[PDF] Spectre des opérateurs différentiels

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Spectre des op

´erateurs diff´erentiels

Sylvie Benzoni-Gavage

1 erf´evrier 2010

Table des mati

`eres

1 Motivations 2

2

´El´ements d"analyse fonctionnelle 3

2.1 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 L"espace de SobolevHp(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Les op

´erateurs diff´erentiels comme op´erateurs non-born´es surL2(R). . . . . . 5

2.3.1 Op

´erateurs ferm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.2 Dualit

´e dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

´El´ements de th´eorie spectrale 9

4 Spectre essentiel des op

´erateurs diff´erentiels 12

4.1 Spectre des op

´erateurs diff´erentiels`a coefficients constants . . . . . . . . . . . 12

4.2 Fonction de Green des op

´erateurs diff´erentiels`a coefficients constants . . . . . 14

4.3 Op

´erateurs`a coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Valeurs propres des op

´erateurs diff´erentiels 28

Index 28

Bibliographie 31

1

1 Motivations

On va s"int

´eresser aux op´erateurs diff´erentiels comme`a des op´erateurs non-born´es dans un cadre fonctionnel essentiellement hilbertien (espaces de Sobolev). L"

´etude de leur spectre

est motiv

´ee par des questions de stabilit´e dans des ph´enom`emes d"´evolution mod´elis´es par des

equations aux d´eriv´ees partielles. Prenons par exemple une´equation dite der´eaction-diffusion

(1)@tu=@2xxu+f(u); mod ´elisation l"´evolution de la concentrationud"une esp`ece diffusant avec un coefficientet r

´eagissant chimiquement selon une loi donn´ee parf. Selon les propri´et´es def, cette´equation

peut admettre des solutions particuli `eres que l"on appelleondes progressives(voir [5, 6]). Par d ´efinition, une onde progressive de vitessecest une fonction de la formeu(t;x) =U(xct):

le graphe deu(t;)se propage sans se d´eformer`a la vitessec;`a translation pr`es, c"est celui de la

fonctionU, que l"on appelleprofilde l"onde. Dans le r´ef´erentiel li´e`a une telle onde, c"est-`a-dire

en faisant le changement de variables(t;x)7!(s=t;y=xct), l"´equation (1) devient (2)@suc@yu=@2yyu+f(u): Une onde progressive de profilUest solution de (1) si et seulement siUest une solution stationnaire, c"est- `a-dire ind´ependante desde (2). Pour´etudier sa stabilit´e on est amen´e`a lin ´eariser (2) autour deU, ce qui conduit`a l"´equation sw=c@yw+@2yyw+f0(U(y))w; et `a´etudier le spectre deA=c@y+@2yyw+f0(U(y)), op´erateur diff´erentiel`a coefficients variables que l"on peut voir comme op ´erateur non-born´e dans un espace appropri´e de fonctions

dey2R(ceci sera pr´ecis´e dans la suite). Au vu des th´eor`emes classiques ([1, th´eor`eme 8.18,

p. 273]) pour les ´equations diff´erentielles ordinaires (ce qui serait le bon cadre siA´etait born´e), on s"attend en effet `a de l"instabilit´e s"il existe2(A)tel que Re >0, et`a de la stabilit´e si (A) fz2C;Rez <0g. Remarque 1.En fait cette inclusion n"est (en g´en´eral) pas possible`a cause de"l"invariance par translation»de(1), impliquant que0est valeur propre deA(dans les espaces"stan- dard») : en d´erivant l"´equation de profil cU0=U00+f(U); on constate en effet queAU0= 0. Donc il faut le plus souvent se contenter de(A)nf0g fz2C;Rez <0g, et montrer ce que l"on appelle de lastabilit´e orbitale, contrˆolant non pas ku(t;)U)kmaisinf2Rku(t;)U(+)k.

