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Exercices - Suites et séries de fonctions: corrigéExercice 1- Vrai/Faux-L2/Math Spé-?

1. VRAI/VRAI (les inégalités larges se conservent par passage à la limite).

2. FAUX/FAUX (penser àfn(x) =xnsur[0,1/2]).

3. VRAI/VRAI

4. FAUX (penser àfn(x) =xnsur[0,1]) / VRAI (c"est tout l"intérêt des convergences

uniformes).

Convergence de suites de fonctions

Exercice 2- Premières études de convergence uniforme-L2/Math Spé-?

1. On a :

f n(x) =1-xn1-x, et donc la suite converge simplement versf(x) =11-xsur]-1,1[. Posons?n(x) = f(x)-fn(x). On a : n(x) =-xn1-x, qui tend vers-∞si x tend vers 1. D"où?fn-f?∞= +∞et la convergence n"est pas uniforme sur]-1,1[. Dans le deuxième cas, on vérifie aisément en étudiant?nque : sup x?[-a;a]|?n(x)|=an1-a, ce qui garantit la convergence uniforme sur[-a,a].

2. Il est clair quefnconverge simplement vers la fonction nulle sur[0,1](séparer les cas

x= 0,x= 1,x?]0,1[). D"autre part, on a : f ?n(x) =-nxn-1(nlnx+ 1), et la dérivée s"annule ene-1/n. Or, f n(e-1/n) =-e-1=? ?fn?∞≥e-1.

La convergence n"est pas uniforme.

Posonsg(x) =e-xsin(2x). On afn(x) =g(nx), et donc la suite ?fn?∞=?g?∞>0 vaut une constante strictement positive, elle ne peut pas tendre vers 0 quandn→+∞: la convergence n"est pas uniforme surR+. En revanche, sia >0etx≥a, on a : ce qui prouve la convergence uniforme sur[a,+∞[.http://www.bibmath.net1

Exercices - Suites et séries de fonctions: corrigéExercice 3- Avec paramètre-L2/Math Spé-?

Pourx= 1, on afn(1) = 0quelque soitn. Pourx?[0,1[, par comparaison entre puissances et exponentielles, on sait quefn(x)tend vers 0. Donc la suite(fn)converge simplement vers 0.

Pour étudier la convergence uniforme, on doit étudier la suite?fn-0?∞. Pour cela, on dérive

f n: f ?n(x) =na+1xn-1(1-x)-naxn=naxn-1(n(1-x)-x). Ainsi,f?ns"annule en 0 et enxn=nn+1qui sont tous les deux des points de[0,1]. Puisque f n(0) =fn(1) = 0, on trouve que ?fn?∞=|fn(xn)| =na?nn+ 1? n?

1-1n+ 1?

nan+ 1? nn+ 1? n Or, en passant par l"exponentielle et le logarithme, on prouve facilement que ?nn+ 1? n →e-1.

On en déduit que

?fn?∞≂+∞e-1na-1. Ainsi,(fn)converge uniformément vers 0 (ie(?fn?∞)tend vers 0) si et seulement sia <1.

Exercice 4--L2/Math Spé-?

Les fonctionsfnsont paires, on peut restreindre l"étude à[0,+∞[.fn(0) =net donc(fn(0)) diverge. Pourx >0, la comparaison des fonctions puissance et exponentielle fait que(ne-n2x2) tend vers 0. Donc la suite(fn)converge simplement vers la fonction nulle surR\{0}.

Passons à l"étude de la convergence uniforme. Sur[a,+∞[, les fonctions(fn)sont positives et

décroissantes. On a donc sup et comme(fn(a))tend vers 0, il en est de même de(supx?[a,+∞[|fn(x)-0|)n. La convergence est donc uniforme sur[a,+∞[. Sur]0,+∞[, on a sup x?]0,+∞[|fn(0)| ≥fn(1/n) =ne-1→+∞. La convergence n"est donc pas uniforme sur]0,+∞[. Exercice 5- Étude qualitative-L2/Math Spé-??

