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CAPES

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2

LES DOSSIERS DUCAPESDE

MATHÉMATIQUES

Recueil compilé par ClémentBOULONNESession 2013-2017 Ce document est sous licence Creative Commons 3.0 France: p aternité p asd "utilisationcommer ciale p artagedes c onditionsi nitialesà l "identique 4

TABLE DES MATIÈRES

1 Algorithmique et informatique7

2 Arithmétique15

3 Autres disciplines21

4 Équations & inéquations25

5 Équations différentielles31

6 Fonctions, dérivation, intégration33

7 Géométrie43

8 Grandeurs et mesures65

9 Matrices77

10 Modélisation81

11 Optimisation83

12 Prise d"initiatives103

13 Probabilités115

14 Raisonnements et démonstrations129

15 Statistiques139

16 Suites145

6TABLE DES MATIÈRES

THÈME N° 1

ALGORITHMIQUE ET INFORMATIQUE

4.3 Énoncés de l'épreuve sur dossier

4.3.1 Exercice

30
CAPES 2013CAPES externe de mathématiques : exercice

Thème : intégration d"un outil logiciel

L"exercice

On se propose de démontrer de deux façons différentes que pour tous réelsx,yetz: x+y+z= 1?x2+y2+z2?13 1.

Soien ta,b,c,x,yetzdes réels.

a)

Un logiciel de calcul formel fournit les ré sultatssuiv ants: b)En déduire que p ourtous réel sa,b,c,x,yetz, on a :

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)?(ax+by+cz)2 c)

Conclure.

2. Soit un rep èreorthonor mal(O;-!i ,-!j ,-!k).Ple plan d"équationx+y+z= 1. a)

Calculer la dist ancedu p ointOau planP.

b)SoitR(x,y,z)un point de l"espace. Retrouver géométriquement la propriété démontrée à la

question 1.c). 3. La propriété ainsi démon tréeest-el leune équiv alence? Un extrait des programmes de terminale scientifique

L"utilisation de logiciels, d"outils de visualisation et de simulation, de calcul (formel ou scientique)

et de programmation change profondément la nature de l"enseignement en favorisant une démarche

d"investigation. En particulier, lors de la résolution de problèmes, l"utilisation de logiciels de calcul

formel limite le temps consacré à des calculs très techniques an de se concentrer sur la mise en

place de raisonnements. L"utilisation de ces outils intervient selon trois modalités : p arle pr ofesseur,en classe, ave cun disp ositifde visualisation c ollective; p arles élèves, sous forme de tr avauxpr atiquesde mathématiques ;

dans le c adredu tr availp ersonneldes élèves hors de la classe. Le travail à exposer devant le jury

1- Comparez les comp étencesmobilisées par c hacunedes deux métho des. 2- Exposez une correction des questions 2 et 3 comme vous le feriez avec une classe de terminale scientifique. 3-

Proposez deux ou trois exercices de niveau collège ou lycée, justifiant le recours à des logiciels

différents. CAPES 2?13CAPES externe de mathématiques : exercice

Thème : algorithmique

L"exercice

1. Déterminer la mesure principale des angle sdon tune mesure en radian est : a) 94
b) 343

2.Proposer un algorithme en langage naturel permettant de déterminer la mesure principale d"un

angle orienté dont une mesure en radian estab oùaetbsont des entiers strictement positifs. 3. T estercet algorithme a vecles v aleursde la question 1. La réponse proposée par un élève de première S à la question 2 débutentrées:aetb variables:r tant quer > bfairer-2b!r; fin sorties:retbfin

La mesure principale est

rb .Le travail à exposer devant le jury 1-

De quels acquis témoigne la production de l"élève dans le domaine de l"algorithmique? dans le

domaine de la trigonométrie? 2- Exposez une correction des questions 1 et 2 de l"exercice telle que vous la présenteriez devant une classe de première scientifique. 3- Prop osezdeux ou trois exercices faisan tapp elà de salgorithmes. CAPES 2?13CAPES externe de mathématiques : exercice

Thème : algorithmique

L"exerciceOn considère une suite arithmétique(un)de premier terme0et de raison2, et une suite géométrique

(vn), de premier terme1et de raison32 1.

