[PDF] Ordre. Inéquations du 1er degré. Valeur absolue





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Ordre. Inéquations du 1er degré. Valeur absolue

Résoudre une inéquation dans R c'est déterminer l'intervalle ou l'union d'intervalles des valeurs de l'inconnue qui vérifient celle-ci. 2.2 Règles de 



Équation et inéquation avec des valeurs absolues Équation et inéquation avec des valeurs absolues

On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : −3x + 4 = 0 soit x = 4. 3. −5 + x = 0 soit x = 5. On remplit un tableau de forme :.



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Partie 1 : Intervalles de ℝ

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ÉQUATIONS INÉQUATIONS ÉQUATIONS INÉQUATIONS

c) Tester l'égalité pour différentes valeurs de x dans le but de trouver le nombre de moutons que M. Bèhè possédait au printemps. Page 2. 2. Yvan Monka – 



Résolution des équations et inéquations avec valeur absolue

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Ordre. Inéquations du 1er degré. Valeur absolue

TABLE DES MATIÈRES. 1. Ordre. Inéquations du 1er degré. Valeur absolue. Paul Milan. LMA Seconde le 15 novembre 2012. Table des matières. 1 Intervalle dans R.



Équation et inéquation avec des valeurs absolues

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utilisant la définition de la valeur absolue. Cela conduit donc à résoudre l'équation ou l'inéquation sur différents intervalles (les valeurs absolues 



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Résolution d'une inéquation comportant la valeur absolue. VALEUR ABSOLUE D'UN. NOMBRE ET FONCTION. VALEUR ABSOLUE. ? Fonction valeur absolue et son graphe.



Première S Exercices valeur absolue 2010-2011 1 Exercice 1

Résoudre dans Y les inéquations suivantes : Exercices valeurs absolue ... On détermine l'ensemble I des solutions de la première inéquation et ...



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La valeur absolue d'un nombre x est la distance sur la droite réelle entre l'origine Les équations et inéquations comportants des valeurs absolues sont ...



Ordre Inéquations du 1er degré Valeur absolue

2 Inéquation du 1er degré dans R 2 1 Dé?nition Dé?nition 4 On appelle inéquation à une inconnue une inégalité qui n’est véri?ée que pour certaines valeurs de cette inconnue dont on se propose de déterminer les valeurs s Des inéquations du 1er degré : x ?3 0 Des inéquations du 2nd degré :



NOMBRE ET FONCTION VALEUR ABSOLUE - HEC Montréal

Résolution inéquation avec valeur absolue d’un nombre Exemple 3 Trouver l’ensemble des valeurs réelles vérifiant x 41 6 À mémoriser x d4 1



Équation et inéquation avec des valeurs absolues

Équation et inéquation avec des valeurs absolues 1 Équation Résoudre dans R l’équation suivante : j3x +4j+j5+ xj= 10 (E 1) 2 On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : 3x +4 = 0 soit x = 4 3 5+ x = 0 soit x = 5 2 On remplit un tableau de forme : x 1 4 3 5 +1 j3x +4j 3x +4 0 3x 4 11 3x 4 j5+ xj 5 x 11 3 5 x 0 5+ x (E



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Chapitre 4 : Intervalles - Inéquations – Valeur absolue I - Ensemble ? des réels et intervalles Définitions : L'ensemble des abscisses des point d'une droite graduée est appelé l'ensemble des nombres réels On le note ? Soient a et b sont deux réels tels que a < b

Comment résoudre une inéquation contenant une valeur absolue ?

Pour résoudre une inéquation contenant une valeur absolue, il est utile de tracer un graphique afin de déterminer l'ensemble-solution. 1. Remplacer le symbole d'inégalité par le symbole d'égalité. 2. Isoler la valeur absolue. 3. Appliquer la définition de la valeur absolue tout en indiquant les restrictions.

Comment résoudre une équation contenant une valeur absolue ?

Pour résoudre une équation contenant une valeur absolue, il faut se référer à la définition de la valeur absolue. 1. Isoler la valeur absolue d'un côté de l'égalité. 2. Appliquer la définition de la valeur absolue. 3. Résoudre les deux équations obtenues précédemment. 4. Vérifier les solutions. 5. Donner l'ensemble-solution.

Quelle est la valeur absolue de a ?

Définition : Soient a et b, deux nombres réels. 1) La distance entre 2 et 6 est égale à 4. 2) La distance entre 5 et -4 est égale à 9. Définition : Soit a un nombre réel, on appelle valeur absolue de a la distance à 0 de a.

Qu'est-ce que les inégalités de valeur absolue ?

Les inégalités de valeur absolue sont des inégalités dans lesquelles il y a un ou plusieurs valeur absolue . Rappelons qu'une inégalité est presque comme une équation, mais au lieu du signe "=", nous avons "?" ou "?". Cette différence fait que l'ensemble de solutions est généralement une région, comme pour la plupart des inégalités.

TABLE DES MATIÈRES 1

Ordre. Inéquations du 1erdegré.