On consid

`ere d´esormais un op´erateur diff´erentiel`a coefficients variables en dimension1:

A=A(@x) =pX

j=0a j(x)@jx; o `up2Net pour toutx2R,aj(x)2Mn(C), avecap(x)2GLn(C)(de sorte que l"op´erateur Aest partout d"ordre´egal`ap). On suppose que pour toutj2 f1;:::;pg,aj2C1b(R;Mn(C)),

ce qui signifie que les fonctionsajsont born´ees surRainsi que toutes leurs d´eriv´ees. C"est

2

le cas par exemple siAprovient d"une lin´earisation (comme d´ecrit au paragraphe pr´ec´edent)

autour d"un profil qui est lui-m ˆemeC1b. On suppose en outre qu"il existe >0tel que pour toutx2R,kap(x)kkap(x)1k .

On se propose d"

´etudier le spectre deA, vu comme unop´erateur non-born´esurL2(R),

dedomainel"espaceHp(R)des fonctions de carr´e int´egrable admettantpd´eriv´ees de carr´e

int

´egrable. Les d´eriv´ees sont ici`a comprendre au sens desdistributions, mais nous´eviterons

d"utiliser (et m ˆeme de d´efinir) cette notion. Nous allons plutˆot d´efinir au prochain paragraphe l"espace deSobolevHp(R)grˆace`a latransformation de Fourier. 2

´El´ements d"analyse fonctionnelle

2.1 Transformation de Fourier

L"analyse de Fourier fait l"objet de nombreux ouvrages (voir par exemple [4] ou [11]). En voici quelques

´el´ements utiles pour la suite.

Latransformation de FourierFest par d´efinition un isomorphisme deL2(R;C)(simple- ment not ´eL2(R)dans la suite) tel que, pour toutu2L1(R)\L2(R),

Fu() =Z

u(x)eixdx; 2R; F

1u(x) =12Z

u()eixd ; x2R: A un facteur pr`es c"est une isom´etrie, car en vertu duth´eor`eme de Plancherelon a pour tout u2L2(R), kFukL2=1p2kukL2: La transformation de Fourier laisse invariante laclasse de Schwartz

S(R) =

u2C1(R);quels que soientj ; p2N;sup x2R(1 +jxj)pj@ju(x)j<+1 ensemble contenant notamment lesgaussiennes u:x7!ea(xm)2 poura2R+etm2R, de transform´ees de Fourier bu:7!r a eime2=(4a):

En outre, pour toutu2S(R),

(3)F(@jxu)() = (i)jFu(); 2R: Siuest de classeC1`a support compact, sa transform´ee de Fourierbuse prolonge en une fonctionanalytiquesurC. En effet, siK=supp(u), bu() =Z K u(x)eixdx 3 est d ´efini quel que soit2Cet h´erite de l"analyticit´e de la fonction exponentielle (car par le th ´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue, on peut d´eriver sous le signeRpar rapport`a Reet Im, et l"on trouve que les d´eriv´ees deusatisfont les´equations de Cauchy-Riemann). De plus, siK[R;R], on montre par int´egrations par parties successives, l"in´egalit´e jbu()j 1jjjk@jxfkL1(K)eRIm; pour toutj2N, et6= 0. Il existe doncCj>0tel que jbu()j Cj(1 +jj)jeRIm

quel que soit2C. Cette propri´et´e caract´erise en fait la transform´ee de Fourier des fonctions

de classeC1`a support inclus dans[R;R]: Th ´eor`eme 1(Paley-Wiener).SiUest une fonction analytique surCpour laquelle il existe un compactR >0tel que pour toutj2N, il existeCj>0avec jU()j Cj(1 +jj)jeRIm pour tout2C, alorsUjRest la tranform´ee de Fourier d"une fonctionudeC1`a support compact inclus dans le segment[R;R].

Voir par exemple [9, p. 16].

