[PDF] Exercices sur les formules dérivations et quelques applications

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Exercices sur les formules dérivations et quelques applications Calcul diérentiel - Hiver 2020 - Yannick Delbecque

Dérivées de puissances

Question 1

Voici quatre des propriétés de base pour la dérivée. (D1) dxndx =nxn1(n2N) (D2) d(C)dx =0 (C2R)(D3) d(Cu)dx =Cdudx (D4) d(u+v)dx =dudx +dvdxCalculez la dérivée de la fonctiony=x22+2x5en n"utilisant que les propriétés (D1) à (D4) et en spécifiant à chaque étape du calcul quelle propriété est utilisée.

Question 2

Trouver la dérivée des fonctions suivantes à l"aide des propriétés de la dérivée (les "formules de dérivation»). Exprimer le résultat sans utiliser d"exposants fractionnaires ou négatifs. a)y=x9 b)y=x12 c)f (x)=x7=4 d)y=1x

3e)y=1x

6 f)f(x)=5px g)g(t)=1pt h)u=5px

2i)y=21px

3 j)f(x)=13 px k)x (t)=37 3pt 5

Question 3

Trouver la dérivée des fonctions suivantes.

a)f(x)=4 b)v(t)=t c)h(x)=5x3 d)x(t)=3t4 e)y=95 4px f)x(r)=58rg)f(x)=8x34x2+9x1 h)y=43 px

25x7+16x334

i)f(x)=x23(4x+1) j)y=52x32 k)f(x)=(3x+1)3 l)g(t)=4 3t

2+1!1t3

Question 4

Donner la dérivée de chacune des fonctions au point indiqué. a)f(x)=3x+1 au point (2;7). b)s(t)=t3+2t2+3t2 au point (1;2). c)y=23x45x2au point1;215 d)f(t)=t34t2 au pointk;f(k).Question 5 Donner l"équation de la droite tangente au graphe defpour la valeur donnée dex. a)f(x)=x2, enx=2. b)f(x)=x3, enx=1. c)f(x)=1x , enx=1. d)f(x)=1x , enx=3.e)f(x)=1x , enx=p2. f)f(x)=px, enx=1. g)f(x)=px, enx=4.

Question 6

Pour quelle(s) valeur(s) dexla courbe décrite par la fonction f(x) admet-elle une tangente horizontale? a)f(x)=3x24x+1. b)f(x)=x44 x. c)f(x)=x55 x.d)f(x)=2x3+3x212x. e)f(x)=x+1x f)f(x)=1x +1x 2.

Question 7

Déterminer pour quelle valeur dexla fonction quadratique f(x)=x24 3x1 atteint un maximum. (Ind. la tangente est horizontale à un point maximum).

Question 8

Trouver une valeur dexpour laquelle la fonction définie pary= 1x

2admet une droite tangente parallèle à la droitey=x4

1.

Question 9

Trouver deux valeurs dexpour laquelle la fonctiony=x33x admet une droite tangente perpendiculaire à la droitey=3x5 1. (Rappel : si deux droites sont perpendiculaires, le produit de leurs pentes est1.)

Question 10

Utilisez l"approximation d"un fonction par sa droite tangente en x=a f(x)f(a)+f0(a)(xa) pour trouver une approximation des valeurs demandées pour les fonctions données. Faire une esquisse qui illustre l"approximation qui est faite. a)f(x)=x2près dex=3; approximerf(3:1). b)f(x)=x3près dex=1; approximerf(0:9). c)f(x)=1x près dex=10; approximerf(11). d)f(x)=pxprès dex=4; approximerf(4:1). 1

2 Exercices sur les formules dérivations et quelques applications

Question 11Illustrer par une esquisse le fait que siy=x+2est une fonction dex, alorsdy=dx.

Question 12

Déterminer les coordonnées du point de contactCentre la droite tangente à la parabole d"équationy=9x2qui passe par le point (0,5)?5xC=(x;y)xy=9x2a)Déterminer la pente de la tangente en xen calculanty0. b)

Si les coordonnées deCsont(x;y), déterminer la penteyxde la droite passant par (x;y) et (5;0) en fonction dex.

c) Vous avez calculé en a) et en b) la pente de la droite tan- gente enCde deux manières diérentes. Ces expressions doivent être égales car elles donnent toutes deux la pente de la droite tangente. Déterminer la valeur dexoù les deux pentes calculées sont égales. d) Utiliser la valeur dextrouvée pour déterminer les coordon- nées du pointC. e) Pouvez vous tracer la droite tangente passant par(5;0)corres- pondant à l"autre solution trouvée enc)?