On s"in téresseà l" algorithmeci-c ontre.

a)

Appliquer l"algorithme en indiquant clai-

rement les valeurs successives des va- riables. b)

Que représente la valeur denaffichée en

sortie de l"algorithme ? c)

Modifier l"algorithme pour que les rai-

sons des deux suites soient saisies par l"utilisateur. d)

Expliquer pourquoi la modification précé-

dente engendre le risque que l"algorithme ne se termine jamais. 2.

Soitn0le plus petit entier non nul tel que

vn> un. On suppose quen02. Démontrer par récurrence que pour tout entiernsupérieur ou égal àn0,vn> un.début0!n; 0!u; 1!v; tant quen= 0ouu?v fairen+ 1!n; u+ 2!u; v1,5!v; fin Sorties:Affi chern.finLa réponse proposée par un élève. 1. a) n01234567 u02468101214 v11,52,253,3755,0637,59311,39117,086 b)n représente le nombre de fois où il a fallu refaire la boucle " Tant que »;nest un compteur. c) Pour que l"utilisateur puisse saisir les raisons, on crée deux nouvelles variableswetxqui seront saisies par l"utilisateur (saisir valeurw) puis dans la boucle TANT QUE on met u+w-!uetvx-!v. d) Si l"utilisateur entre une valeur inférieure à 1 pourx(raison dev), alorsu > vet cela de manière permanente.Le travail à exposer devant le jury 1-

Analysez la production de l"élève en mettant en évidence ses compétences dans le domaine de

l"algorithmique et la pertinence de ses réponses. 2- Présentez une correction de la question2de l"exercice tel que vous l"exposeriez devant une classe de terminale scientifique. 3- Prop osezdeux ou trois exercices faisan tapp elà de salgorithmes. CAPES 2014CAPES externe de mathématiques : épreuve sur dossier Thème : mise en oeuvre d"algorithmes en analyse

L"exercice

Soit la fonctionfdéfinie sur[0;¯1[parf(x)4x¡1x¯2,5. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

Partie A.

1. D étermineralgébr iquementl eplus pet itrée lAtel que six°Aalors 4¡f(x)É0,01. 2.

I nterprétergr aphiquementl erésu ltat.

Partie B.

1.

E xpliquerl erôle d el "algorithmeci- contre.

2.Pourquoi peut-on affirmer que cet algorithme,

quelle que soit la valeur deastrictement positive introduite, s"arrOEtera et affichera une valeur dex? 3. Siaprend la valeur 0,01, l"algorithme retourne-t-il la valeur trouvée à la question A.1. ?Entrées et initialisation

Saisira(nombre positif "proche de 0")

xprend la valeur 1

Traitement

Tant que

11x¯2,5¨a

xprend la valeurx¯1

Fin du tant que

Sorties

AfficherxExtraits des programmes

Terminale STI2DContenusCa?acités attenduesCommentaires

Limite de fonctions

Asymptotes parallèles aux•Interpréter une représentationCes notions sont introduites par une approche

axes :graphique en termes de limitenumérique et graphique à l"aide d"un logiciel - limite finie d"une fonctionou d"une calculatrice à l"infini•Interpréter graphiquement une - limite infinie d"une fonctionlimite en termes d"asymptote en un point

Terminale S

Dans le cas d"une limite infinie, étant donnés une suite croissante(un)et un nombre réelA, déterminer à

l"aide d"un algorithme un rang n à partir duquel unest supérieur à A.Le travail à exposer devant le jury

1- Ana lysezdan sq uellemesur ecet e xercicec orrespondau xa ttentesdes pr ogrammesdu l ycée. 2- E xposezu necorr ectionde la pa rtieB c ommev ousle fer iezdev antune c lassede ter minale. 3-

Proposez deux ou trois exercices sur le thèmemise en oeuvre d"algorithmes en analyse. Vous mettrez

en évidence les objectifs de formation visés par chacun d"eux.

CAPES 2017

CAPES externe de mathématiques : épreuve sur dossier

Thème : algorithmique et programmation

L"exercice

1 - Pour réaliser la figure ci-dessus,

on a défini un motif en forme de losange et on a utilisé l"un des deux programmes A et B ci- contre.

