[PDF] PHY432 Amphi 1 invariant sous l'action de

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7.4 & 15.5

Symétries et physique quantique

Quiz de bienvenue

Soit une rotation, représentée par dans de Hilbert, ce qui signifie fonction tournée sous de cette rotation . On considère un système décrit par hamiltonien supposé invariant sous de cette rotation. Quelle est la relation ci-dessous la plus générale qui soit toujours vérifiée ? 1. 2. 3. 4. 1.

Evolution temporelle

Equation différentielle linéaire du 1er ordre.

Hamiltonien est indépendant du temps:

On montre que est unitaire (exercice) :

Dans ce cas, on montre :

Démonstration 1 (utilisation de la base propre) Démonstration 2 (développement en série entière) 2.

Invariance et commutation

Notion de groupe de symétrie

groupe de symétrie. Théorème de Noether : à toute invariance du système est associée une grandeur physique conservée (1918).

Transformation Grandeur conservée

Translation dans le temps Energie

Impulsion

Moment cinétique

groupe de Lie ¾Groupe des translations (pour un système homogène) ¾Groupe des rotations (pour un système invariant par rotation comme un atome).

Invariance et commutation

Mais

Conséquences de la relation

La grandeur se conserve

et peuvent être diagonalisés dans une même base, ce qui simplifiera souvent hamiltonien.

Exemple : benzène

PHY311 PC9

¾Ehrenfest

¾Ou calcul direct de la valeur moyenne

3.

Parité

Opérateur parité

On considère un système invariant par parité

¾Cas 1D ¾Cas 3D

symétrie par rapport à un point

A. (observable)

B. (opérateur unitaire)

C. (opérateur idempotent)

D. (involution)

Indiquer la ou les propriété(s) vérifiée(s) par parité Plusieurs réponses possibles. Appuyez sur 0 pour annuler vos réponses et recommencer.

Système invariant par parité

Les valeurs propres de sont +1 et -1.

Etats symétriques (ou pairs)

Etats anti-symétriques (ou impairs)

symétriques ou anti-symétriques.

Exemple: dans

On considère une particule dans une boîte à 2D parfaitement carrée. Indiquez les fonctions qui semblent être des états propres plausibles de

A B C D E

Plusieurs réponses possibles. Appuyez sur 0 pour annuler vos réponses et recommencer. 4.

Translations

Indiquer la ou les propriété(s) vérifiée(s) par translation

A. (observable)

B. (opérateur unitaire)

C. (opérateur idempotent)

D. (involution)

Translation infinitésimale

Opérateur translation

sont les générateurs infinitésimaux du groupe des translations.

Système invariant par translation

Ehrenfest)

De manière générale, les générateurs infinitésimaux du groupe hamiltonien peuvent être diagonalisés dans une base propre commune.

Ondes planes

peuvent être diagonalisés dans une même base.

Impulsion et quantité de mouvement

Par définition,

hamiltonien Ehrenfest nous Dans ce cas, impulsion = quantité de mouvement

Est-ce toujours vérifié ?

PHY311 PC6

Hamiltonien

On vérifie

Pour une particule sans spin, on a alors (cf chapitre 15 ou PHY431) PC2 (cas où est uniforme)

Invariance de jauge

Transformation de jauge

nouveaux potentiels à condition une transformation unitaire sur la fonction du système sous transformation de jauge est appelée invariance de jauge. un exemple sous transformation non géométrique. 5.

Théorème de Bloch

Théorème de Bloch

et peuvent être diagonalisés dans une même base.

On pose avec

hamiltonien système invariant par une translation de pas sous la forme où et est une fonction périodique de période Etats propres pour un système périodique à 1D

Energies quantifiées

Illustration numérique du théorème de Bloch

Masse effective meff

Bandes interdites (gaps)

Energie

Chelikowsky & Cohen, electronic structure of silicon, Phys. Rev. B 10, 5095 (1974)

Structure de bande

Bande interdite (gap)

Silicium

Matériau Gap (eV) meff/m0

Si 1.1 0.26

GaAs 1.4 0.07

GaP 2.2 0.09

GaN 3.2 0.13

Cristaux photoniques

Yablonovitch, Inhibited spontaneous emission , Phys. Rev. Lett. 58, 2059 (1987) P. Russel, Photonic crystal fibers, Science 299, 358 (2006)

La théorie des bandes

Exemple : fibres optiques à cristal photonique

Modulation périodique des propriétés optiques AE Cristal photonique.

¾Bandes interdites photoniques

¾Contrôle de la dispersion de la lumière (k)

Cf PHY432

0.5 µm

Cristaux photoniques naturels

Jian Zi et al., Coloration strategies in peacock feathers, PNAS 100, 12576 (2003)

En résumé

Transformation Opérateur unitaire Générateur infinitésimal

Translation dans le temps

Hamiltonien

Impulsion

Rotation Moment cinétique (amphi 3)

Groupes continus

Groupes discrets

¾Parité

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