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Analyse complexe

(Notes de cours)

Gerald Tenenbaum

Universite de LorraineFaculte des sciences et technologies

Licence de Mathematiques (LMI6.33) 2012/2013

(25/4/2019, 21h48)

Diusion etudiants

Table des matieres

Chapitre I. Le corps des nombres complexes:::::::::::::::::::::::1

1 Introduction:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::1

2 Denition formelle:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::1

3 Representation geometrique : le plan complexe::::::::::::::::::::::::2

Chapitre II. Fonctions holomorphes : etude preliminaire:::::::5

1 Denitions:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::5

2 Fonctions denies par des series entieres::::::::::::::::::::::::::::::::7

Chapitre III. L'exponentielle et le logarithme complexes::::::14

1 La fonction exponentielle complexe:::::::::::::::::::::::::::::::::::::14

2 Le logarithme complexe:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::16

3 Les puissances complexes::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::19

Chapitre IV. Fonctions analytiques complexes:::::::::::::::::::20

1 Denition et condition susante::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::20

2 Le principe du prolongement analytique:::::::::::::::::::::::::::::::21

3 Zeros d'une fonction analytique:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::22

4 Les principes du module maximum et minimum::::::::::::::::::::::23

Chapitre V. Le theoreme de Cauchy::::::::::::::::::::::::::::::::24

1 Integrales curvilignes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::24

2 Primitives:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::27

3 Le theoreme local de Cauchy::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::29

4 Consequences de l'analyticite des fonctions holomorphes:::::::::::::32

5 Le theoreme general de Cauchy:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::34

6 Simple connexite:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::37

iiAnalyse complexe

Chapitre VI. Developpement de Laurent,fonctions meromorphes, theorie des residus:::::::::::::::::::::39

1 Fonctions holomorphes dans une couronne:::::::::::::::::::::::::::::39

2 Points singuliers isoles, fonctions meromorphes:::::::::::::::::::::::41

3 Theoreme des residus::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::44

4 Nombre des zeros et des p^oles d'une fonction meromorphe::::::::::46

5 Calcul d'integrales par la methode des residus::::::::::::::::::::::::48

Chapitre VII. Suites, series et produits defonctions meromorphes::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::53

1 Suites et series de fonctions holomorphes::::::::::::::::::::::::::::::53

2 Series de fonctions meromorphes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::54

3 Produits innis de fonctions holomorphes:::::::::::::::::::::::::::::56

4 La fonction Gamma d'Euler:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::60

Chapitre VIII. Topologie de l'espace des fonctionsholomorphes, transformations holomorphes:::::::::::::::::::::70

1 Metrique de la topologie de la convergence

uniforme sur tout compact:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::70

2 Le theoreme de Montel::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::71

3 Transformations holomorphes, representations conformes::::::::::::74

Exercices sur les nombres complexes,les fonctions holomorphes et les series entieres:::::::::::::::79

Exercices sur les series entieres

et les fonctions exponentielle et logarithme:::::::::::::::::::82 Exercices sur les fonctions analytiques complexes:::::::::::::::86 Exercices sur la formule de Cauchy et ses consequences:::::::89

Exercices sur les developpements de Laurent

et la theorie des residus:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::93 Exercices sur les suites, series et produits innis de fonctions meromorphes::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::98 Problemes de synthese:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::103 Sujets d'examens::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::106

Universite de Lorraine

Faculte des sciences et technologies

Licence de mathematiques 2012/2013

Analyse complexe (LMI6.33)

I

Lecorpsdesnombrescomplexes

1. Introduction

La resolution d'equations, et en particulier d'equations polynomiales, a sous-tendu l'evolution des mathematiques depuis l'Antiquite. Les equations du premier et du second degre ont ete resolues par les Babyloniens environ 2000 ans avant notre ere. Les equations de degre trois ou plus ont resiste, sous forme d'un probleme fameux, jusqu'au XVI esiecle. Une solution pour le troisieme degre fut alors trouvee par Scipion del Ferro, de Bologne, et Niccolo Fontana (surnomme Tartaglia le begue) de Brescia. Peu apres, Ludovic Ferrari vint a bout de l'equation du quatrieme degre. Il fallut attendre le XIX esiecle, avec Niels Abel etEvariste Galois, pour une preuve que l'equation generale du cinquieme degre n'est pas soluble par radicaux. Les solutions des equations de degre trois et quatre sont publiees par Cardan (1501-

1576) en 1545. Elles utilisent toutes, sans justication theorique, des racines carrees de

nombres negatifs. Cependant la communaute mathematique rejette l'emploi de telles quantites jusqu'au milieu du XIX esiecle : Descartes (1596-1650) designe commehhimaginairesiiles racines complexes d'equations, dont il considere l'apparition dans un probleme comme un signe indubitable de non solubilite. Euler (1707-1783) introduit en 1740 les exposants complexes et s'emerveille de la formule e i+ 1 = 0 qui lie les cinq nombres fondamentaux de l'analyse. Il utilise egalement les nombres complexes pour resoudre des equations dierentielles. C'est Gauss (1777-1855) qui leur donne un statut denitif et une signication intuitive et naturelle a travers leur representation geometrique.

