[PDF] Angles orientés et coordonnées polaires

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Angles orientés et

coordonnées polairesTable des matières

1 Angles orientés

2

1.1 Définition

2

1.2 Mesure d"un angle orienté

2

1.3 Propriétés

3

2 Lignes trigonométriques et relations

3

2.1 Définitions

3

2.2 Tableau des angles remarquables

4

2.3 Relations trigonométriques

4

2.3.1 Relations de base

4

2.3.2 Relations entre deux angles

5

2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle

6

2.5 Équation trigonométrique

6

3 Coordonnées polaires

7

3.1 Définition

7

3.2 Formules de passage

7

3.2.1 Des coordonnées polaires vers les coordonnées cartésiènnes.

7

3.2.2 Des coordonnées cartésiènnes vers les coordonnées polaires.

8 PAUL MILAN15 décembre 2010 PREMIÈRES

21 ANGLES ORIENTÉS1Anglesorientés

1.1Définition

Définition 1 :Un angle orienté est défini par deux vecteurs~uet~v, noté ~u,~v). L"angle est alors orienté de~uvers~v.Sur la figure ci-contre, on a repré- senté deux angles orientés, représen- tant le même angle(~u,~v). Le premier est orienté dans le sens direct et l"autre dans le sens indirect.1.2Mesured"unangleorienté Pour mesurer un angle orienté, il faut une unité (degré ou radian) et un sens de parcours. Un même angle peut avoir des mesures différentes, comme dans la figure ci-dessus. Ces mesures sont alors équivalentes. Elles sont égales à 2pprès,

on dit alors qu"elles sont égales modulo 2p.Définition 2 :On dit que les mesures (en radian)q1etq2d"un même

angle orienté(~u,~v)sont égales modulo 2p, s"il existe un entier relatifktel que : q

2=q1+k2p

On écrira alors :

q

1=q2[2p]Exemple :5p3

=p3 [2p]En effet,5p3 =p3

12pDéfinition 3 :On appelle mesure principale d"un angle orienté(~u,~v), la

mesureqavecq2]p,p]. On appelle mesure positive d"un angle orienté(~u,~v), la mesureqavecq2 [0,2p[Exemple :Voici ci-dessous le cercle trigonométrique avec les angles remar-

quables exprimés en mesure principale (en rouge) et mesure positive (en vert).PAUL MILAN15 décembre 2010 PREMIÈRES

1.3 PROPRIÉTÉS31.3Propriétés

1)

Les vecteurs

~uet~vsont colinéaires si et seulement si : ~u,~v) =0[2p]ou(~u,~v) =p[2p]

2)Relation de Chasles: Soit trois vecteurs~u,~vet~w, alors :

~u,~v) + (~v,~w) = (~u,~w) 3)

Soit les vecteu rs

~uet~v, alors on a : ~v,~u) =(~u,~v) (~u,~v) = (~u,~v) +p ~u,~v) = (~u,~v) +p (~u,~v) = (~u,~v)

2Lignestrigonométriquesetrelations

2.1Définitions

Définition 4 :Dans un repère orthonormal direct,aest l"angle orienté dans le cercle unité, on a alors : cosa=projection de l"angle sur l"axe des abscisses sina=projection de l"angle sur l"axe des ordonnées tana=projection de l"angle sur la droite tangente au cercle unité en(1,0)et orientée vers le hautPAUL MILAN15 décembre 2010 PREMIÈRES

42 LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES ET RELATIONS2.2Tableaudesanglesremarquables

a0p 6p 4p 3p 2 sina01 2p2 2p3 21
cosa1p3 2p2 21
20 tana0p3

31p3¥

2.3Relationstrigonométriques

2.3.1

Relations de base

On vérifie facilement avec le théorème de Pythagore la relation suivante : sin

2a+cos2a=1

On vérifie facilement avec le théorème de Thalès que : tana=sinacosa A l"aide de ces deux relations, on déduit que :

1+tan2a=1cos

2aPAUL MILAN15 décembre 2010 PREMIÈRES

2.3 RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES52.3.2Relations entre deux angles

1)

A vecl"angle opp osé

sin(a) =sina cos(a) = +cosa tan(a) =tana

On peut constater que les fonctions si-

nus et tangente sont impaires tandis

que la fonction cosinus est paire2)A vecl"angle sup pléméntaireet l"opposé du supplémentair e

Avec l"angle suppléméntaire

sin(pa) = +sina cos(pa) =cosa tan(pa) =tana

Et avec son opposé

sin(p+a) =sina cos(p+a) =cosa tan(p+a) = +tana3)A vecl"angle comp léméntaireet l"opposé du complémentair e

Avec le complémentaire

sinp2 a =cosa cos p2 a =sinaEt avec son opposé sinp2 +a =cosa cos p2 +a =sinaPAUL MILAN15 décembre 2010 PREMIÈRES

62 LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES ET RELATIONS2.4Lignestrigonométriquesdanslecercle

2.5

Équation trigonométrique

Résolution des équations dansR: cosx=aet sinx=a

Sijaj>1, il n"y a pas de solution.

Sijaj61, on a les solutions pour :

1) cos x=aon résout déjà l"équation dans[0;p]en cherchant à l"aide du cercle trigonométrique l"angleadont le cosinus vauta, c"est à direa=cos1a. On trouve les autres solutions en ajoutant les multiples de 2p cosx=a,x=a+2kpoux=a+2kpPAUL MILAN15 décembre 2010 PREMIÈRES 7 Remarque :l"expressionx=a+2kppeut s"écrirex=a[2p]qui se prononce "x=amodulo 2p» 2) sin x=aon résout déjà l"équation dansh p2 ;p2 i en cherchant à l"aide du cercle trigonométrique l"angleadont le sinus vauta, c"est à direa=sin1a. On trouve les autres solutions en ajoutant les multiples de 2p sinx=a,x=a+2kpoux=pa+2kp

3Coordonnéespolaires

3.1Définition

Définition 5 :Pour tout pointMdistinct deO, le couple(r,q)tel que : r=OMetq= (~ı,!OM) est appelé coordonnées polaires polaire du pointM. Le couple(x;y)est appelé coordonnées cartésiènne3.2Formulesdepassage Soit un pointMde coordonnées polaires(r;q)déterminons ses coordonnées cartésiènnes(x;y). On a : (x=rcosq y=rsinqExemple : Soit le pointM 3;2p3 . Déterminer ses coordonnées cartésiènnes.PAUL MILAN15 décembre 2010 PREMIÈRES

83 COORDONNÉES POLAIRESOn a alors :

8>>>< >>:x=3cos2p3 =32 y=3sin2p3 =3p3 2 Soit un pointMde coordonnées cartésiènnes(x;y)déterminons ses coordon- nées polaires(x;y). On a : 8>< :r=qx 2+y2 cosq=xr et sinq=yr

Exemple : Soit le pointMp3;1

. Déterminer ses coordonnées polaires.

On a alors :

8< :r=p3+1=2 cosq=p3 2 et sinq=12 d"oùq=p6

PAUL MILAN15 décembre 2010 PREMIÈRES

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