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Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 1

Daniel ALIBERT

Topologie élémentaire. Suites. Fonctions d"une variable réelle. Limites.

Objectifs :

Connaître les notions topologiques de base, et leurs propriétés élémentaires : ouvert, fermé, adhérence, point isolé. Savoir chercher si une suite réelle a une limite, et éventuellement la valeur de celle-ci, en particulier dans le cas de suites récurrentes. Pour certaines suites récurrentes, savoir expliciter l"expression du terme général en fonction de n. Prévoir certaines propriétés de la limite, comme son signe. Savoir chercher si une fonction d"une variable réelle a une limite en un point à distance finie, ou à l"infini. Utiliser les suites dans la recherche de limite pour une application. Formuler les résultats concernant les limites dans le langage topologique. Pour ces calculs de limites, savoir utiliser, et quand utiliser, les techniques suivantes : fonctions équivalentes, fonction négligeable devant une autre. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 2

Organisation, mode d"emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d"un usage pratique simple. Il s"agit d"un livre d"exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l"accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l"assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d"enseignement auprès de ces étudiants, et de l"observation des difficultés qu"ils rencontrent dans l"abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu"ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu"ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c"est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 3 L"ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.

Ce livre comporte quatre parties.

La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu"aux connaissances qu"un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l"énoncé correspondant. L"autre moitié est formée d"énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s"agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d"autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d"explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d"exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : ☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ) lorsqu"une méthode plus générale est décrite, ) renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie

3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui

souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 4 La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d"exercices comportent un grand nombre d"exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l"étudiant en mathématiques. Ce n"est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d"une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l"éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d"entre eux, à s"interroger sur ce qu"il a de général (on l"y aide par quelques commentaires). Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 5

Table des matières

1 A Savoir ..........................................................................

1-1 Topologie élémentaire de R ........................ 7

1-2 Suites de nombres réels ................................ 9

1-3 Limite d"une fonction, continuité ............... 13

1-4 Comparaison de fonctions .......................... 17

2 Pour Voir

2-1 Topologie élémentaire de R ...................... 20

2-2 Suites de nombres réels .............................. 28

2-3 Limite d"une fonction, continuité ............... 41

2-4 Comparaison de fonctions .......................... 47

3 Pour Comprendre et Utiliser ..........................................

3-1 Énoncés des exercices ................................ 52

3-2 Corrigés des exercices ................................ 68

3-3 Corrigés des questions complémentaires . 121

4 Pour Chercher .................................................................

4-1 Indications pour les exercices .................. 132

4-2 Méthodes .................................................. 138

4-3 Lexique ..................................................... 142

Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 6 Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 7

1 A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Topologie élémentaire de R

Définition

On appelle partie ouverte de R toute réunion d"intervalles ouverts de R. On dit encore qu"une telle partie est "un ouvert".

Proposition

1) L"intersection de deux parties ouvertes est une partie ouverte.

2) L"union d"un nombre quelconque de parties ouvertes est une partie

ouverte.

Définition

Soit A une partie de R. Un point a de R est dit adhérent à A si tout intervalle ouvert centré en a (c"est-à-dire de la forme ]a- h ; a + h[, h réel positif non nul) contient au moins un élément de A. L"ensemble des points adhérents à A est appelé l"adhérence de A. Tous les éléments de A sont, bien entendu, adhérents à A. Il peut y en avoir d"autres. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 8

Définition

On appelle partie fermée de R toute partie dont le complémentaire est une partie ouverte. On dit encore qu"une telle partie est "un fermé". L"ensemble vide et l"ensemble R sont des parties à la fois ouvertes et fermées. Ces deux propriétés ne sont donc pas contradictoires. Toutefois, ce sont les seules parties de R ayant cette propriété. Certaines parties ne sont ni ouvertes ni fermées.

Proposition

1) L"union de deux parties fermées est une partie fermée.

2) L"intersection d"un nombre quelconque de parties fermées est une

partie fermée.

Proposition

1) L"adhérence d"une partie de R est une partie fermée.

2) L"adhérence d"une partie fermée de R est égale à cette partie.