Question 13

Il y a deux droites passant par le point (4;20) qui sont tangentes à la parabole donnée par la fonctiony=8xx2. Trouver les équations de ces droites. Pour vous aider, faire une esquisse de la situation et inspirez vous de la question précédente.

Dérivée de produits et de quotients

Question 14

Calculer la dérivée dex2(2x1)de deux manières diérentes : en utilisant la règle de Liebniz et en distribuantx2sur(2x1). Vérifier que le résultat est le même dans les deux cas.

Question 15

Trouver la dérivée des fonctions suivantes en utilisant la règle de dérivation d"un produit et simplifier le résultat obtenu. a)y=(2x1)(5x+1) b)y=(3x+1)25x3 c)f(x)=(x4+1)(2x33)) d)x=ptt4t32t2+5e)y=x(3x1)(2x5)43x2 f)f(x)=(x+1)(2x+1)(3x+1) g)f(x)=x35x243x4

Question 16

Trouver la dérivée des fonctions suivantes en utilisant la règle de dérivation d"un quotient et simplifier le résultat obtenu. a)y=x2x 2+1 b)f(x)=2xx+1c)y=2x4x 4+1 d)d(t)=4t2554t3e)f(x)=px 1x f)f(x)=x+1px

Question 17

Donner la dérivée de chacune des fonctions au point indiqué. a)f(x)=x2+6x+223xau point (0;1). b)y=t23t2pt+2tau point (1;12). c)f(x)=1x

7119x2au point (1;58

Question 18

Calculer la dérivée des fonctions suivantessans utiliser la règle du quotient. a)f(x)=x33x+1 b)f(x)=x36 x2 +26x3c)f(x)=57x510
d)f(x)=3 p64x248

Question 19

Soientu,vetwdes fonctions dérivables dex. Montrer que (uvw)0=u0uv+uv0w+uvw0 en utilisant le fait queuvw=(uv)wpour écrire le produit de trois facteurs comme une combinaison de produits de deux fac- teurs.

Question 20

La droitey=4x17est-elle tangente à la courbe def(x)= x22x8? Si oui, déterminer le point de tangence.

Question 21

Montrer qu"aucune droite de pente 1 n"est tangente à la courbe de la fonction f(x)=x2x1:

Question 22

Calculer la dérivée des fonctions suivantes en considérantn2N comme une constante naturelle quelconque.Calcul diérentiel - 201-NYA - Hiver 2020 Exercices sur les formules dérivations et quelques applications 3 a)y=1x n b)y=x1=n c)y=xnx n1d)y=xx+1+x+1x 2 e)y=px(10x)x 38
f)y=4x3x2(x+1)4px

Question 23(exploration)

L"aire un cercle est relié au rayon par la relationA=r2. a)

Déterminer

dAdr b)Déduisez du résultat obtenu en a) une relation entredAetdr. Utiliser ce résultat pour situerdAdans la figure ci dessous.rdr

Exercices récapitulatifs

Question 24

Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a)f(x)=x6 b)f(x)=23 px c)f(x)=px 3 d)y=8x34x2+9x1 e)f(x)=4x8+x25 43
f)f(x)=px 3 x42px g)y=74x3=425 x52 +44
h)y=2px +63
px +5px 8 i)f(x)=(3x1)(4x3) j)y=px+x2x5x3+9 k)f (x)=x25x2157x3l)y =x(3x2)(5x3)(62x) m)y=x2x+1x 3+2 n)f(x)=3xx1 o)f(x)=x3x2+6x p)y=x2x+1x 3+2 q)f(x)=4x2562x4 r)y=px+1x s)f(x)=px 2x t)f(x)=xx+2+x+2x 2 u)f(x)=px(6x)x 24

Question 25

La droitey=4x17est-elle tangente à la courbe def(x)= x22x8? Si oui, déterminer le point de tangence.Question 26 Lors d"un test de collision, une voiture se déplace en ligne droite vers un mur situé à 90 m du point de départ de la voiture. La positionsde la voiture (en mètres) à partir de son point de départ tsecondes après son départ est donnée pars(t)=4t+t22 a) À quelle distance du mur la voiture se trouve-t-elle 2s après son départ? b) Quelle est sa vitesse 2 secondes après son départ ? c) À quelle distance du mur la voiture se trouve-t-elle lorsque sa vitesse est de 30km/h? d) Combien de temps lui faut-il avant d"entrer en collision avec le mur? e)

Quelle est sa vitesse lors de l"impact ?

f) Quelle est son accélération au moment de l"impact ?

