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Le calcul tensoriel et dierentiel :

outil mathematique pour la physique des milieux continus parEmmanuel Plauta Mines Nancy

Version du 2 septembre 2021 Table des matieres

Introduction5

1 Algebre tensorielle9

1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes

9

1.1.1 Remarque sur la notation:

eche vs barre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes

10 Ex. 1. 1 : Su rl acon ventionde somm ationsu rl esi ndicesr epetes 10

1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction

11

1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation

11 Ex. 1. 2 : V ericationd el acoh erencede l ad enitiond up roduitscal aire 13

1.1.5 Sur le caracteredes bases i.e. la notion d'orientation. . . . . . . . . . . . . 13

1.1.6 Tenseurs d'ordre 0 et 1

13

1.2 Denition des tenseurs comme applications lineaires

13

1.3 Les tenseurs d'ordre 2 comme applications lineaires

14

1.3.1 Representation par une matrice

14

1.3.2 Formule de changement de base

14

1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs

15

1.3.4 Application : ecriture intrinseque d'un tenseur d'ordre 2

15 Ex. 1. 3 : D el 'inter^etde la n otationp roduitt ensoriel 15

1.3.5 Tenseur identite

16

1.4 Les tenseurs d'ordre 2 comme applications bilineaires

16

1.4.1 Denition et exemple

16

1.4.2 Applications : denition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques

17 Ex. 1. 4 : T ranspositiond 'unpr oduitt ensoriel 17

1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires

18

1.5.1 Denition des tenseurs comme applications multilineaires

18 Ex. 1. 5 : App licationd el ad enitionm ultilineairer ecurrenteau cas n= 2. . . . . . . . . . . 18

1.5.2 Denition generale du produit tensoriel

18 1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Base - Changement de base. . . . . . . . . . . 19

2Table des matieresEx.1. 6: Ch angementde bas ep ouru nt enseurd 'ordre2 ap plicationbi lineaire. . . . . . . . . 20

1.5.4 Denition generale du produit contracte

20 Ex. 1. 7 : Pr oduitcon tracted ed euxv ecteurs 21
Ex. 1. 8 : Pr oduitcon tracted 'unt enseurd 'ordre2 et d 'unv ecteur 21
Ex. 1. 9 : Pr oduitcon tracted ed euxt enseursd 'ordre2 22
Ex. 1. 10 : Ass ociativitedu pr oduitd econ tractiond ansu nc asg eneral 22

1.5.5 Denition generale du produit doublement contracte

22

1.6 Tenseur alterne fondamental et applications

24

1.6.1 Denition du tenseur alterne fondamental

24
Ex. 1. 11 : Ut ilisationd ut enseural ternef ondamentalp ourcal culd' und eterminant 25

1.6.2 Produits mixte et vectoriel

26

1.6.3 Vecteur dual d'un tenseur d'ordre 2 - Tenseurs antisymetriques

27
Ex. 1. 12 : F ormulesp ortantsu rl ete nseuralt ernef ondamentale tle v ecteurd ual 27
Ex. 1. 13 : F ormuled udou blepr oduitv ectoriel 27
Ex. 1. 14 : V ecteurd uald 'unt enseurd 'ordre2 sy metrique 27
Ex. 1. 15 : T enseuran tisymetriqueen fon ctionde son v ecteurdu al 28

1.7 Exemples en mecanique des milieux continus

28

1.8 Notes personnelles

28

2 Analyse tensorielle31

2.1 Gradient d'un champ de tenseur

32

2.1.1 Denition intrinseque en tant que dierentielle

32

2.1.2 Calculs en coordonnees cartesiennes

32

2.2 Cas du gradient d'un champ de vecteur

34

2.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique

34

2.2.2 Signication de la partie symetrique

34

2.2.3 Signication de la partie antisymetrique - rotationnel

34

2.3 Divergence d'un champ de tenseur

36

2.3.1 Denition intrinseque a partir du gradient

36

2.3.2 Calculs en coordonnees cartesiennes

36

2.4 Integration des champs de tenseurs

37

2.4.1 Denitions

37

2.4.2 Formule integrale du rotationnel

38

2.4.3 Formule integrale de la divergence

39
Ex. 2. 1 : D emonstrationd el af ormulede la d ivergencedan sl ec asg eneral 40

2.4.4 Application : signication physique de l'operateur divergence

40

2.5 Laplacien d'un champ de tenseur

43

2.5.1 Denition intrinseque a partir du second gradient

43

2.5.2 Calculs en coordonnees cartesiennes

43

2.6 Exercices visant a etablir un formulaire

44
Ex. 2. 2 : D ivergencee trot ationneld 'unp roduits calaire-vecteur 44
Ex. 2. 3 : Comp ositionsd 'operateursd ierentielsn ulles 44
Ex. 2. 4 : D ivergenced 'ungr adientt ranspose 44