2.2 L"espace de SobolevHp(R)

Pour touts0, on d´efinit

s() = (1 +2)s=2etHs(R) =fu2L2(R);sbu2L2(R)g:

C"est un espace de Hilbert pour la norme d

´efinie par

kukHs=ksbukL2;bu:=Fu:

En particulier, d"apr

`es le th´eor`eme de Plancherel,H0(R)n"est rien d"autre queL2(R)(au fac- teurp2pr`es les normes sont identiques). Pour touts0, commes()1quel que soit

2R, on a uneinjection continueHs(R),!L2(R).

L"ensembleS(R)est inclus dansHs(R)pour touts0, car siu2S(R)alorsbu2S(R) et donc pour toutp2Nil existeCp>tel que pour tout2R, jbu()j2Cp(1 +jj)2p; ce qui impliquesbu2L2en choisissantp > s+ 1=2(noter ques()=(1 +jj)sest born´e ind ´ependamment de2R!). CommeS(R)contient lui-mˆeme l"ensembleC1cdes fonctions de classeC1`a support compact, qui est dense dansL2(R)(voir [2, p. 71]), on en d´eduit que H s(R)estdensedansL2(R). 4 Sip=s2N, la formule (3) montre que la norme surHp(R)est´equivalente`a la norme ek ekHpd´efinie par e kuek2 H p=kuk2 L2+pX j=1k@jxuk2 L2; et l"inclusionHp(R)L2(R)est stricte. Enfin on montre que pour toutu2H1(R)il existe une application continue co¨ıncidant avec upresque partout (voir [2, Th´eor`eme VIII.2]).

2.3 Les op

´erateurs diff´erentiels comme op´erateurs non-born´es surL2(R) Un op ´erateur lin´eaireAd"un sous-espaceD(A)d"un espace de BanachXdans lui-mˆeme est appel ´e (par d´efaut),op´erateur non-born´e, dedomaineD(A). Pourp2Neta1;:::;ap2C1b(R;Mn(C)), avec pour toutx2R,ap(x)2GLn(C), l"op

´erateur diff´erentiel

A=A(@x) =pX

j=0a j(x)@jx; peut ˆetre vu comme un op´erateur non-born´e surL2(R)nde domaineD(A) =Hp(R)n(dont on

rappelle que c"est un sous-espace dense deL2(R)n). Plus pr´ecis´ement,Ad´efinit une application

lin ´eaire continue deHp(R)ndansL2(R)n: en effet, pour toutu2Hp(R)n, kAukL2pp+ 1 maxjkajkL1ekuekHp; o `u les notationsL2,Hp,L1se rapportent ici aux normes surL2(R)n,Hp(R)n,L1(R;Mn(C)) respectivement, d ´efinies`a l"aide d"un norme quelconque surCnpour les deux premi`eres et de la norme subordonn

´ee surMn(C)pour la derni`ere.

2.3.1 Op

´erateurs ferm´es

D ´efinition 1.Un op´erateur non-born´eAdans un espaceXestferm´esi son graphe G

A:=f(u;Au);u2D(A)g

est ferm

´e dansXX.

Le lemme suivant montre que notre op

´erateur diff´erentielAest ferm´e, c"est-`a-dire que son graphe est ferm

´e dans(L2(R)n)(L2(R)n).

Lemme 1.Si une suite(um)m2Nd"´el´ements deHp(R)nconverge versudansL2(R)net siAum converge versfdansL2(R)n, alorsu2Hp(R)netAu=f(presque partout). D ´emonstration.Le point d´elicat est de montrer queu2Hp(R)n, c"est-`a-dire que(um)m2Nest de Cauchy dansHp(R)n. Ceci repose sur la d´emonstration d"une estimation : (4) pX j=1k@jxvk2

L2C(kvk2

L2+kAvk2

L2); 5 valable quel que soitv2Hp(R)n, avecC >0ind´ependant dev´evidemment. Si l"on admet momentan ´ement (4), alors en l"appliquant`av=ukumet en faisant tendreketmvers+1,quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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