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Juillet 2013

Concours externe du Capes et Cafep-Capes

Section Mathématiques

Exemples de sujets (Épreuves d"admissibilité et d"admission)

À compter de la session 2014, les épreuves du concours sont modifiées. L"arrêté du 19 avril 2013, publié au journal officiel du 27 avril 2013, fixe les modalités d"organisation du concours et décrit le nouveau schéma des épreuves.

CAPES externe de Mathématiques

Sujets " zéro »

Épreuves définies par l"arrêté du 19 avril 2013, fixant les modalités d"organisation des concours du certificat d"aptitude au

professorat du second degré - NOR : MENH1310120A

Épreuves écrites d"admissibilité

Le programme de ces épreuves est constitué des programmes de mathématiques du collège, du lycée et

des classes préparatoires aux grandes écoles (MPSI, MP, ECS 1re et 2e années).

Première épreuve d"admissibilité.

L"épreuve, qui consiste en la résolution d"un ou plusieurs problèmes, permet d"apprécier la maîtrise

des notions mathématiques. Des exemples de problèmes sont proposés en page 3.

Deuxième épreuve d"admissibilité.

L"épreuve, qui consiste en la résolution de plusieurs problèmes, permet d"apprécier, outre la maîtrise

scientifique du candidat, son aptitude à se placer dans une optique professionnelle. Certaines questions peuvent conduire à mettre en perspective des notions au programme de l"enseignement secondaire.

Plusieurs problèmes posés lors des dernières sessions, complétés par des questions à visée

pédagogique, s"inscrivent dans l"esprit de cette épreuve.

Des exemples sont proposés en page 7.

Épreuves d"admission

Le programme de ces épreuves est constitué des programmes de mathématiques du collège, du lycée et

des sections de technicien supérieur.

Pendant la préparation et lors de l"interrogation, le candidat bénéficie du matériel informatique mis à

sa disposition. Il a également accès aux ouvrages de la bibliothèque du concours et peut, dans les

conditions définies par le jury, utiliser des ouvrages personnels.

Les épreuves visent à évaluer les capacités scientifiques et les aptitudes professionnelles des candidats.

À travers l"élaboration d"un plan, la mise au point d"un développement, l"analyse de productions

d"élèves ou l"étude de documents ressources, le candidat se trouve dans une situation voisine de celle

de l"enseignant en train de préparer un cours.

Épreuve de mise en situation professionnelle

Le candidat choisit un sujet parmi deux qu"il tire au sort.

Pendant vingt minutes, le candidat expose un plan d"étude détaillée du sujet qu"il a choisi. Cet exposé

est suivi du développement par le candidat d"une partie du plan choisie par le jury, visant à attester de

la maîtrise du sujet traité et de la bonne compréhension des éléments exposés dans le plan, à travers la

démonstration d"un théorème, la résolution d"un exercice, la mise en oeuvre d"un logiciel, etc.

L"entretien portant sur ce développement ou sur tout autre aspect en lien avec le sujet choisi, est un

moment interactif, qui permet au candidat de valoriser ses connaissances en prenant du recul par rapport au thème abordé.

Un plan de qualité se caractérise par sa cohérence d"ensemble, la richesse des contenus (notamment la

présence d"exemples ou contre-exemples et d"applications) ainsi qu"une bonne articulation entre eux.

Un effort de synthèse est indispensable, plus particulièrement pour les nombreux sujets de nature

transversale, pouvant couvrir plusieurs domaines des programmes ou plusieurs niveaux de classe.

L"aisance dans la communication est un élément primordial pour l"ensemble des épreuves orales.

En premier lieu, la capacité à écouter et à comprendre les questions posées par le jury est essentielle.

De plus, il convient d"utiliser clairement le tableau, de s"exprimer avec conviction et de manière

intelligible dans une langue correcte, en adoptant une posture ouverte laissant présager de relations

constructives avec une classe. La liste des sujets qui pourraient être proposés en 2014 est disponible en page 11.

Épreuve sur dossier.

L"épreuve prend appui sur un dossier fourni par le jury, portant sur un thème des programmes du

collège, du lycée ou des sections de techniciens supérieurs. Ce thème est illustré par un exercice qui

peut être complété par des productions d"élèves, des extraits des programmes officiels, des documents

ressources ou des manuels.

Pendant trente minutes, le candidat expose ses réponses aux questions posées dans le dossier, qui

visent à apprécier ses qualités pédagogiques et sa réflexion didactique. Elles concernent l"énoncé de

l"exercice, les compétences que celui-ci mobilise, les démarches possibles, les méthodes de résolution

ou les éléments d"évaluation. Le candidat doit également proposer des exercices s"inscrivant dans le

thème du dossier et visant les objectifs précisés par le jury.

L"entretien prend appui sur la présentation faite par le candidat, en particulier sur les exercices qu"il a

proposés, aussi bien en ce qui concerne leur résolution que leur intégration dans une séquence

pédagogique.