Table des matieres3Ex.2. 5: D ivergencee trot ationneld 'unp roduitv ectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2. 6 : D ivergenced 'unp roduitt ensoriel 44
Ex. 2. 7 : D ivergenced ed iversp roduits 45
Ex. 2. 8 : F ormuled udou blerot ationnele tapp lication 45
Ex. 2. 9 : F ormulesde Na vieren elasticite 46
Ex. 2. 10 : R eecrituresdu t ermenon l ineaired el 'equationd eNa vier-Stokes 46
Ex. 2. 11 : D eriveep articulaired el ad ensited 'energieci netique 46

2.7 Calculs en coordonnees cylindriques

47

2.7.1 Systemes a symetrie cylindrique - Principe de Curie

47

2.7.2 Denition des coordonnees cylindriques

47

2.7.3 Expressions du gradient

48

2.7.4 Expression du rotationnel

49

2.7.5 Expressions de la divergence

50

2.7.6 Expressions du laplacien

51
Ex. 2. 12 : Su rl ecal culd ul aplaciend' unc hampv ectoriele nc ylindriques 51
Pb. 2. 1 : Asp ectsmat hematiquesd el 'etuded' unt uyaus ouspr ession 52
Pb. 2. 2 : Asp ectsmat hematiquesd el 'etuded' unr heometred eCou ettec ylindrique 53

2.8 Calculs en coordonnees spheriques

54

2.8.1 Denition des coordonnees spheriques

54

2.8.2 Expressions du gradient

56

2.8.3 Expression du rotationnel

56

2.8.4 Expressions de la divergence

56

2.8.5 Expressions du laplacien

57

2.9 Notes personnelles

57

3 Complements : potentiels et rotationnels

59

3.1 Existence de potentiel scalaire : theoreme de Cauchy

59

3.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs. . . . . . . . . . . . . .60

3.2.1 Rotationnel d'un champ de tenseurs d'ordre 2

60

3.2.2 Premier theoreme de Cauchy generalise

61

3.2.3 Lemmes

61

3.2.4 Deuxieme theoreme de Cauchy generalise

62

3.3 Existence de potentiel vecteur pour un champ a divergence nulle

63

Bibliographie65

A Normes - Notations de Landau pour la comparaison asymptotique 67

A.1 Sur l'exercice

1. 11 : n ormes& not ationd ed ominationO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

A.2 Sur le gradient : normes & notation de negligeabiliteo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

Ex. A. 1 Etude locale d'un champ de vecteur analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4Table des matieresB

Elements de correction des exercices et problemes69

B.1 Corriges du chapitre 1 - Algebre tensorielle

69
Ex. : Sur la convention de sommation sur les indices repetes 69
Ex. : Verication de la coherence de la denition du produit scalaire 69
Ex. : De l'inter^et de la notation produit tensoriel 70

Ex. : Transposition d'un produit tensoriel

70
Ex. : Application de la denition multilineaire recurrente au casn= 2. . . . . . . . . . . . . 70 Ex. : Changement de base pour un tenseur d'ordre 2 application bilineaire 71

Ex. : Produit contracte de deux vecteurs

71
Ex. : Produit contracte d'un tenseur d'ordre 2 et d'un vecteur 71
Ex. : Produit contracte de deux tenseurs d'ordre 2 71
Ex. : Associativite du produit de contraction dans un cas general 71
Ex. : Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d'un determinant 72
Ex. : Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual 72

Ex. : Formule du double produit vectoriel

72
Ex. : Vecteur dual d'un tenseur d'ordre 2 symetrique 73
Ex. : Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual 73

B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle

73
Ex. : Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general 73
Ex. : Divergence et rotationnel d'un produit scalaire-vecteur 74
Ex. : Compositions d'operateurs dierentiels nulles 74