1. Pourx= 0, on afn(x) = 0. Pourx?= 0, on afn(x)≂+∞2nxn2nx2→0. Donc la suite(fn)

converge simplement vers la fonction nulle.

2. On a

I n=? 1 02 nx1 + 2 nnx2dx ?12nln?1 + 2nnx2??1 0 =12nln(1 + 2nn).http://www.bibmath.net2 Exercices - Suites et séries de fonctions: corrigéAinsi, on trouve que I n≂+∞12nln(2nn) =nln2 + lnn2n→ln22 Si la suite(fn)convergeait uniformément sur[0,1], on aurait d"après le théorème d"inver- sion limite/intégrale ln22 = limn→+∞? 1

0fn(t)dt=?

1

0limnfn(t)dt=?

1

00dt= 0.

Ce n"est pas le cas, donc on n"a pas convergence uniforme de(fn)sur[0,1].

3. Posonsxn=12

n. Alors f n(xn) =11 + n2 n→1.

En particulier, pournassez grand, on a

?fn-0?∞≥fn(xn)≥1/2. Ceci prouve directement que la suite(fn)ne converge pas uniformément sur[0,1]. Exercice 6- Exemples plus difficiles-L2/Math Spé-??

1. Puisque

⎷x il est clair que la suitefnconverge simplement vers 0 surR+. Pour étudier la convergence uniforme, remarquons quefns"écrit : f n(x) =1⎷n sin(nx)⎷nx =1⎷n g(nx), oùg(x) =sinx⎷x ,g(0) = 0. Prouvons quegest bornée : d"abord,gest continue sur[1,+∞[, et elle admet une limite finie (=0) en+∞:gest bornée sur[1,+∞[. D"autre part, puisque sinx≂x,limx→0g(x) = 0, etgest continue sur[0,1]: elle y est donc bornée, et finalement gest bornée surR+. Maintenant, ?fn?∞=????1⎷n g????∞=1⎷n ?g?∞→0, ce qui prouve la convergence uniforme vers 0.

2. Par périodicité, on peut se ramener à l"intervalle[-π,π]. Prouvons d"abord la convergence

simple vers 0. Si|sin(x)| ?= 1, le résultat est simple car alorssinnxtend vers 0. Si |sinx|= 1, alorscosx= 0et dans ce casfn(x) = 0. Prouvons désormais la convergence uniforme de(fn)vers 0 en étudiant, pour chaquenfixé, la fonctionfn. Remarquons quefnétant continue bornée et2π-périodique, elle admet un maximum et un minimum surR. En ce maximum et en ce minimum, on a nécessairef?n(x) = 0. Mais,f?n(x) = sin n-1(x)(ncos2x-sin2x). On remplace encoresin2xpar1-cos2x, pour trouver que f ?n(x) = sinn-1(x)?(n+ 1)cos2x-1?.http://www.bibmath.net3

Exercices - Suites et séries de fonctions: corrigéLes points où la dérivée s"annule sont ceux pour lesquelssinn-1(x) = 0oucos2x=1n+1.

Les premiers donnentfn(x) = 0. Pour les seconds, on ne peut malheureusement pas calculer expliciter les valeurs dexpour lesquellescos2x=1n+1. Mais si on remplace directement dans l"expression defn, on trouve qu"en ces points

Ainsi, on a démontré que

sup ce qui achève la preuve de la convergence uniforme surRde(fn)vers 0.

Exercice 7--L2/Math Spé-??

1. On a

(n-1)xn →xet donc, par théorème de composition des limites,fn(x)→expour tout x?R.

2. Fixonsb?Rqu"on peut supposer positif, et prenonsx?]-∞,b]. Alors, d"après l"inégalité

des accroissements finis, ????exp?(n-1)xn -x????sup t?Ix|exp(t)| |x|n sup t?Ix|exp(t)| oùIxest l"intervalle?(n-1)xn ,x? six >0, l"intervalle? x,(n-1)xn alors|x|n sup

Six <0, alors

|x|n sup

Or, il est très facile de vérifier que la fonctionx?→ |x|exp(x/2)est majorée sur]- ∞,0].

