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LES FONCTIONS DANS L"ENSEIGNEMENT

SECONDAIREÉpisode 2

PREMIÈREA. FreslonLes fonctions

Le programme : dérivation

Contenus

Point de vue local

en un point donné;

équation.

Point de vue global

lité en 0.

A. FreslonLes fonctions

Le programme : dérivation

Capacités attendues

gente, construire la tangente; tion ou calculer la dérivée en utilisant les opérations sur les fonctions dérivables.

A. FreslonLes fonctions

Le programme : variations et courbes représentatives des fonctions.Contenus sa fonction dérivée et caractérisation des fonctions constantes;

Capacités attendues

dier la position relative de deux courbes; degré : variations, extrema, allure de la courbe.

A. FreslonLes fonctions

Le programme : fonction exponentielle

Contenus

f; notationex; nentielle.

Capacités attendues

la fonction exponentielle; phiquement les fonctionst7!e¡ktett7!ekt; nentielle.

A. FreslonLes fonctions

Dérivation

Définition

SoitIun intervalle et soitf:I!Rune fonction. Siaetbsont deux points deI, alors la droite passant par les points de coordonnées (a,f(a)) et (b,f(b)) est appelé unesécanteà la courbe représentative def.Définition SoitIun intervalle ouvert, soitf:I!Rune fonction et soitaun point de I. La pente de la sécante à la courbe représentative defcorrespondant à aetaÅhest appeléetaux d"accroissementet est égale à

TAEf(aÅh)¡f(a)h

.A. FreslonLes fonctions

Dérivation

Par exemple, on prend

f:x7!x33 Åx

avecaAE1 ethde 0 à 1 par pas de 0,1 :h10,90,80,70,60,50,40,30,20,1T1,331,271,211,161,121,081,051,031,011

A. FreslonLes fonctions

Dérivation

Définition

SoitIun intervalle ouvert. On dit qu"une fonctionf:I!Restdérivable en un pointadeIs"il existe un nombref0(a) dont le taux d"accroissement s"approche de plus en plus quandhdevient de plus en plus petit. Le nombre f

0(a) est appelénombre dérivéedefena.

La droite de pentef0(a) passant par le point de coordonnées (a,f(a)) est appeléetangenteà la courbe représentative defena.Définition SoitIun intervalle ouvert et soitf:I!Rune fonction. Elle est ditedé- rivablesi elle est dérivable en tout point de son ensemble de définition. Sinon, on appelleensemble de dérivabilitédefl"ensemble des points de son intervalle de définition auxquels elle est dérivable. La fonction f

0:x7!f0(x)

est appeléefonction dérivéedef.A. FreslonLes fonctions

Dérivation

Propriété

SoitIun intervalle ouvert etf:I!Rune fonction dérivable en un pointa deI. Alors, la tangente à la courbe représentative defenaa pour équation yAEf(a)Åf0(a)(x¡a).A. FreslonLes fonctions

Dérivation

Propriété

1.La fonction carré est dérivable surRet sa dérivée est donnée par

x7!2x

2.La fonction cube est dérivable surRet sa dérivée est donnée par

x7!3x2

3.La fonction racine carrée est dérivable sur]0,Å1[et sa dérivée est don-

née par x7!12 px

4.La fonction inverse est dérivable sur]¡1,0[et sur]0,Å1[et sa dérivée

est donnée par x7!¡1x

2Question :comment faire la preuve pour la fonction racine carrée?A. FreslonLes fonctions

Dérivation

Propriété

1.La fonction carré est dérivable surRet sa dérivée est donnée par

x7!2x

2.La fonction cube est dérivable surRet sa dérivée est donnée par

x7!3x2

3.La fonction racine carrée est dérivable sur]0,Å1[et sa dérivée est don-

née par x7!12 px

4.La fonction inverse est dérivable sur]¡1,0[et sur]0,Å1[et sa dérivée

est donnée par x7!¡1x

2Question :comment faire la preuve pour la fonction racine carrée?A. FreslonLes fonctions

Dérivation

Propriété

Soientfetgdes fonctions dérivables sur un même intervalle ouvert, alors

1.fÅgest dérivable et(fÅg)0AEf0Åg0.

2.f£gest dérivable et(f£g)0AEf0£gÅf£g0.

3.Signe s"annule pas, alorsfg

est dérivable et fg 0

AEf0£g¡g0£fg

2.