Question 27

Supposons que durant les deux premières années de sa vie, la masse (en kilogrammes) d"un bébé en fonction du tempst(en mois) écoulé depuis sa naissance est donnée par la fonction m(t)=p12+7t. a) Quelle est la masse du bébé à sa naissance ? b) Évaluer l"expressionm(8)m(5)3et en donner un interpréta- tion. c) Quelle fonction donne le taux de croissance instantané de la masse du bébé? d) Quel est le taux de croissance instantané de la masse du bébé lorsque celui-ci est âgé de 9 mois? Interpréter. e) Le bébé grossit-il plus rapidement à 3 mois ou à 9 mois?

Question 28

En supposant connue la formule donnant la dérivée d"un produit de deux fonctions, démontrer que

0BBBB@f(x)g(x)1

CCCCA0

=f0(x)g(x)f(x)g0(x)( f(x))2:

Question 29

Trouver la valeur que l"on doit donner à la constantekpour que la courbe d"équationy=x2+kxsoit tangente à la droitey=x+4. (Indice : faire un dessin de la situation pour déterminer sous quelles conditions ce qui est demandé est possible.)

Question 30

Démontrer que(xn)0=nxx1en utilisant la formule généralisée du produit denfonctions : u 1un

0=u01u2un+u1u02u3un++u1un1u0n:

Ind. Utiliser le fait quexnest le le produitxx|{z} nfois.Calcul diérentiel - 201-NYA - Hiver 2020

4 Exercices sur les formules dérivations et quelques applications

Solutions

Question 1

x22 +2x5! 0 =12 x20+2x50(D4) 12 x20+2x50(D3) 12

2x+25x4(D1)

=x+10x4:

Question 2

a) dydx =9x8 b) dydx =12x 13 c)f0(x)=74 x34 d)y0=3x 4 e) dydx =6x 7 f)f0(x)=15 5px

4g)g0(t)=t1=20

12 t 12 1 =12 t32 =12 pt 3 h) dudx =25 5px 3 i)y0=21x3=2 =21x3=2 =21 32 x 5=2 =632 px 5 j)f0(x)=13 3px 4 k)x0(t)=37 53
t 8=3 57
3pt 8

Question 3

a)f0(x)=0 b)v0(t)=1 c)h0(x)=15x2 d)x0(t)=34 e) dydx =920 4px 5 f)x0(r)=58r2 g)f0(x)=24x28x+9 h) dydx =83 3px

535x612x4

i)f0(x)=12x2+2x12 j) dydx =30x22x3 k)f0(x)=81x2+54x+9 l)g0(t)=12t21224t 3

Question 4

a)f0(x)=3. Au point (2;7),x=2, donc la dérivée enx=2est f0(2)3 b)s0 (t)=3t2+4t+3, doncs0(1)=4 c) 1415
d) 3k22

2Question 5

a)

La dérivée defestf0(x)=x2. La pente de la

tangente enx=2estf0(2)=4. On cherche l"équation de la droite de pente 4 qui passe par (2;f(2))=(2;4) et on trouvey=4x4. b)y=3x2 c)y=x+2 d)y=x9 +23
e)y=x2 +p2 f)y=x2 +12 g)y=x4 +1

Question 6

a)

Comme un tangente horizontale est de pente 0

et que la pente de la tangente est donnée parf0, on cherchextel quef0(x)=0. On trouve que f0(x)=0 six=23 b)f0(x)=0 six=1 c)f0(x)=0 six=1 oux=1 d)f0(x)=0 six=2 etx=1 e)f0(x)=0 six=1 etx=1 f)f0(x)=1x 22x

3=x+2x

3.f0(x)=0 six=2

Question 7

La fonction dérivée est

f

0(x)=x2

3: Si la tangente est horizontale au maximum, elle doit être de pente 0. On doit donc avoir quef0(x)=0, c"est-à-dire que x2 3=0:

En isolantx, on trouve quex=6.

Question 8

Rappel : deux droites sont parallèle si elles ont la même pente. La pente de la droite définie par y=x4

1est14. On cherchextel que la pente de la

tengante à la fonction donnée est14. La pente de la tangente enxesty0=1x 2

0=x20=2x3=2x

3.

On résouty0=14

2x 3=14

On trouve quex=2

Question 9

x=23quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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