2. Denition formelle

L'ecriture classique d'un nombre complexe sous la formea+ibpresuppose l'existence d'un corps dans lequel1 est un carre, ce qui n'est pas acquis a priori. On denit formellementCcomme l'ensemble des couples ordonnes (a;b) deR2muni de l'addition et de la multiplication donnees par les formules (21)(a;b) + (c;d) = (a+c;b+d) (a;b)(c;d) = (acbd;ad+bc): On verie a partir des proprietes usuelles des nombres reels que ces lois de compositions sont associatives et commutatives et que la multiplication est distributive par rapport a l'addition. L'element neutre de l'addition est le nombre complexe (0;0), celui de la

2ILe corps des nombres complexes

multiplication le nombre (1;0). Le fait que l'ensemble ainsi construit est un corps equivaut alors a la solubilite, pour tout (a;b)6= (0;0), du systeme axby= 1 bx+ay= 0: Comme le determinant du systeme vauta2+b26= 0, il a une solution unique et l'ensemble

Cmuni des lois (21) est bien un corps.

On verie que l'applicationp:f(a;0)2Cg !Rdenie parp(a;0) =aest un homomorphisme de corps, en ce sens qu'il preserve les deux operations. On peut donc identierRa l'ensemble des couples (a;0). Si l'on pose alorsi:= (0;1), on a d'une part identiquement (a;b) = (a;0) + (0;1)(b;0) =a+ib; et d'autre part i

2= (0;1)(0;1) = (1;0) =1:

Il est a noter que tout nombre complexe non nula+ibpossede deux racines carrees complexes puisque l'equation (x+iy)2=a+ibequivaut a x2y2=a

2xy=b:

Ce systeme possede les deux solutions (x;y) = (pa;0) sia >0,b= 0, les deux solutions (x;y) = (0;pa) sia <0,b= 0, et, posantd2:=a2+b2avecd >0, les deux solutions (x;y) = q1 2 (a+d);sgn(b)q1 2 (da) sib6= 0.(1) Exemples.Les deux racines carrees de 2isont(1 +i). Celles de 5 + 12i, sont(3 + 2i). Nous verrons plus loin que toute equation polynomiale a coecients complexes possede au moins une racine dansC. Il est a noter qu'une importante propriete deR, l'ordre total compatible avec la structure de corps (2), ne se transmet pas aC: on peut verier aisement a l'aide des axiomes de la structure d'ordre que l'une ou l'autre des inegalitesi >0 oui <0 conduit a une contradiction.

3. Representation geometrique : le plan complexe

L'interpretation geometrique des nombres complexes est due a Wallis (1616-1703). Elle a ensuite ete developpee par Argand (1768-1822) et Gauss. On associe au nombrez=x+iyle point de coordonnees (x;y), dontzest designe comme l'axe. Les nombres reels correspondent donc a l'axe desx, souvent designe comme l'axe reel, alors que les representants des nombres imaginairesibsont situes sur l'axe imaginaire.

On pose

a l'axe reel.1. Dans le dernier cas, nous avons posey=b=2xet substitue dans la premiere equation, ce qui

fournit successivement 4x44ax2b2= 0 etx2=12 (a+d).

2. C'est-a-dire : (x < y,a < b)a+x < b+y) et (x < y,a >0)ax < ay).

3Representation geometrique : le plan complexe3

On a (31)2+y2du vecteur d'extremites (0;0) et (x;y):En particulier, on a identiquement (32)jzj2=zz: La quantitejz1z2jest la distance euclidienne entrez1etz2:Cela donne une preuve geometrique de l'inegalite triangulaire jz1+z2j6jz1j+jz2j: Une preuve algebrique peut-^etre obtenue gr^ace a l'inegalite de Cauchy-Schwarz. L'argument argzd'un nombre complexe non nulzest l'angle, deni modulo 2, entre le vecteurzet l'axe desx.(3)On a donc

argz=#,cos#=

4ILe corps des nombres complexes

Un nombre complexe non nul est completement determine par son module et son argument : sijzj=ret argz=#, alorsx=rcos#,y=rsin#, et donc z=r(cos#+isin#): On dit queret#sont les coordonnees polaires dez. Si l'on poseh(#) := cos#+isin#,(4) on a avec des notations transparentes (33)z1z2=r1r2h(#1+#2): Cela permet de donner une interpretation geometrique simple du produit de deux nombres complexes :z1z2a pour module le produit des modules et pour argument la somme des arguments. Par recurrence surn, on deduit de (33) la formule de Moivre(5) (34)zn=rnh(n#): Exemple.Les racines cubiques de 1 sont determinees parr3h(3#) = 1, d'our= 1,