C"est en effet une fonction continue qui tend vers 0 en-∞. Ainsi, il existeMtel que, pour toutx <0,

On en déduit, pour toutx?]- ∞,b],

????exp?(n-1)xn ce qui prouve la convergence uniforme sur]- ∞,b].

3. On a

exp(n)-f(n) = exp(n)-exp(n-1) = exp(n)(1-exp(1-1/n)) exp(n)n Ceci prouve que la convergence n"est pas uniforme surRtout entier.http://www.bibmath.net4

Exercices - Suites et séries de fonctions: corrigéExercice 8- Une belle bosse-L2/Math Spé-???

Soitx?R+. Il existe unn0tel que pourn≥n0,fn(x) =?1-xn n= exp?nln?1-xn

Maintenant,

ln? 1-xn =-xn +o?xn

On a donc

f n(x) =e-x+o(x), ce qui prouve quefnconverge simplement vers la fonctionf(x) =e-x. On pose alors?n(x) = f n(x)-f(x).?nest dérivable sur[0,n], et sa dérivée vaut : ?n(x) =-? 1-xn n-1 +e-x. Malheureusement, cette fonction n"est pas très facile non plus à étudier. On notex0un point où la dérivée s"annule. Essayons de majorer|?n(x0)|: n(x0) =? 1-x0n n -e-x0 1-x0n 1-x0n n-1 -e-x0 =-e-xx0n

Posonsgn(x) =e-xxn

.Sur[0,n], la borne supérieure de|?n(x)|est atteinte ou a une borne de

l"intervalle, ou en un point où la dérivée s"annule. Sur[n,+∞[, on constate facilement que c"est

enn. On a donc : e -n,maxx?[0,n]|gn(x)|? On s"est donc ramené à l"étude d"une fonction plus facile à manipuler. En effet, g ?n(x) = 0??e-xn (1-x) = 0??x= 1.

Ceci prouve que

sup e -n,e-1n

Bref, on a :

La suite(fn)converge uniformément surR+versf.

Exercice 9- Suite récurrente-L2/Math Spé-???

1. Fixonsx?Iet posons, pourt?I,φ(t) =t+12

(x-t2), de sorte quefn+1(x) =φ(fn(x)). Posons, pour simplifier les notations,un=fn(x). On doit étudier la suite récurrente u n+1=φ(un), avecu0= 0. Remarquons queφ?(t) = 1-t≥0et doncφest croissante surI. On a de plusφ(I) = [φ(0),φ(1)] = [x/2,(x+ 1)/2]et doncφ(I)?I. Ainsi,(un) est à valeurs dansI. De plus,u1≥u0et donc la suite(un)est croissante. Ainsi, la suite est croissante, majorée donc elle converge. Sa limitelvérifieφ(l) =lsoit immédiatement l=⎷x.http://www.bibmath.net5

Exercices - Suites et séries de fonctions: corrigé2. D"après la question précédente, on sait que, pour tout entiern?Net toutx?I, on a

f = (⎷x-fn(x)??1-(⎷x+fn(x))/2?

Par récurrence immédiate, on obtient

ce qui est le résultat demandé.

3. Si on étudie la fonctiont?→t(1-t)nsur[0,1], on vérifie qu"elle atteint son maximum en

t= 1/(n+ 1). On en déduit que

1-1n+ 1?

n

Passant par l"exponentielle, on remarque que

1-1n+ 1?

n →e-1 et donc on a majoré|⎷x-fn(x)|par une quantité indépendante dexet qui tend vers 0. Ceci prouve la convergence uniforme de la suite sur[0,1].

Convergence de séries de fonctions

Exercice 10- Exemples et contre-exemples-L2/Math Spé/Agreg interne-?