4.Siaetbsont des nombres réels fixés, alors la fonctionk:x7!f(axÅb)

est dérivable et k

0(x)AEaf0(axÅb).A. FreslonLes fonctions

Dérivation

Exercice

On considère la fonctionf:R7!Rdéfinie parf(x)AEjxj.

1.Rappeler la définition de la valeur absolue d"un nombre réel.

2.SoitxÈ0, ethun réel tel quejhjÇx2

2.1Calculerf(xÅh)¡f(x)h

2.2En déduire la valeur def0(x).

3.Calculer de mêmef0(x) pourxÇ0.

4.Soit²È0, trouver deux réelsh1,h2tels que

²jh1jDzetjh2jDz,

f(xÅh1)¡f(x)h

1AE1 etf(xÅh2)¡f(x)h

2AE¡1.

5.En déduire quefn"est pas dérivable en 0.A. FreslonLes fonctions

Variations et courbes représentatives des fonctions

Propriété

Soitf:]a,b[!Rune fonction dérivable. Sifa un extremum en un pointc de]a,b[, alors f

0(c)AE0.Question :Comment démontrer ce résultat?Exercice

Déterminer les extrema des fonctions carré et cube surR.A. FreslonLes fonctions Variations et courbes représentatives des fonctions

Propriété

Soitf:]a,b[!Rune fonction dérivable. Sifa un extremum en un pointc de]a,b[, alors f

0(c)AE0.Question :Comment démontrer ce résultat?Exercice

Déterminer les extrema des fonctions carré et cube surR.A. FreslonLes fonctions Variations et courbes représentatives des fonctions

Propriété

Soitf:]a,b[!Rune fonction dérivable. Sifa un extremum en un pointc de]a,b[, alors f

0(c)AE0.Question :Comment démontrer ce résultat?Exercice

Déterminer les extrema des fonctions carré et cube surR.A. FreslonLes fonctions Variations et courbes représentatives des fonctions

Théorème

Soitfune fonction dérivable sur un intervalle]a,b[. Alors, Sifest dérivable sur ]a,b[ et continue sur [a,b], alors il existec2]a,b[ tel que f(b)¡f(a)b¡aAEf0(c).C"est le THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS!Propriété Une fonction est constante si et seulement si elle est dérivable de dérivée nulle.

A. FreslonLes fonctions

Variations et courbes représentatives des fonctions

Théorème

Soitfune fonction dérivable sur un intervalle]a,b[. Alors, Sifest dérivable sur ]a,b[ et continue sur [a,b], alors il existec2]a,b[ tel que f(b)¡f(a)b¡aAEf0(c).C"est le THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS!Propriété Une fonction est constante si et seulement si elle est dérivable de dérivée nulle.

A. FreslonLes fonctions

Variations et courbes représentatives des fonctions

Théorème

Soitfune fonction dérivable sur un intervalle]a,b[. Alors, Sifest dérivable sur ]a,b[ et continue sur [a,b], alors il existec2]a,b[ tel que f(b)¡f(a)b¡aAEf0(c).C"est le THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS!Propriété Une fonction est constante si et seulement si elle est dérivable de dérivée nulle.

A. FreslonLes fonctions

Variations et courbes représentatives des fonctions

Exercice

Un industriel souhaite fabriquer des boîtes de 1L, c"est-à-dire 1dm 3en forme de parallélépipède rectangle dont la base est un carré de côtéxet dont la hauteur esth. Son but est d"économiser les matériaux de fabri- cation en produisant une boîte dont la surface est la plus petite possible.

Toutes les longueurs sont comprises en dm.

1.Justifier que

hAE1x 2.

2.En déduire que l"aire totale de la boîte est

f(x)AE2x2Å4x

3.Étudier la fonctionfet tracer son tableau de variations.

4.En déduire la plus petite aire possible de la boîte.A. FreslonLes fonctions

Variations et courbes représentatives des fonctions

A. FreslonLes fonctions

Variations et courbes représentatives des fonctions

Exercice

On considère trois réelsa,betcavecanon nul, ainsi que la fonction f:R!Rdéfinie par f(x)AEax2ÅbxÅc.

1.En fonction du signe dea, dresser le tableau de variation def.

2.En déduire la valeur de l"extremum def.

3.À l"aide des questions précédentes, montrer que si

¢AEb2¡4acÇ0,

alorsfne s"annule jamais.

4.Montrer de même que si¢AE0, alorsfne s"annule qu"une seule fois et

dire pour quelle valeur dex.