3#0(mod2). Les solutions sont donc les nombres

1; j=h(2=3) =12

+i12 p3; j2=h(4=3) =12 i12 p3:4. Nous justierons plus tard la notation classiqueh(#) = ei#:

5. Abraham de Moivre, 1667{1754.

Universite de Lorraine

Faculte des sciences et technologies

Licence de mathematiques 2012/2013Analyse complexe (LMI6.33) II

Fonctionsholomorphes:etudepreliminaire

1. Denitions

Denition 1.1.SoitUun ouvert deC, etf:U!C. On dit quefestC-dierentiable en un pointadeUsi la limite (11) limh!0a+h2Urfagf(a+h)f(a)h existe, autrement dit s'il existeL2Ctel que f(a+h) =f(a) +Lh+o(jhj) (h!0): LorsquefestC-dierentiable en tout point deU, on dit quefest holomorphe surU. On note alorsf0(a)la limite(11)et l'on designe par derivee defla fonctionf0:U!Cqui az2Uassocie le nombref0(z).

On note

H(U);H(U;V);

l'espace des fonctions holomorphes surU, et celui des fonctions holomorphes surUa valeurs dansVC. Si l'on poseF(x;y) =f(x+iy), alorsFest denie sur un ouverteUdeR2, a valeurs dansC.Fest dierentiable en (x0;y0)2eUsi, et seulement si, il existe des nombres complexesAetBtels que, notantz0=x0+iy0,h=u+iv, on ait (12)f(z0+h) =f(z0) +Au+Bv+o(jhj) (h!0): On a en faitA=@F(x0;y0)=@x=F0x(x0;y0),B=@F(x0;y0)=@y=F0y(x0;y0). Avec un leger abus de notation pour simplier l'ecriture, on ecrit souventA=f0x(z0),B=f0y(z0). En decomposantu= (h+h)=2,v= (hh)=2i, nous pouvons reecrire (12) sous la forme (13)f(z0+h) =f(z0) +h+h+o(jhj) (h!0); avec :=12 (AiB); :=12 (A+iB): On designe les nombresetsous le nom dederivees partielles de Wirtingerdefenz0. On a donc, avec l'abus de notation signale plus haut, f

0z(z0) =@f@z

(z0) :=12 f0x(z0)if0y(z0); f0z (z0) =@f@z (z0) :=12 f0x(z0) +if0y(z0):

6IIFonctions holomorphes : etude preliminaire

SoitV=U:=fz:z2Ug. Il est immediat que, siG:UV!Cest une fonction de deux variables veriantG(z;z) =f(z) pour toutzdeUet siGestC-dierentiable, autrement dit s'il existe pour tout (z;w)2UVdes nombresettels que

G(z+h;w+k) =G(z;w) +h+k+o(jhj+jkj) (jhj+jkj !0);

alors f

0z(z0) =G0z(z0;z

0); f0z

(z0) =G0w(z0;z 0): Il est a noter que, lorsquefest donnee, il existe a priori de multiples choix possibles pour la fonctionG: par exemple, sif(z) =jzj2, on peut choisirG(z;w) =jzj2ouG(z;w) =zw. Proposition 1.2.SoientUun ouvert deC,eU:=f(x;y)2R2:x+iy2Ug,F:eU!C une application dierentiable etf:U!Cdenie parf(x+iy) :=F(x;y). (i)festC-dierentiable enz0=x0+iy0si, et seulement si,d(x0;y0)FestC-lineaire. (ii) L'applicationd(x0;y0)FestC-lineaire si, et seulement si,f0z (z0) = 0.