Ex. : Divergence d'un gradient transpose

75
Ex. : Divergence et rotationnel d'un produit vectoriel 75

Ex. : Divergence d'un produit tensoriel

75

Ex. : Divergence de divers produits

75
Ex. : Formule du double rotationnel et application 75

Ex. : Formules de Navier en elasticite

76
Ex. : Reecritures du terme non lineaire de l'equation de Navier-Stokes 76
Ex. : Derivee particulaire de la densite d'energie cinetique 76
Ex. : Sur le calcul du laplacien d'un champ vectoriel en cylindriques 76
Pb. : Aspects mathematiques de l'etude d'un tuyau sous pression 76
Pb. : Aspects mathematiques de l'etude d'un rheometre de Couette cylindrique 77

Introduction

Laphysique des milieux continusest une branche de la physique, qui s'est developpee au XIX emesiecle puis a connu des sommets au XXemesiecle, dans laquelle la matiere est consideree a des echelles susamment grandes pour que sa nature discrete, en tant que somme d'electrons, de protons et neutrons en interactions dans le vide, n'apparaisse pas. Au contraire, la matiere est consideree comme la reunion de milieux continus uides ou solides, separes par des interfaces. De m^eme, le rayonnement est considere comme consistant en des vibrations continues des champs electrique et magnetique

1, et non comme des photons discrets. Les eets quantiques sont donc

: la physique des milieux continus releve de laphysique classique. Les grands domaines de la physique des milieux continus sont 2 1. l athermomecanique; 2. l 'electromagnetisme; 3. l arelativite. De ces domaines seuls les deux premiers relevent des sciences de l'ingenieur

3, et seul le tout premier

est enseigne a Mines Nancy en 1 ereannee, dans les modulesMecanique des milieux continus solides et uidespuisTransformation de la matiere et de l'energie. Tous ces domaines se sont developpes gr^ace au bon sens physique de certains de nos anc^etres, et aussi gr^ace a la mise au point par ces m^emes anc^etres

4d'outils mathematiquesque l'on pourrait designer comme l' vectorielle generalisee

5>et l',

mais que l'on appelle plut^otou plus simplementtensoriel>, sous-entendant l'adjectif...1. Le lieu de ces vibrations ouest soit le vide, que l'on peut considerer comme lele

plus simple possible, soit la matiere...

2. Les frontieres entre ces domaines sont poreuses. Par exemple la modelisation complete des eets piezoelectriques

ou thermoelectriques est a l'interface entre les domaines 1 et 2. De m^eme en relativite (domaine 3) on peut se poser

la question des lois de transformation des champs electromagnetiques (domaine 2) par changement entre deux

referentiels en translation tres rapide...

3. Quoiqu'en spatial des eets relativistes soient a prendre en compte...

4. Par exemple, Cauchy, professeur d'analyse (donc de mathematiques) a l'ecole polytechnique au debut du

XIX

emesiecle... et inventeur du, objet incontournable de la mecanique des

milieux continus...

5. Le motvient de l'arabesigniantou. L'algebre etudie

les() entre nombres, vecteurs, matrices, etc..., via dierentes, somme,

produits, etc...

6. Le motvient du grecsigniant. L'analyseet

gr^ace aucalcul dierentieletintegralou. Ainsi la variation de temperature entre les

deux extremites d'un segment estcommeT(b)T(a) =Rb adT=Rb aT0(x)dx... La m^eme

doit pouvoir ^etre faite pour un champ de vecteurs, par exemple le champ electrique, ce qui introduit la question de

lad'un champ de vecteurs, etc...

6IntroductionEn puriste, on distinguerait

lecalcul tensoriel(forcement algebrique mais non dierentiel), dans lequel lestenseurs sont desobjets algebriques, cf. le chapitre1 ducalcul tensoriel(toujours algebrique)dierentiel, cf. les chapitres2 e t3 , dans le- quel ces objets se mettre a dependre de la position dans l'espace physique - ce sont des - et cette dependance est... Dans les deux cas, des liens forts avec lageometrieexistent : cf. par exemple toutes les applica- tions geometriques de la section 1. 6 , ou encore l'etude du gradient d'un champ de vecteur de la sectionquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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