5.Que se passe-t-il si¢È0?A. FreslonLes fonctions

Fonction exponentielle

On chercheftelle quef0AEf.

u n(x)AE³

1Åxn

n¡!n!Å1exp(x). C"est laméthode d"Euler.A. FreslonLes fonctions

Fonction exponentielle

On chercheftelle quef0AEf.

u n(x)AE³

1Åxn

n¡!n!Å1exp(x). C"est laméthode d"Euler.A. FreslonLes fonctions

Fonction exponentielle

On chercheftelle quef0AEf.

u n(x)AE³

1Åxn

n¡!n!Å1exp(x). C"est laméthode d"Euler.A. FreslonLes fonctions

Fonction exponentielle

PourxAE1 etnAE10 :x151020100

u n(x)22,492,592,652,7A. FreslonLes fonctions

Fonction exponentielle

Théorème

Il existe une unique fonctionf:R!Rtelle quef(0)AE1et pour tout réelx, f

0(x)AEf(x).

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notéeexp.Question :Comment prouver l"unicité?Propriété

Soientxetydeux nombres réels, alors

1.exp(x)È0;

2.exp(xÅy)AEexp(x)exp(y);

3.exp(x)exp(¡x)AE1;A. FreslonLes fonctions

Fonction exponentielle

Théorème

Il existe une unique fonctionf:R!Rtelle quef(0)AE1et pour tout réelx, f

0(x)AEf(x).

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notéeexp.Question :Comment prouver l"unicité?Propriété

Soientxetydeux nombres réels, alors

1.exp(x)È0;

2.exp(xÅy)AEexp(x)exp(y);

3.exp(x)exp(¡x)AE1;A. FreslonLes fonctions

Fonction exponentielle

Théorème

Il existe une unique fonctionf:R!Rtelle quef(0)AE1et pour tout réelx, f

0(x)AEf(x).

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notéeexp.Question :Comment prouver l"unicité?Propriété

Soientxetydeux nombres réels, alors

1.exp(x)È0;

2.exp(xÅy)AEexp(x)exp(y);

3.exp(x)exp(¡x)AE1;A. FreslonLes fonctions

Fonction exponentielle

Exercice

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l"eau par l"organisme. Le taux de vasopressine dans le sang est considéré comme normal s"il est inférieur à 2,5¹g/mL. Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopres- sine suite à une hémorragie. On utilisera dans la suite la modélisation suivante : f(t)AE3te¡t4

Å2,

oùf(t) désigne le taux de vasopressine dans le sang (en¹g/mL) au bout d"un tempst(en minutes) après le début d"une hémorragie.

1.1Quel est le taux àtAE0?

1.2Justifier que douze secondes après une hémorragie, le taux de vaso-

pressine dans le sang n"est pas normal.

1.3Montrer que pour tout réeltÈ0, on a

f(t)AE12£1e t4 t

4Å2.A. FreslonLes fonctions

Fonction exponentielle

Exercice

2.Justifier que la fonctionfest dérivable sur ]0,Å1[ et montrer que

f

0(t)AE34

(4¡t)e¡t4

3.1Étudier les variations de la fonctionfet dresser son tableau de varia-

tions (en incluant la limite enÅ1.

3.2À quel instant le taux de vasopressine dans le sang est-il maximal?

Donner alors une approximation de ce taux à 10

¡2près.A. FreslonLes fonctions

Fonction exponentielle

A. FreslonLes fonctions

TERMINALEA. FreslonLes fonctions

Le programme : limites de fonctions

Contenus

parallèle à un axe de coordonnées;

Capacités attendues

les limites usuelles, les croissances comparées, les opérations sur les limites, des majorations, minorations, encadrements ou la factorisa- tion du terme prépondérant; Le programme : compléments sur la dérivation

Contenus

des sécantes, équivalence avec la position par rapport aux tangentes, la croissance def0et la positivité def00;

Capacités attendues

tions d"une fonction construite simplement à partir des fonctions de référence; bleaux de variations def,f0ouf00; fest convexe, concave ou ses points d"inflexion.A. FreslonLes fonctions Le programme : continuité des fonctions d"une variable réelleContenus vable est continue; tement monotones.

Capacités attendues

drement; une suite de la formeunÅ1AEf(un).A. FreslonLes fonctions

Le programme : fonctions de référence

Contenus

nentielle; représentatives.