Définition

Soit A une partie de R. Un point a de A est dit isolé dans A si il existe un intervalle ouvert centré en a (c"est-à-dire de la forme ]a - h ; a + h[, h réel positif non nul) ne contenant qu"un élément de A, c"est-à-dire a. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 9

1-2 Suites de nombres réels

Définition

On appelle suite de nombres réels toute application du type : u : N → R. Par extension de cette notion, on appellera encore suite une application d"une section finissante [a , →[ de N dans R. On dira dans ce cas que la suite est définie pour n supérieur ou égal à a.

Pour un entier n

0 donné, u(n0), généralement noté plutôt un0, est le terme

de rang n 0. On utilise souvent la notation suivante pour désigner une suite u : (u n) nÎN, on dit que u est la suite de terme général un. L"ensemble F(N,R) des suites réelles a une structure de groupe (et même d"espace vectoriel).

De plus on pose, pour des suites u et v,

(uv)(n) = u(n)v(n). Il est immédiat de vérifier que pour ces opérations l"ensemble des suites de nombres réels est un anneau commutatif : l"élément neutre de l"addition est la suite constante de valeur 0, et celui de la multiplication est la suite constante de valeur 1.

Définition

Soit u une suite, on appelle suite extraite de u toute suite de la forme v = u o f, l"application f étant une application strictement croissante de N dans N. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 10

Définition

Soit u une suite, et b un réel. On dit que la suite u de nombres réels est convergente et a pour limite b si pour tout nombre réel e > 0 il existe un entier N tel que l"implication suivante soit vraie : si n ≥ N alors on a l"inégalité b - e < un < b + e. Si u converge et a pour limite b on dit également que u tend vers b lorsque n tend vers l"infini. De manière plus formelle, on écrira (en sous-entendant, par abus de langage, que e est réel, et N entier) : " e > 0 , $ N tel que si n ≥ N alors |un - b| < e, ou encore : " e > 0, $ N, n Î [N , + ∞[ ⇒ |un - b| < e. On constate que la limite d"une suite convergente est un point adhérent à l"ensemble des valeurs de la suite. Une suite qui ne converge pas est appelée une suite divergente. Parmi les suites divergentes, on distingue celles qui tendent vers l"infini.

On dit qu"une suite u tend vers +

∞ si la condition suivante est vérifiée : " A, $ N tel que si n Î [N , + ∞ [, alors un > A.

De même, u tend vers -

∞ si la condition suivante est vérifiée : " A, $ N tel que si n Î [N , + ∞ [, alors un < A.

Proposition

Soit u une suite convergente. Elle admet une limite unique. Cette proposition justifie la notation b = lim (u). Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 11

Proposition

Soit u une suite convergente, de limite b. Alors toute suite extraite de u est également convergente de limite b.

Proposition

Toute suite convergente est bornée.

Proposition

Soient u et v des suites convergentes, alors u + v et uv sont convergentes, et de plus : lim(u + v) = lim(u) + lim(v), lim(uv) = lim(u)lim(v). Si la limite de u n"est pas nulle, alors la suite de terme général 1 un est définie pour n assez grand, elle est convergente et sa limite est 1 lim(u).

Théorème

Soit u une suite réelle croissante.

1) Si u est majorée, elle est convergente, et sa limite est sup(un).

2) Si u n"est pas majorée, alors elle tend vers + ∞.

On a un résultat analogue pour une suite décroissante et minorée. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 12

Proposition

1) Soient u et v des suites convergentes, telles que u £ v.

Alors on a l"inégalité suivante :

lim(u) £ lim(v).

2) Soient u, v, w des suites, telles que :

v £ u £ w. Si v et w convergent et ont la même limite, alors u converge et sa limite est celle de v et w.

Définition

Soient (xn) et (yn) deux suites. On dit que ces suites sont adjacentes lorsque les conditions suivantes sont vérifiées :

2) pour tout e > 0, il existe un entier N tel que pour n ≥ N on a :

|yn - xn| < e. En particulier, x et y sont adjacentes si les hypothèses suivantes sont vérifiées : 1) (x n) est croissante et (yn) est décroissante.

2) pour tout e > 0, il existe un entier N tel que pour n

≥ N on a : |y n - xn| < e.

Théorème

Soient (xn) et (yn) deux suites adjacentes. Alors (xn) et (yn) convergent et ont la même limite.

Théorème

Soit u une suite bornée de R. Il existe une suite extraite de u qui converge. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 13

Proposition

Soit A une partie de R.