Valeur absolue

Paul Milan

LMA Seconde le 15 novembre 2012

Table des matières

1 Intervalle dansR2

1.1 Section commençante et section finissante. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Section commençante : à partir de .... . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Section finissante : jusqu'à .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Encadrement dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Union d'intervalles et intervalles particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Inéquation du 1erdegré dansR6

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Règles de résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Quelques exemples de résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Inéquations particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Signe du binômeax+b10

3.1 Règle pour déterminer le signe du binômeax+b. . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 Le coefficientaest positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.2 Le coefficientaest négatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Inéquations se ramenant au 1erdegré13

4.1 Trois résolutions d'inéquations par une factorisation. . . . . . . . . . . . 13

4.1.1 Résoudre l'inéquation suivante : (5x+2)(3-2x)?0. . . . . . . 13

4.1.2 Résoudre l'inéquation suivante : (x-5)(x-2)<(x-5)(2x-3). 14

4.1.3 Résoudre (3x-2)2>(x-1)2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Deux inéquations rationnelles se ramenant au premier degré. . . . . . . 15

4.2.1 Résoudre l'inéquation8-2xx+5?0. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2.2 Résoudre l'inéquation4x+1?3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2

5 Valeurs absolues17

5.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 Égalité de deux valeurs absolues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3 Intervalles définis par une valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3.1 Intervalle centré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3.2 Union d'intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 Intervalle dansR

On peut distinguer deux sortes d'intervalles dans l'ensembleR: une section com- mençante ou finissante et un encadrement. De plus, un intervalle pose la question de la frontière : la borne est-elle incluse ou excluse?

1.1 Section commençante et section finissante

1.1.1 Section commençante : à partir de ...

Visualisons, sur la droite des réels, la proposition :x?a -∞[a+∞ Les valeurs dexqui correspondent à la propositionx?a(en rouge) sont tous les nombres réels à partir deainclus. L'ensemble des valeurs dexva donc deainclus jusqu'à+∞. On

écrit alors :

x?[a,+∞[ "xappartient à l'intervalleafermé,+∞" On dit que le crochet devantaest fermé (tourné vers l'intérieur de la zone rouge) car aest inclus dans l'intervalle. En revanche le crochet devant+∞est ouvert (tourné vers l'extérieur) car+∞est exclus de l'intervalle. En effet+∞n'est pas un nombre réel.

Visualisons maintenant la proposition :x>a

-∞]a+∞ Cette fois la valeuraest à exclure carxest strictement supérieur àa. Le crochet sera donc ouvert ena. On écrit donc :

On ne précise

jamais que+∞est ouvert car cela est toujours le casx?]a,+∞[ "xappartient à l'intervalleaouvert,+∞" Définition 1Les deux cas d'une section commençante sont : x?a qui revient à écrire x?[a,+∞[ x>a qui revient à écrire x?]a,+∞[ paul milan15 novembre 2012lma seconde

1.1 Section commen¸cante et section finissante3

La propositionx?9 :

x?9?x?[9,+∞[

La propositionx>-2 :

x>-2?x?]2,+∞[

Le symbole?

signifie "est

équilalent à

1.1.2 Section finissante : jusqu'à ...

-∞]a+∞ Les valeurs dexqui correspondent à la propositionx?a(en rouge) sont tous les nombres réels jusqu'àainclus. L'ensemble des valeurs dexva donc de-∞jusqu'àa inclus. On écrit alors : x?]- ∞;a] "xappartient à l'intervalle-∞,afermé" On dit que le crochet devant-∞est ouvert (tourné vers l'extérieur) car-∞est exclus de l'intervalle. En effet-∞n'est pas un nombre réel. On dit que le crochet devantaest fermé (tourné vers l'intérieur) car le nombreaest inclus dans l'intervalle.

Visualisons maintenant la proposition :x -∞[a+∞ Cette fois la valeuraest à exclure carxest strictement inférieur àa. Le crochet sera donc ouvert ena. On écrit donc :

On ne précise

jamais que-∞est ouvert car cela est toujours le casx?]- ∞;a[ "xappartient à l'intervalle-∞,aouvert" Définition 2Les deux cas d'une section finissante sont : x?a qui revient à écrire x?]- ∞;a] xLa propositionx?-32:

x?-3 2?x?? - ∞;-32?

La propositionx<⎷

2 : x<⎷

2?x??- ∞;⎷2?

paul milan15 novembre 2012lma seconde

1.2 Encadrement dansR4

1.2 Encadrement dansR

Il y a quatre situations dans le cas d'un encadrement suivantque l'on prenne ou non les valeurs extrêmes.