Compétences attendues

écriture, résoudre une équation ou une inéquation; fonctions logarithme et exponentielle. forme cos(x)Éasur [¡¼,¼]; simple définie à partir de fonctions trigonométriques.

A. FreslonLes fonctions

Le programme : primitives et équations différentielles

Contenus

nue sur un intervalle, différence de deux primitives d"une même fonc- tion;

Compétences associées

fonctions de la formev£u0±v; une solution particulière constante et en déduire toutes les solutions.

A. FreslonLes fonctions

Le programme : calcul intégral

Contenus

ment comme aire sous la courbe et notationZ b a f(x)dx; primitives;

Le programme : calcul intégral

Capacités attendues

par parties; minoration de fonction;

Limites des fonctions

Définition (Limite infinie à l"infini)

Soitfune fonction définie sur un intervalle de la forme [a,Å1[. On dit que f(x) tend versÅ1quandxtend versÅ1sifpeut prendre des valeurs arbitrairement grandes quandxest grand. Plus précisément, si pour tout MÈ0, il existebÊatel quef(x)ÊMpour toutxÊb. On note alors lim x!Å1f(x)AEÅ1.A. FreslonLes fonctions

Limites des fonctions

Exercice

Démontrer les assertions suivantes :

1.limx!Å1x2AEÅ1et limx!¡1x2AEÅ1;

2.limx!Å1x3AEÅ1et limx!¡1x3AE¡1;

3.limx!Å1pxAEÅ1;

4.limx!Å1exAEÅ1.Question :comment résoudre la question4.?A. FreslonLes fonctions

Limites des fonctions

Définition (Limite finie à l"infini)

Soitfune fonction définie sur un intervalle [a,Å1[. On dit queftend vers un réel`quandxtend versÅ1sif(x) se rapproche arbitrairement près de`quandxdevient grand. Plus précisément, si pour tout²È0, il existe bÊatel quef(x)2]`¡²,`Ų[ quandxÊb. On note alors lim x!Å1f(x)AE`.Exercice

Montrer que

1.limx!¡11x

AE0 et limx!Å11x

AE0;

2.limx!¡1exAE0.A. FreslonLes fonctions

Limites des fonctions

Définition (Limite finie à l"infini)

Soitfune fonction définie sur un intervalle [a,Å1[. On dit queftend vers un réel`quandxtend versÅ1sif(x) se rapproche arbitrairement près de`quandxdevient grand. Plus précisément, si pour tout²È0, il existe bÊatel quef(x)2]`¡²,`Ų[ quandxÊb. On note alors lim x!Å1f(x)AE`.Exercice

Montrer que

1.limx!¡11x

AE0 et limx!Å11x

AE0;

2.limx!¡1exAE0.A. FreslonLes fonctions

Limites des fonctions

Définition

On dit que la courbe représentative defadmet uneasymptote horizontale d"équationyAE`siftend vers`quandxtend versÅ1ou quandxtend vers¡1.A. FreslonLes fonctions

Limites des fonctions

Définition

On dit que la courbe représentative defadmet uneasymptote horizontale d"équationyAE`siftend vers`quandxtend versÅ1ou quandxtend vers¡1.A. FreslonLes fonctions

Limites des fonctions

Définition (Limite infinie en un point)

Soitfune fonction définie sur un intervalle ]a,b[. On dit queftend vers Å1quandxtend versapar valeurs supérieures sif(x) est arbitrairement grand quandxs"approche dea. Plus précisément, si pour toutMÈ0, il existec2]a,b[ tel quef(x)ÈMpour toutx2]a,c[. On note alors lim x!aÅf(x)AEÅ1.Définition On dit que la courbe représentative defadmet uneasymptote verticale d"équationxAEasiftend versÅ1ou vers¡1quandxtend versapar valeurs supérieures ou inférieures.

A. FreslonLes fonctions

Limites des fonctions

Propriété

Limites d"une somme, d"un produit, d"un quotient, d"une composée. Forme indéterminée :onpeuttrouver le résultat, mais ce n"est pas automatique!Exercice On considère deux fonctionsf,g:R!Rdéfinies parf(x)AExetg(x)AEx2.

1.Donner les limites enÅ1defetg.

2.Calculer les limites enÅ1des fonctions suivantes :

fg ;gf ;ff

A. FreslonLes fonctions

Limites des fonctions

Propriété

Limites d"une somme, d"un produit, d"un quotient, d"une composée.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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