1) Si une suite (un) d"éléments de A est convergente, sa limite est un

élément de l"adhérence de A.

2) Réciproquement soit a un élément de l"adhérence de A. Il existe une

suite d"éléments de A qui converge vers a.

Corollaire

L"adhérence de Q dans R est R.

1-3 Limite d"une fonction, continuité

Définition

Soit A une partie de R et :

f : A → R une application de A dans R. Soient x0 un point de l"adhérence de A, et y0 un point de R. On dit que f(x) tend vers y0 quand x tend vers x0 dans A, si la condition suivante est vérifiée : Pour tout réel e > 0, il existe un réel a > 0 tel qu"on ait l"implication : x est un point de A et |x - x0| < a ⇒ |f(x) - y0| < e. On dit également que f(x) a pour limite y0 quand x tend vers x0 dans A, ou que f a pour limite y

0 en x0 dans A, et on écrit souvent en résumé (en

omettant A si le contexte est clair) : y0=lim x®x0(f(x)). Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 14

Proposition

1) Si x0 est un point de A et si la limite de f en x0 existe, cette limite est

f(x0). On dit que f est continue en x0.

2) La limite de f(x) quand x tend vers x0 dans A, si elle existe, est unique,

et c"est un point adhérent à f(A).

Proposition

Soient A une partie de R et f une application de A dans R. Soient x0 un élément adhérent à A, (un) une suite de A de limite x0. Si f(x) tend vers y0 quand x tend vers x0 dans A, alors f(un) tend vers y0.

Définition

Soit f : A →. R comme ci-dessus. On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A.

Proposition

Soit A une partie de R, et f : A → A une application. On définit une suite, par récurrence, à partir de u0, par la relation : un+1 = f(un). Si la suite (un) est convergente, de limite LÎA, et si f est continue en L, alors L vérifie l"équation : f(L) = L. Cette propriété très importante est souvent utilisée pour calculer des valeurs approchées des solutions de l"équation f(x) = x. On reviendra sur ces équations, et la question, fondamentale dans la pratique, de la rapidité de convergence de la suite, après avoir vu la notion de dérivée et le théorème des accroissements finis. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 15

Proposition

Soient A et B des parties de R :

f : A → R, et g : B → R des applications telles que f(A) Ì B. Soient x0 un élément adhérent à A, y0 et z0 des éléments de R. Si f(x) tend vers y0 quand x tend vers x0 dans A, et g(y) tend vers z0 quand y tend vers y0 dans B, alors (g o f)(x) tend vers z0 quand x tend vers x0 dans A.

Proposition

Soit ]a , b[ un intervalle de R et f : ]a , b[ → R une application monotone bornée.

Alors f admet une limite en a et en b :

Si f est croissante, la limite en a est inf({f(x) | x Î ]a , b[}) et la limite en b est sup({f(x) | x Î ]a , b[}) (énoncé analogue si f décroissante).

Proposition

Soit A une partie de R et f, g des applications définies sur A, à valeurs dans R. Soit x0 un élément de R. Si f et g ont une limite en x0 alors f + g et fg aussi, et : lim(f + g) = lim(f) + lim(g) ; lim(fg) = lim(f) lim(g). Si, de plus, la limite de f en x0 n"est pas nulle, alors le quotient 1 f(x) est défini pour |x - x0| assez petit, et admet pour limite en x0 le quotient 1 limx®x0f(x). Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 16 Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 17

1-4 Comparaison de fonctions

On cherche des modes de comparaison du comportement de fonctions en un point.

Soit x

0 un réel. On dit qu"une propriété est vérifiée sur un voisinage

épointé de x

0, s"il existe un intervalle ouvert centré en x0 :

]x

0 - h , x0 + h[,

tel que la propriété soit vérifiée sur ]x

0 - h , x0[ et sur ]x0 , x0 + h[ (mais

pas nécessairement en x 0).

Dans la suite, on suppose fixé le réel x

0, (ou +∞, ou -∞), et on définit des

relations permettant de comparer certaines fonctions définies sur un voisinage épointé de x

0 : équivalence de fonctions, fonction négligeable

devant une autre.

