1t+μeX2t On dit que ce sont des solutions amorties ou surcritiques.

PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR

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