1. Visualisons la proposition :a?x?b

-∞[a]b+∞ Les valeurs de dexqui correspondent à la propositiona?x?b(en rouge) sont tous les nombres réels compris entreaetbinclus. On écrit alors : x?[a;b] "xappartient à l'intervalle ferméa,b"

2. Visulalisons la proposition :a -∞]a[b+∞ Les valeurs dexqui correspondent àa3. Visulalisons la proposition :a?x -∞[a[b+∞ Les valeurs dexqui correspondent à la propositiona?x4. Visualisons enfin le dernier cas :a -∞]a]b+∞ Les valeurs dexqui correspondent à la propositiona1.3 Union d'intervalles et intervalles particuliers5

La proposition 2?x?5 :

2?x?5?x?[2 ; 5]

La proposition-7 -7La proposition

3

4?x<103

3

4?x<103?x??34;103?

La proposition 0 3

0

3?x??0 ;⎷3?

1.3 Union d'intervalles et intervalles particuliers

Lorsqu'un ensemble de nombre est composé de plusieurs parties, il est nécessaire de relier les différents intervalles qui le composent. Nous disposons alors d'un symbole? qui signifie "union" pour écrire cet ensemble. Sa signification en français est "ou" dans un sens non exclusif.

Soit l'ensemble défini parx<2 oux?5

Il s'agit d'une section finissante et d'une section commençante.

Visualisons sur la droite des réel :

-∞+∞x?52 5[ x<2[ L'ensemble visualisé par la partie rouge s'écrit alors : ]- ∞; 2 [?[ 5 ;+∞[ Des ensembles particuliers, qui s'utilisent souvent ont des notation particulières. R ?ouR\{0}correspond à l'ensemble des réels privé du nombre 0. Il peut s'écrire : R ?=]- ∞; 0 [?] 0 ;+∞[ R +etR-correspondent respectivement aux réels positifs ou nuls etaux réels négatifs ou nuls. Ils peuvent s'écrire : R +=[ 0 ;+∞[ etR-=]- ∞; 0 ] Enfin, on peut avoirR?+ouR?-qui correspondent respectivement à : R ?+=] 0 ;+∞[ etR?-=]- ∞; 0 [ paul milan15 novembre 2012lma seconde 6

2 Inéquation du 1erdegré dansR

2.1 Définition

Définition 4On appelle inéquation à une inconnue une inégalité qui n'estvérifiée

que pour certaines valeurs de cette inconnue, dont on se propose de déterminer les valeurs.

Des inéquations du 1erdegré :

x-3<5x+1 et 5x-7?0

Des inéquations du 2

nddegré : x

2-2x?3 et (x+7)2>(x+1)(x+7)

On classe les inéquations, comme les équations suivant le degré de l'inconnue car la résolution dépend du degré de l'inconnue. Résoudre une inéquation dansR, c'est déterminer l'intervalle ou l'union d'intervalles des valeurs de l'inconnue qui vérifient celle-ci.

2.2 Règles de résolution

Comme pour l'équation du 1

erdegré, la résolution d'une équation du 1erdegré se fait en deux étapes : isoler l'inconnue puis diviser lorsque celaest possible. On a ainsi les deux règles suivantes : Règle 1On ne change pas une inéquation si l'on ajoute ou retranche unmême nombre de chaque côté de l'inégalité. D'après la règle 1, on peut isoler l'inconnue :

3x-2?x+5

3x-x?2+5

2x?7

Toujours d'après la règle 1 :

x-3<5x+1 x-5x<3+1 -4x<4 paul milan15 novembre 2012lma seconde

2.3 Quelques exemples de r´esolution7

Règle 2On ne change pas la relation d'ordre si l'on multiplie ou divise par un même nombrepositifchaque côté de l'inéquation. chaque côté de l'inéquation. Cette règle marque une petite différence avec la résolution d'une équation car, suivant que l'on divise une inéquation par un nombre positif ou négatif, on laisse ou on inverse la relation d'ordre. Cette règle d'inversion est liée à la symétrie, par rap- port à zéro, des nombres positifs et des nombres négatifs. En effet 2<5 mais-2>-5. Reprenons le 1erexemple donné avec la règle 1. 2x?7 On divise par 2 qui est positif, on laisse la relation d'ordre, on a donc : x?7 2

On conclut par l'intervalle solution :

S=?7

2;+∞?

Dans le 2ndexemple, on doit diviser par-4, on inverse alors la relation d'ordre, d'où : -4x<4 x>4 -4 x>-1

S=]-1 ;+∞[Attention

les deux erreurs classiques consistent à oublier d'inverser la relation d'ordre ou à oublier la solution sous forme d'intervalle

2.3 Quelques exemples de résolution

Voici trois exemples de résolution :

paul milan15 novembre 2012lma seconde

2.3 Quelques exemples de r´esolution8

Soit à résoudre dansRl'inéquation suivante :

2(x-1)-3(x+1)>4(3x-2)

Comme pour les équations, on enlève les parenthèses puis on isole l'inconnue, ce qui donne :

2x-2-3x-3>12x-8

2x-3x-12x>2+3-8

-13x>-3 On divise par-13, on change donc la relation d'ordre, ce qui donne : x<-3 -13 x<3 13

On conclut par l'intervalle solution

S=? - ∞;3 13?

Soit l'inéquation à résoudre dansR:

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