1-4-1 Fonctions équivalentes

Définition

Soient f et g deux applications définies sur un voisinage épointé de x0. On dit que f est équivalente à g en x0, s"il existe une fonction e, définie sur un voisinage épointé de x0, de limite 0 en x0, telle que, sur un voisinage épointé de x0 : f(x) = g(x) (1 + e(x)). Si f et g ne s"annulent pas sur un voisinage épointé de x0, il est équivalent de dire qu"elles sont équivalentes si le quotient f(x) g(x) tend vers 1 lorsque x tend vers x

0 en dehors de x0.

Cette relation est une relation d"équivalence. On la note souvent f~ x0g. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 18 On utilise les fonctions équivalentes dans l"étude des limites à l"aide de l"énoncé suivant.

Proposition

1) Si a est un réel non nul, et a désigne encore la fonction constante de

valeur a, et si f~ x0a, alors f admet une limite en x0, égale à a.

2) Si f~

x0g et si g a une limite, finie ou infinie, en x0, alors f a la même limite.

3) Si f~

x0g, et h est définie sur un voisinage épointé de x0, alors : f.h~ x0g.h.

4) Si f~

x0g, et h est définie sur un voisinage épointé de x0, alors : f h g h Bien noter qu"on n"affirme rien en ce qui concerne la somme ou la différence de fonctions.

1-4-2 Fonction négligeable devant une autre

Définition

Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage épointé de x0. On dit que f est négligeable devant g en x0 s"il existe une fonction e, définie sur un voisinage épointé de x0, de limite 0 en x0, telle que, sur un voisinage épointé de x0 : f(x) = g(x) e(x). Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 19 Si g ne s"annule pas sur un voisinage épointé de x0, il revient au même de dire que le quotient f(x)/g(x) tend vers 0 en x 0. Cette notion permet d"étudier des limites de fonctions, à partir de l"énoncé suivant.

Proposition

Soient f, g, h des fonctions définies sur un voisinage épointé d"un réel x0.

1) Si f est négligeable devant g, alors f + g est équivalent à g.

2) Si f est négligeable devant g et g négligeable devant h, alors f est

négligeable devant h.

3) Si f est négligeable devant g et g équivalente à h, alors f est

négligeable devant h.

4) Si f est équivalente à g et g négligeable devant h, alors f est

négligeable devant h.

5) Si f est bornée, et g tend vers l"infini en x0, alors f est négligeable

devant g. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 20 2

Pour Voir

Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires pour vérifier votre compréhension.

1-1 Topologie élémentaire de R

"On appelle partie ouverte de R toute réunion d"intervalles ouverts de R." exemple 1 Le segment [0 , 1] n"est pas une partie ouverte de R. Supposons le contraire : il existerait des intervalles ouverts : ]a i - hi , ai + hi[, dont la réunion serait [0 , 1]. En particulier, l"un d"entre eux au moins contiendrait 0 : Ce segment contiendrait donc des éléments négatifs, ce qui est contraire à l"hypothèse. exemple 2 (à traiter) Examiner de même si les ensembles suivant sont des parties ouvertes :

R, ]0 , +

∞[, {x Î Q | x2 < 1}. # réponse

Pour R, c"est vrai, par exemple :

R = ]n ,n+2[ nÎZU. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - volume 3 21

Pour ]0 , +∞[, on procède de même :

]0 , + ]n ,n+2[ nÎNU.

Pour {x Î Q | x

2 < 1} par contre ce n"est pas vrai. En effet, tout segment

ouvert de R contient des rationnels et des irrationnels. "1) L"intersection de deux parties ouvertes est une partie ouverte.

2) L"union d"un nombre quelconque de parties ouvertes est une partie ouverte."

exemple 3 Soit U = ]- 1 , 1[È]2 , 4[, et V = ]- 2 , 0 [ È ]3 , 5[.

Ce sont des ouverts.

L"intersection est ]- 1 , 0[ È ]3 , 4[. C"est bien un ouvert. exemple 4 (à traiter) L"intersection d"une famille quelconque d"ouverts est-elle un ouvert ? Déterminer l"intersection de tous les segments ouverts : -1 n , 1+1 n[. # réponse Il est clair que [0 , 1] est contenu dans chacun des segments ouverts, donc dans l"intersection. Soit t < 0. Il existe n tel que t < -1 n, donc t n"est pas dans le segment ] -1 n , 1+1 n[, donc pas dans l"intersection.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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