1. Il est très facile de prouver la convergence simple surR+. Pourx= 0, on a en effet

u n(0) = 0, qui est bien le terme général d"une série convergente. Pourx >0, on a u n(x)≂n→+∞xn

2, qui est aussi le terme général d"une série convergente.

2. On va prouver la convergence normale. On a en effet, pour toutx?[0,A],

2, terme général d"une série convergente.

2+k2≥15n. On

obtient finalement v n≥n×15n=15 .http://www.bibmath.net6

Exercices - Suites et séries de fonctions: corrigé4. Il est plus difficile de prouver la non-convergence uniforme. On peut procéder de la façon

suivante. Supposons que la convergence est uniforme. Alors, pour toutε >0, il existe un entierNtel que, pour toutn≥N, et toutx?R+, on ait k=n+1u k(x)?

En particulier, pourn=Netx=N, on doit avoir

2n? k=n+1u Mais,

ε≥2n?

k=n+1u n(n)≥15

Bien sûr, siε <1/5, c"est impossible.

Cette partie de la démonstration est souvent rédigée en niant le critère de Cauchy uni- forme.

5. Nous allons prouver la convergence uniforme en utilisant le critère des séries alternées.

En effet, àxfixé, la suite(un(x))est positive, décroissante et tend vers 0. La série?+∞n=1(-1)nun(x)est donc convergente, et on a la majoration du reste :

k=n(-1)nun(x)? 2+x2. Reste à majorer le membre de droite de l"équation précédente par un terme qui tend vers

0 et ne dépend pas dex. Mais on a

xn 2+n2n

On a donc bien convergence uniforme surR+.

6. Puisque|(-1)nun(x)|=|un(x)|, la convergence normale sur[0,A]se démontre comme

ci-dessus.

7. D"autre part, si on avait convergence normale surR+, alors on aurait aussi convergence

normale de la série? nun(x)surR+, donc convergence uniforme de cette même série, ce qui n"est pas le cas d"après la première question. Exercice 11- Exemples et contre-exemples-Math Spé/L3/L2-?

1. Pourx?]0,1[,un(x)>0et

u n+1(x)u n(x)→x?]0,1[. Par le critère de d"Alembert, la série de terme généralun(x)est convergente. Six= 1, alorsun(x) = 0et la convergence est triviale. De plus, on a clairementS(1) = 0. La convergence dans le casx= 0est elle aussi triviale.http://www.bibmath.net7

Exercices - Suites et séries de fonctions: corrigé2. Pour étudier la convergence normale, on doit étudier la série

n?un?∞. Pour calculer |un?∞, on dériveun: u ?n(x) =na+1xn-1(1-x)-naxn=naxn-1(n(1-x)-x). Ainsi,u?ns"annule en 0 et enxn=nn+1qui sont tous les deux des points de[0,1]. Puisque u n(0) =un(1) = 0, on trouve que ?un?∞=|un(xn)| =na?nn+ 1? n?

1-1n+ 1?

nan+ 1? nn+ 1? n Or, en passant par l"exponentielle et le logarithme, on prouve facilement que ?nn+ 1? n →e-1.

On en déduit que

?un?∞≂+∞e-1na-1. Ainsi, il y a convergence normale si et seulement sia <0.

3. Sia= 0etx?[0,1[, on peut encore écrire

S(x) =?

n≥0xn-? n≥0xn+1= 1. Ainsi,S= 1sur[0,1[etS(1) = 0. La convergence ne peut pas être uniforme sur[0,1]. En effet, si cela était le cas, alors puisque chaque termex?→un(x)est continue sur[0,1], ce serait également le cas de la somme, ce qui n"est pas le cas ici.

4. Nous allons utiliser la question précédente, en remarquant que, pourx?[0,1[eta >0,

n axn(1-x)≥xn(1-x) ce qui impliqueS(x)≥1six?[0,1[. Une nouvelle fois, ceci interdit la convergencequotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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