L"analyse de productions d"élèves, d"extraits des programmes officiels ou des compétences visées par

un énoncé, amène à porter un regard pédagogique conforme aux exigences du métier d"enseignant. En

particulier, les candidats doivent détecter les aspects positifs des démarches et raisonnements d"élèves.

Un professeur doit en effet savoir repérer et corriger les erreurs, mais aussi valoriser les connaissances

et compétences mises en oeuvre.

La capacité à corriger un exercice comme on le ferait en situation d"enseignement oblige à anticiper

sur certaines difficultés prévisibles.

Le choix d"exercices sur un thème donné impose de s"interroger sur les critères retenus en fonction

d"objectifs donnés. Il s"agit de les présenter de façon vivante, de motiver des choix pédagogiques en

explicitant les compétences que l"on souhaite développer et de prévoir d"éventuels aménagements de

leur contenu.

Comme pour l"ensemble des épreuves, il est attendu un effort, particulier de clarté et d"explication, tel

que devraient en bénéficier des élèves. Plusieurs exemples de dossiers sont présentés à partir de la page 14.

Anneau(Z=nZ;+;)

Notations:

Onaalors:0 seulementsia^n=1. ordres.Cegroupe(I;)est-ilcyclique? ordres.Cegroupe(I;)est-ilcyclique? a2Netb2N. -etlaconstruction. n>1affichant"1"sik2Iet"0"sinon. cardinaldeI.

6.Soitn2Ntelquen>1etnnesoitpasprimaire.

etn1^n2=1.

6.2.Montreralorsque(n1+n2)^n=1.

7.Onconsidèrepunnombrepremieret2N.

Soitk2Z.Prouverque:k2Np()pjk.

8.Soitn2Ntelquen>1.

Rappelsetnotations

OnidentifieraparlasuiteMp;1(C)etCp.

66
lasuite(ai;j(n))nNconvergedansC.

Enposantlimn+(ai;j(n))=li;jetL=(lij)66

66
,onditalorsquelamatriceLestlalimitedela suite(An)nNetonnote:limn+An=L. matriceA.

PartieA:étuded'unexemple

x02R;y02Ret8n2N; 8>< xn+1=4 5xn+2 5yn yn+1=1 5xn+3 5yn

Danscettepartie,onposeA=1

5 42
13

1.Pourn2N;exprimer

xn yn enfonctiondeAnetde x0 y0

A=PDP1

oùPdésignelamatrice 21
11 enfonctiondex0ety0.

PartieB:résultatspréliminaires

Soientpetqdeuxentiersnaturelsnonnuls.

versLetM.

1.1.Montrerquelimn!+1(An+Bn)=L+M.

1.2.SoitC.Montrerquelimn!+1(An)=L.

Montrerquelimn!+1nB=B.

XCp;limn!+1AnX=0

Montrerquelimn!+1An=0.

PartieC:conditionnécessaire

basecanonique.

1.Soitunevaleurpropredeu(C).

1.1.Montrerque1:

1.2.Onsupposeque=1.

2.MontrerqueKer(uId)Im(uId)=0.

PartieD:conditionsusante

lamatriceconsidérée. p i=1(iX),aveciCpourtout entieriJ1;pK. T=

1:::::::::

2::::::

0p

4.1.Montrerquelimn!+1un(e1)=0.

stablesparu. deu1estunevaleurpropredeu,distinctede1.

8i2J1;mK;jij<1

ou

1=1;Ker(uId)\Im(uId)=f0get8i2J2;mK;jij<1

2.1.A=

0;20;1

0;20;3

2.2.A=

0 B@ 11i 0i 21
001 1 CA

2.3.A=

0 BBB@ 100
06+i 29
046+i
2 1 CCCA

Constructiondetriangles

partenantpasàladroite(BC). cationsetjusticationsutiles.

1.3.Mestl"orthocentredutriangleABC.

Quelquesnombresirrationnels

1.Soitnunentiernaturel.Démontrerquesi

q nn"estpasentier,alorsilestirrationnel. q pestirrationnel.

3.Démontrerquelenombreln2

ln3estirrationnel.

5.Onrappellequee=

+1X k=0 1 e=p q.

Pourtoutentiernaturelnnonnul,onpose:

un= nX k=0 1 k!etvn=un+1 nn! uqPartieB:unepreuvedel"irrationalitéde b.

Pn(x)=xn(abx)n

n!etP0(x)=1

Étantdonnéunentiernatureln,onpose:

In= Z 0

Pn(x)sinxdx

1.

1.2.Calculersup

x2[0,]

Pn(x)enfonctiondea,betn.