Déterminer lequel et indiquer

par une figure à main levée le résultat que l"on obtiendrait avec l"autre programme. définirMotif stylo en position d"écriture avancer de40 tournerde45degrés avancer de40 tournerde135degrés avancer de40 tournerde45degrés avancer de40 tournerde135degrés relever le stylo

Programme A

quandest cliqué cacher effacer tout mettre la taille du stylo1 aller à x:-230y:0 s"orienter à90degrés Motif avancer de55 répéter8fois

Programme B

quandespaceest pressé cacher effacer tout mettre la taille du stylo1 aller à x:0y:0 s"orienter à90degrés Motif tournerde45degrés répéter8fois

2 - Combien mesure l"espace entre deux motifs successifs?

3 - On souhaite réaliser la figure ci-dessous :

Pour ce faire, on envisage d"insérer l"instruction ajouter1à la taille du stylodans le programme utilisé à la question 1. Où faut-il insérer cette instruction? éduscol - sujets zéro DNB à compter de la session 2017 Extrait du document ressource algorithmique et programmation, cycle 4

Compétences développées

Cet enseignement a pour objectif de développer chez les élèves les compétences suivantes :

•décomposition: analyser un problème compliqué, le découper en sous-problèmes, en sous-

tâches;

•reconnaissance de schémas: reconnaître des schémas, des configurations, des invariants, des

répétitions, mettre en évidence des interactions;

•généralisation et abstraction: repérer les enchaînements logiques et les traduire en instructions

conditionnelles, traduire les schémas récurrents en boucles, concevoir des méthodes liées à des

objets qui traduisent le comportement attendu;

•conception d"algorithme: écrire des solutions modulaires à un problème donné, réutiliser des

algorithmes déjà programmés, programmer des instructions déclenchées par des événements,

concevoir des algorithmes se déroulant en parallèle.

Les modalités de l"apprentissage correspondant peuvent être variées : travail en mode débranché, c"est-

à-dire sans utilisation d"un dispositif informatique, individuel ou en groupe, en salle informatique ou

en salle banale, sur tablette ou sur ordinateur.

Le travail à exposer devant le jury

1 - Indiquez en quoi cet exercice permet de mettre en valeur les compétences décrites dans l"extrait

du document ressource, cycle 4.

2 - Proposez une correction complète de cet exercice telle que vous la présenteriez devant une classe

de collège de cycle 4.

3 - Proposez trois exercices sur le thèmealgorithmique et programmation, dont l"un au moins au ni-

chez les élèves.

14THÈME N°1• A LGORITHMIQUE ET INFORMATIQUE

THÈME N° 2

ARITHMÉTIQUE

CAPES 2?13CAPES externe de mathématiques : exercice

Thème : arithmétique

L"exercice

Pour tout entier relatifn, on considère les entiersaetbsuivants : a=n3-2n+ 5etb=n+ 1 1.

Démon trerque PGCD(a,b)=PGCD(b,6).

2. Déterminer les v aleursde ntelles quePGCD(a,b)= 3. 3. Déterminer les v aleursde npour lesquellesbdivisea. Les solutions proposées par quatre élèves de terminale scientifique.

Élève n

1

2.PGCD(b,6) = 3, doncbest un multiple de3etn= 3k+ 2, aveck?Z.

Élève n

2

2.PGCD(b,6) = 3, doncb= 3(2k+ 1), soitn= 6k+ 2, aveck?Z.

Élève n

33. J"ai rentré sur le tableur les valeurs dende 0 à 100, puis les formules deaetbetab. Les seules

valeurs pour lesquelles on a un entier sontn= 0etn= 2etn= 5.

Élève n

4

3. Ma calculatrice formelle me donne quea= (n2-n-1)b+ 6. Le reste de la division n"est

jamais nul, doncbne divise jamaisa.Le travail à exposer devant le jury 1-

Analysez les productions de ces élèves, en mettant en évidence les compétences acquises dans le

domaine de l"arithmétique. 2- Exposez une résolution de la question 3 de cet exercice comme vous le feriez devant une classe de terminale scientifique. 3-

Présentez deux ou trois exercices sur le thèmearithmétiquedont l"un au moins amène à formuler

une conjecture. CAPES 2014CAPES externe de mathématiques : épreuve sur dossier

Thème : arithmétique

L"exerciceLe code d"identification d"un article est composé de sept chiffres entre 0 et 9. Les six premiers chiffres

identifient l"article, le septième est une clé de contrôle destinée à détecter une erreur dans l"écriture des

six premiers chiffres. On noterax1x2x3x4x5x6x7un tel code. La clé de contrôlex7est le reste dans la division euclidienne par 10 de la somme :

N(x1¯x3¯x5)¯7(x2¯x4¯x6).