Demonstration.(i) On a

f(z0+h)f(z0) =F(x0+u;y0+v)F(x0;y0) = d(x0;y0)F(h) +o(h): Or les applicationsC-lineaires surCsont les applications du typeh7!ch. Donc laC-linearite de d(x0;y0)Fimplique laC-dierentiabilite def. Reciproquement, si d (x0;y0)F(h) =Lh+o(h), on a necessairement d(x0;y0)F(h) =Lhpuisque l'application lineaireh7!d(x0;y0)F(h)Lhest de norme nulle. (ii) Sif0z = 0, on a d(x0;y0)F(h) =f0z(z0)hpour touth2C, donc d(x0;y0)Fest bienC-lineaire. Reciproquement, si d(x0;y0)FestC-lineaire, on a identiquement, lorsque h=u+iv, en posant:=f0z(z0),:=f0z (z0), ihih= d(x0;y0)F(iu;iv) =id(x0;y0)F(u;v) =ih+ih; ce qui implique= 0.ut Corollaire 1.3.SoitUun ouvert deC. Une applicationf:U!CestC-dierentiable en un pointz0deUsi, et seulement si, la fonction de deux variables reellesFest dierentiable en(x0;y0)et si l'on af0z (z0) = 0ou encore (14)F0x(x0;y0) +iF0y(x0;y0) = 0: En particulier, une condition necessaire et susante pour quefsoit holomorphe surU est queFsoit dierentiable en tout point deeU:=f(x;y)2R2:x+iy2Uget satisfasse identiquement la relation(14). Si l'on ecritF=P+iQavecPetQa valeurs dansR, alors l'equation (14) devient (15)P0x(x0;y0) =Q0y(x0;y0) P

0y(x0;y0) =Q0x(x0;y0):

On designe habituellement ces conditions sous le nom deconditions de Cauchy-Riemann. Exemples.(i)z7!zest holomorphe surC, alors quez7!zn'estC-dierentiable en aucun point deC. Plus generalement, lorsquen2N,z7!znest holomorphe surC, de derivee nz n1, etz7!(z)nestC-dierentiable enz0si, et seulement si,n >1 etz0= 0.

2Fonctions denies par des series entieres7

(ii) Calculons les derivees partielles de Wirtinger def(z) :=jzj2. On peut ecrire f(z) =G(z;z) avecG(z;w) =zw. Doncf0z(z0) =z 0,f0z (z0) =z0. Il s'ensuit quef estC-dierentiable enz0si, et seulement si,z0= 0. Corollaire 1.4.SoientUun ouvert connexe deCetf:U!Rune fonction holomorphe surU. Alorsfest constante surU. Demonstration.On aQ= 0, donc, d'apres la relation (15),P0x=P0y= 0, donc d (x0;y0)F= 0 pour tout (x0;y0) deeU. D'apres l'inegalite des accroissements nis, on en deduit bien queFest constante.ut Remarque.Il est clair qu'une fonction holomorphe de derivee nulle sur un ouvert connexe est constante. Plus generalement, une fonction holomorphe de derivee nulle sur un ouvert estlocalement constante, i.e. constante sur chaque composante connexe. Theoreme 1.5.SoientUun ouvert deC,aun point deUetf;g:U!Cdeux fonctionsC-dierentiables ena. Alors, pour tout2C, les fonctionsf+g,fetfgsont

C-dierentiables enaet l'on a

(f+g)0(a) =f0(a) +g0(a);(f)0(a) =f0(a);(fg)0(a) =f0(a)g(a) +f(a)g0(a): Si, de plus,g(a)6= 0, alors il en va de m^eme def=get l'on a (f=g)0(a) =f0(a)g(a)f(a)g0(a)g(a)2:

Demonstration laissee en exercice.

Theoreme 1.6.SoientU; Vdeux ouverts deC,aun point deU,f:U!V,g:V!C deux fonctions respectivementC-dierentiables enaetb=f(a). Alors,gfestC- dierentiable enaet l'on a (gf)0(a) =g0(b)f0(a):

Demonstration laissee en exercice.

Exemples.Les polyn^omes, les fractions rationnelles, les series entieres de rayon de convergence positif sont, sur l'interieur de leurs domaines de denitions respectifs des fonctions holomorphes.

2. Fonctions denies par des series entieres

Soientz02C,R >0 etD=D(z0;R) le disque ouvert de centrez0et de rayonR. On dit qu'une fonctionf:D!Cestdeveloppable en serie entiere dansDs'il existe une suite complexefang1n=0telle que f(z) =X n>0a n(zz0)n(z2D): Les fonctions developpables en serie entiere dans un disque constituent une classe tres importante de fonctions holomorphes. Le lemme suivant permet de regler la plupart des questions de convergence. Lemme 2.1 (Abel).Soientfang1n=0une suite complexe etR; rdes nombres reels tels queR > r >0. Si la suitefanRng1n=1est bornee, la serie entiereP n>0anznconverge normalement pourjzj6r. Demonstration.SoitM:= supn>0janRnj. La conclusion est immediate puisque l'on a janznj6M(r=R)nlorsquejzj6r.ut

8IIFonctions holomorphes : etude preliminaire

Soitfang1n=0une suite complexe. Il resulte du lemme d'Abel que l'ensemble des nombres reelsrtels que la serie entiere (21)X n>0a nzn converge dans le disquejzj6rest un intervalle [0;R[ ou [0;R], avecR2[0;1[ ouR=1. On dit queRest le rayon de convergence de la serie entiere (21). Rappelons la notion de limite superieure d'une suite de nombre reels :quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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