FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTIONS POLYNOMES DU. SECOND DEGRE. I. Définition. Une fonction polynôme de degré 2 f est
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
- h(x) = 4 ? 2x2. - k(x) = (x ? 4)(5? 2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x) = 5x ? 3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). -
SECOND DEGRE (Partie 2)
Comme A < 0 l'équation ne possède pas de solution réelle. II. Factorisation d'un trinôme. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ? par.
SECOND DEGRÉ (Partie 2)
On en déduit que ?x2 + 4 est positif pour x compris entre les abscisses de ces deux points et négatif ailleurs. 2) Cas général. Soit f une fonction polynôme du
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
Les coefficients a x1 et x2 sont des réels avec ?0. A noter : Plus généralement
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f(x) = ax2 +bx+c (ab et c réels avec a = 0). Remarque : Par abus de langage
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
Exemples de fonctions polynômes du second degré ou pas ! fonctions polynôme de degré 2 coefficients autres fonctions. P(x)=2x2 ? 5x + 3 a = 2
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
- h(x) = 4 ? 2x2. - k(x) = (x ? 4)(5? 2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x) = 5x ? 3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). -
3x +2 f (x)= 2×5x ? 3
I. Fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré. Dans ce chapitre nous allons utiliser un outil nouveau
FONCTION CARRÉ E – POLYNOMES DU SECOND DEGRÉ
(Elle est souvent notée P ). Le point O 0;0 est appelé sommet de la parabole. Fonction carrée - Polynômes du second degré - auteur : Pierre Lux - page 1/3.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 - maths et tiques
Partie 1 : Forme factorisée d’une fonction polynôme de degré 2 Exemple : La fonction " définie par "($)=2($?2)($+2) est une fonction du second degré En effet elle s’écrit aussi sous la forme $ +$!+ "($)=2($?2)($+2)=2($!?4)=2$!?8 Définition : Les fonctions définies sur ? par "($)=+($?$ ")($?$!) sont des fonctions
2ndeISIFonctions chapitre 42009-2010
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
Table des matières
I Définitions1
II Variations et représentation graphique3
IIIMéthodes pratiques pour déterminer les variations deP4I Définitions
Définition 1
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonctionPdéfinie surRde la formeP(x) =ax2+bx+c
oùa,betcsont des réels appelés coefficients aveca?= 0.Exemple 1
Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas! fonctions polynôme de degré2coefficients autres fonctionsP(x) = 2x2-5x+ 3a= 2,b=-5,c= 3P(x) =x3+ 2x2-5x+ 3
P(x) =-x2+ 3a=-1,b= 0,c= 3
P(x) =x-5
P(x) =-7x2+ 3x a=-7,b= 3,c= 0
f(x) =x2-5x+1xDéfinition 2
Une expression de la formea(x-α)2+baveca?= 0s"appelle la forme canonique d"un polynôme de degré 2. Toute fonction polynôme admet une forme canonique.Exemple 2
L"expressionP(x) = 2(x-1)2+ 3est la forme canonique du polynômeP(x) = 2x2-4x+ 5.ÔEn effet :2(x-1)2+ 3 = 2(x2-2x+ 1) + 3
= 2x2-4x+ 5 =P(x). http://mathematiques.daval.free.fr-1-2ndeISIFonctions chapitre 42009-2010
II Variations et représentation graphique
Les parties en bleu ne sont pas exigibles en seconde.Propriété 1
La fonction polynôme de degré 2 définir sur ]- ∞; +∞[ est : ©strictement décroissante puis strictement croissantesia >0, ©strictement croissante puis strictement décroissantesia <0, Tableau de variations et représentation graphique : a >0 x-∞-b2a+∞ f? ? min x=-b2a minimuma <0 x-∞-b2a+∞ Max f? ? x=-b2a ?MaximumDans un repère (O;-→i;-→j), la courbe représentative d"une fonction polynôme de degré 2 est une parabole
cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l"axe des ordonnées. http://mathematiques.daval.free.fr-2-2ndeISIFonctions chapitre 42009-2010
III Méthodes pratiques pour déterminer les variations deP •Utilisation de la forme canoniquea(x-α)2+β.Sia >0, alorsa(x-α)2≥0
donc,a(x-α)2+β≥β le minimumβest atteint lorsquea(x-α)2= 0, c"est-à-dire pourx=α.Exemple 3
SoitP(x) = 2(x-2)2-1, on obtient :
Pest décroissante sur]- ∞; 2 ],
croissante sur[ 2 +∞[.Son minimum atteint en2vaut-1.
x-∞2 +∞ f? ? -11 2 3 4-1
123456
-1 -2?Sia <0, alorsa(x-α)2≤0 donc,a(x-α)2+β≤β le Maximumβest atteint lorsquea(x-α)2= 0, c"est-à-dire pourx=α.Exemple 4
SoitP(x) =-1
2(x-2)2-1, on obtient :
Pest croissante sur]- ∞; 2 ],
décroissante sur[ 2 +∞[.Son Maximum atteint en2vaut-1.
x-∞2 +∞ -1 f? ?1 2 3 4 5-1-2-3
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7? http://mathematiques.daval.free.fr-3-2ndeISIFonctions chapitre 42009-2010
•Utilisation de la propriété de symétrie de la courbe.Puisque la courbe est symétrique, si l"on trouve deux pointsAetBde cette courbe de même ordonnée, on
en déduit que leur milieuIest situé sur l"axe de symétrie.L"abscisse deIest donc l"abscisse de l"extremum.
Exemple 5
SoitP(x) =x2-4x+ 3:
On recherche par exemple les2pointsAetBqui ont pour abscissey= 3.Pour cela, on résoutP(x) = 3:
x2-4x+ 3 = 3??x2-4x= 0
??x(x-4) = 0 ??x= 0oux= 4L"abscisse du minimum est doncx=0 + 4
2= 2.L"ordonnée vautP(2) = 22-4×2 + 3 =-1.
Pest décroissante sur]- ∞; 2 ],
croissante sur[ 2 +∞[.1 2 3 4-1
12345-1 -2????
× ×IA B
•Utilisation dex=-b2a.Exemple 6
SoitP(x) =-x2-2x+ 3.
a=-1est négatif etb=-2donc,-b2a=--22×(-1)=-1.
La fonctionPest donc croissante sur]- ∞;-1 ]et décroissante sur[-1 +∞[.Son maximum est atteint pourx-1et vautP(-1) = 4.
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