1. C alculerla clé du code su ivant: 9 23451†. 2. U nd eschiff resdu c odes uivanta ét ée ffacé: 1 34†752. Retrouver ce chiffre. 3. D anscet tequ estion,deu xdes c hiffresd ucode on tét éin tervertis: au lieu de saisirx1x2x3x4x5x6x7, le dactylographe a saisix1x3x2x4x5x6x7. Pour quelles valeurs dex2et dex3la clé de contrôle ne détecte-t-elle pas l"erreur ?

Des productions d"élèves

Question 1.

N(9¯3¯5)¯7£(2¯4¯1)17¯4966. Or6610 6,6. Le reste de la division euclidienne de N par10est6. La clé de contrôle est donc6.

Question 2.

N(1¯4¯7)¯7£(3¯x4¯5)68¯7x4. Pour que68¯7x410q¯2il faut que x42.

En effet8210£8¯2.

Question 3.

On a N

1(x1¯x3¯x5)¯7£(x2¯x4¯x6)et N2(x1¯x2¯x5)¯7£(x3¯x4¯x6).

Pour que l"erreur ne soit pas détectée il faut que N

1·N2(10), c"est à dire que10j(N1¡N2).

OrN1¡N26(x2¡x3).N1¡N2est donc divisible par10six2¡x30. Il faut donc que les deux chiffres

soient les mOEmes pour que l"erreur ne soit pas détectée.Le travail à exposer devant le jury

1-

Analysez les productions de ces trois élèves en relevant en particulier leurs réussites et leurs erreurs.

scientifique, en vous appuyant sur les productions d"élèves. 3-

Proposez deux ou trois exercices sur le thèmearithmétique. Vous motiverez vos choix en précisant

les objectifs visés par ces exercices. CAPES 2014CAPES externe de mathématiques : épreuve sur dossier

Thème : arithmétique

L"exercice

Déterminer l"ensemble des couples d"entiers

¡x,y¢vérifiant : 2x¯3y1.

Les réponses de deux élèves de terminale S

Élève 1

¡1,1)est une solution particulière.

2x¯3y1est équivalent à y¡23

x¯13 23
est le coefcient directeur de cette droite donc on se déplace de3k sur(Ox)et de¡2k sur(Oy).

L" ensemble des solutions est donc :

½x¡1¯3k

y1¡2kavec k2Z.

Élève 2

2x¯3y1équivaut à3y1¯2(¡x)ce qui revient à3y·1[2]ou encore à y·1[2].

Donc y1¯2k.

2x¯3y1équivaut à2x1¯3(¡y)ce qui revient à2x·1[3]ou encore à¡x·1[3].

Donc x¡1¯3k.

Les solutions sont(¡1¯3k,1¯2k), k2Z.Le travail à exposer devant le jury 1-

Ana lysezl esp roductionsde ces deux él èvesen mett anten évidence les comp étencesacqui ses.

2-

P roposezu necorr ectionde l "exercicetelle q uev ousla présen teriezdev antune class ed et erminale

scientifique, en vous appuyant sur les productions des élèves. 3-

P roposezdeux ou t roise xercicessur l et hèmearithmétique. Vous motiverez vos choix en précisant

les objectifs visés par ces exercices. CAPES 2014CAPES externe de mathématiques : exercice

Thème : arithmétique

L"exercicePour coder un message à l"aide d"un chiffrement affine, on commence par remplacer chaque lettre de

l"alphabet par un nombre entier de 0 à 25, selon le tableau ci-dessous. Les autres signes du texte sont

ignorés.ABCDEFGHIJK...XYZ

012345678910...232425

Puis on utilise une fonction affine de chiffrementf(x)=ax+b, avec (a,b) un couple d"entiers compris entre 0 et 25.

