[PDF] Exercices corrigés sur les séries de fonctions

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n1(1)nxn n n1f n(x);??fn(x) ={n1??x=n

0??x̸=n:

>0? n1fn? ??fn(x) =x(1x)n? ???? >1? f n(x) =sin(2nx) n n: u n:= (1)n∫=2 0 cosnxdx: n1un(x)? ?? u n(x) := (1)nn n

2+jxj:

0(1)nn∑

k=0(1)kakan: n1fn? ?? f n(x) :=x n(1 +n2x); x0: ??? ??????? ???S(x)!0???????x! 1? sup x2[0;1] (1)nxn n =1 n f n(x) :=xn n ; n2N; x2[0;1]: ??? ???? ????x??? ????[0;1]?fn(x)??????? ???????n?????? ?????? ???[0;1]?

F(x) ={x1??x2N

0?????:

N n=1f n(x)F(x) ={x1??x2N??xN+ 1

0?????:

sup x2R+ N n=1f n(x)F(x) =1

N+ 1!0???????N! 1:

sup x2R+jfn(x)j=1 n sup x2Rjfn(x)j=fn(1 p n =n1 n 1 e =1 e 1 n 1+; f ′n(x) =x1(1x)n1((n+)x): sup x2[0;1]jfn(x)j=fn( n+) n+) 1 n+) n n ??? ????x2]0;1[? 1 n=1x n(1x) = (1x)(

1∑

n=0x n1) = (1x)(1 1x1) =x:

S(x) ={x??x2[0;1[;

0??x= 1:

??? ????x̸= 0? 1 n=1x 2 (1 +x2)n=x2(

1∑

n=0( 1

1 +x2)

n 1) =x20 B @1 11

1 +x211

C A= 1:

S(x) ={1??x̸= 0;

0??x= 0:

sup x2Rjfn(x)j=1 n n; sup x2R f(m)n(x)=(2m n n ((2m n n)1=n =2m n !0???????n! 1; f(x) ={1??x= 0;

0??x2]0;=2]:

0cosnxdx???? ???? ???? ???????n! 1? ?? ????? ?????"2]0;=2[? ?? ??????N2N??? ???

nN=)cosn" 2 ?????? ???? ????nN? =2 0 cosnxdx=∫ "=2 0 cosnxdx+∫ =2 "=2cosnxdx" 2 2 2

0cosnxdx?

sup x2[;=2]j(1)ncosnxj= cosn!0???????n! 1: v n:= (1)n∫ 0 cosnxdx??wn:= (1)n∫=2 cosnxdx

01∑

n=0v nv0=∫ 0 dx=: 1 n=0w n=∫ =2

1∑

n=0(1)ncosnx) dx=∫ =2 1

1 + cosxdx=∫

1 tg(=2)du= 1tg 2 u= tgx 2 ;cosx=1u2

1 +u2;dx=2

1 +u2du:

1tg 2

1∑

n=0u n1tg 2 n=0un= 1? ??? ??????An:=∑n (Pn)jAnj= (1)nAn??jAnj an: ?? ? ?An+1=An+ (1)n+1an+1? ?? ???? (1)n+1An+1=an+1(1)nAn =an+1 jAnj[???????(Pn)]

0;[???????(Pn)]

????(Pn+1)??? ?????? ?????? g x:y7!y y

2+jxj(y0):

?? ??????? ??? ??????? ????y2R+? ??? g ′x(y) =jxj y2 (y2+jxj)2; jxj?? R

N(x) :=1∑

n=N(1)nn n 2+jxj sup x2RjRN(x)j 1 N jRn(x)j juN(x)j sup x ′2R uN(x′)=1 N jxj)? R

N(x) =+????:=M∑

n=N(1)njun(x)j??:=1∑ n=M+1(1)njun(x)j: =MN∑ k=0(1)N+kjuN+k(x)j= (1)NMN∑ k=0(1)kjuN+k(x)j;

0(1)MNMN∑

k=0(1)kjuN+k(x)j juM(x)j: jj= (1)MNMN∑ k=0(1)kjuN+k(x)j sup x2RjuM(x)j= sup x2RM M

2+jxj=1

M 1 N ??????? ?????=RM+1(x)? ?? ????? ??? jj=jRM+1(x)j juM+1(x)j sup x2RjuM+1(x)j=1 M+ 11 N ??(1)M????? ?? ????? ??(1)M+1? ?? ? ? jRN(x)j=j+j=jjj jjj 1 N sup x2RjRN(x)j 1 N ?????? ??x? f ′n(x) =n(1 +n2x)xn3 n

2(1 +n2x)2=1

n(1 +n2x)2: sup x2R+jfn(x)j= limx!1x n(1 +n2x)=1 n 3: f′n(x)=1 n(1 +n2x)21 n(1 +n2a)21 a 21
n 5: S ′(x) =1∑ n=1f ′n(x):

S(x)S(0)

x =S(x) x =1∑ n=11 n(1 +n2x)∫ 1 11 t(1 +t2x)dt=1 2 1 x1 u(1 +u)du; 1 x1 u(1 +u)du=∫ 1 x( 1 u 1 1 +u) du=[ lnu 1 +u] 1 x =lnx

1 +x! 1

???????x!0+? ??????(S(x)S(0))=x???? ???? ??????? ???????x!0+? ?? ?? ?????S????? n=1x n(1+n2x)=∑1 n=11 n 3):

1∑

n=1x n(1 +n2x)(3) =1∑ n=11 n 3+n x 1 n

3=1∑

n=1 n x n 6+n4 x =1 x 1 n=11 n 5+n3 xquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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