1.3.Démontrerque:

8n2N8x2RPn

bx =Pn(x)

1.4.Démontrerque:

8n2NIn>0

n! a2 4b "n tendvers0,démontrerla n.Pardénition,P(0) n=Pn. n(0)etP(k) n b sontdesentiersrelatifs:

2.3.k¾2n+1

n(0)etlecoefcientdexkdansPn(x). 3. intégrationsparpartiessuccessives.

3.2.Conclurequantàl"hypothèse=a

b.

Statistiquesetprobabilités

PartieA:deuxindicateursdedispersion

deminimiserlescarrésdesécarts.

OndénitsurRlesdeuxfonctionsGetLpar:

G(x)= nX i=1 xxi 2 L(x)= nX i=1 xxi

1.MinimisationdeG

2.MinimisationdeL

leur(s)dexilestatteint.

Ondistingueralescasnpairetnimpair.

réelle. veaulycée. enthéorieducodage. ,A,P). H(A)= nX k=1 pklnpk

1.Deuxexemples

l"entropiedusystème.

1.1.p1=p2=p3=p4

1.2.p1=1

8,p2=1

8,p3=1

4,p4=1

2 aéquiprobabilité.

2.Casn=2

Onposep1=petp2=1p.

bables.

3.Casgénéral

surIsi: +,avec nX k=1 k=1

Démontrerque:

f nX k=1 kxk nX k=1 kf(xk) nX k=1 kxk=nxn+(1n) n1X k=1 k 1nxk

3.2.Onadmetlethéorèmesuivant:

I.

3.Variablesaléatoiresdiscrètes.

4.Loibinomiale.

5.LoidePoisson,loinormale.

7.Loisuniformes,loisexponentielles.

8.Loisnormales.

9.Marchesaléatoires.

10.Sériesstatistiquesàunevariable.

12.Intervallesdeuctuation.

13.Estimation.

15.PGCD,égalitédeBézout.

17.CongruencesdansZ.

19.Moduleetargumentd"unnombrecomplexe.

21.Calculvectoriel.

22.Exemplesd"utilisationd"unrepère.

24.Proportionnalitéetlinéarité.

25.Pourcentages.

27.Droitesduplan.

28.Droitesetplansdel"espace.

29.Droitesremarquablesdutriangle.

30.Lecercle.

31.Solidesdel"espace.

32.Produitscalaire.

33.ThéorèmedeThalès.

34.Trigonométrie.

38.Orthogonalité.

39.Suitesmonotones.

40.Limitesdesuitesréelles.

47.Dérivation.

49.Fonctionsexponentielles.

50.Fonctionslogarithmes.

53.Intégrales,primitives.

54.Techniquesdecalculd"intégrales.

55.Équationsdifférentielles.

58.Développementslimités.

59.Sériesnumériques.

60.SériesdeFourier.

61.TransformationdeLaplace.

62.CourbesdeBézier.

63.Exemplesd"étudesdecourbes.

64.Aires.

65.Exemplesd"algorithmes.

66.Exemplesd"utilisationd"untableur.

Thème:probabilités

L"exercice

d'obtenir9que10?

Élève1

Élève2

Laprobabilitéde6est3

11.

Laprobabilitéde7est3

11.

Élève3

Pour7ilfaut1et6;2et5;3et4.

Letravailàexposerdevantlejury

erreurs. simulation.

Thème:optimisation

L"exercice

f(x)=x 40+1
20 px28x+25

L"exercicedumanuel

44AB
40
20HA B

Letravailàexposerdevantlejury

élèves.

Thème:problèmesdeconstruction

L"exercice

hollandaisSamuelMarolois(1572-1627).

Élève1

BF2=AB2+AF2=49+4

DoncBF2=53,BF=53=7;28.

Élève2

JevaisdémontrerqueGE2=14;84cm2.

Letravailàexposerdevantlejury

acquises. géométriedynamique.

L"exercice

sesformespourlesrendrecapablesde: problème; communiqueràl'écritetàl'oral. couranteouàd'autresdisciplines.

Letravailàexposerdevantlejury

uneclassedeseconde. résolutionpermettentdedévelopper.

Thème:algorithmique

L"exercice

Ons"intéresseàl"algorithmesuivant.

Entrerunentiernaturelnonnuln

Tantquen6=20faire

Sin<20alorsfairen 2n

sinonfairen n4 FinSi

FinTantque

Affichern

1)Testerl"algorithmesurplusieursentiers.

Elève1

Elève2

enfaitunthéorème.

Elève3

3)J"airajoutéaprèsle"finsi"l"instructionk k+1,etj"aidemandél"affichagedekaprèscelui

Letravailàexposerdevantlejury

logiqueetdel"algorithmique.

Thème:géométrieplane

L"exercice

Recommenceravecd"autrespointsducercle.

QuefaitM0quandMparcourtlecercle?

Letravailàexposerdevantlejury

prenantappuisurl"exercice. d"unedémarched"investigation.

L"exercice

carréABCDetd"unrectangleDEFG.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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