Enfin, on prend le reste de la division par 26 def(x) pour obtenir le codage voulu. Pour quef(x) soit une

fonction de chiffrement, il faut que les transformations de deux lettres distinctes donnent deux lettres

distinctes. 1. L esf onctionsaffi nessu ivantesp euvent-ellesêtr eu tiliséescomme f onctionsde ch iffrement? f:x?-→13x+3g:x?-→3x+7 2. On souhaite choisir comme fonction affine de chiffrement une fonction qui permet de coderCen MetKenA. Montrer que la fonctionh:x?-→5x+2 convient et coder " ALLO » à l"aide de cette fonction. 3. On appelle fonction de décodage de la fonctionh, la fonction de chiffrementk:x?-→ax+btelle quek[h(x)]≡x[26], pour tout nombre entierx. a) M ontrerq ue5 a≡1[26]si et seulement sia≡21[26] b) E ndédui reu nefon ctiond ed écodaged ela f onctionh.

La réponse d"un élève

1.

J"ai prolongé le tableau fourni dans une feuille de calcul tableur pour représenter les fonctionsfetg

et j"ai constaté que g était un code mais pas f. 2. C a pour valeur2,f(2)=12qui est bien la valeur deM.Ka pour valeur10,f(10)=52qui est un multiple de26, donc donne bien A. " ALLO » est codé " CFFU » 3. a) 5×21=105=4×26+1 b) je cherche la fonctionlde la formel(x)=21x+bqui permet de transformerMenCetAenK, puisqu"il me reste une inconnue, je prends A car sa valeur vaut0, et l(0)=b=10. Je vérifie que

ça marche aussi sur M:l(12)=262qui est congru à2modulo26.Le travail à exposer devant le jury

1-

Analysez la production de l"élève en mettant en évidence ses réussites et les progrès qu"il doit réaliser.

S spécialité mathématiques.

3-

Présentez deux ou trois exercices d"arithmétique au lycée, dont l"un au moins fait appel à des

congruences. CAPES 2015CAPES externe de mathématiques : épreuve sur dossier

Thème : arithmétique

L"exerciceLe 7 décembre 2014, un astronome a observé au jourJ0le corps célesteAqui apparaît périodiquement

tous les 105 jours.

Six jours plus tard

(J0¯6), il observe le corpsB, dont la période d"apparition est de 81 jours.

On appelleJ1le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l"astronome.

1 -

C ombiende j ourss "écoulerontent reJ0etJ1?

2 -

Si l"astronome manque ce futur rendez-vous, aura-t-il la possibilité d"observer une nouvelle conjonc-

tion des deux astres avant fin 2020 ? Les réponses de deux élèves à la question 1

Élève 1

J"ai fait une colonne pour le corps célesteAet une colonne pour le corps céleste B. J"ai tapé dansA2la formuleA1¯105et dansB2la formuleB1¯81, puis j"ai recopié vers le bas.

On voit735dans les deux colonnes.

Il s"écoulera donc735jours, soit 2 ans et 5 jours, entre J0et J1. J

1sera le 12 décembre 2016.AB

106

210587

3210168

4315249

5420330

6525411

7630492

8735573

9840654

10945735

111050816

Élève 2

Le problème revient à résoudre105x¡81y6ce qui équivaut à35x¡27y2.

35x¡27y2équivaut à35x2¯27y ce qui revient à35x·2[27]ou encore8x·2[27]

c"est-à-dire4x·1[27]; avec ma calculatrice j"ai trouvé x·7[27]. Donc x7¯27k.

35x¡27y2équivaut à27y¡2¯35x ce qui revient à27y·¡2[35]ou encore¡8y·¡2[35]

c"est-à-dire4y·1[35]; avec ma calculatrice j"ai trouvé y·9[35]. Donc y9¯35k.

En posant k0, je trouve x7.

Donc il se sera écoulé105£7735jours entre J0et J1.Le travail à exposer devant le jury 1 -

Analysez les productions de ces deux élèves en mettant en évidence les compétences acquises et

leurs erreurs éventuelles. 2 - Présentez une correction de l"exercice telle que vous l"exposeriez devant une classe de terminalequotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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