1 Introduction 2 File M/M/1 : Définition et premières propriétés
L'objet de ce TP est d'étudier les files sans M/M/1 et M/M/s où M représente Une file d'attente M/M/1 est défnie par le processus stochastique suivant.
14. Introduction aux files dattente
mod`ele de base en files d'attente se nomme M/M/1 et se généralise en notation de Kendall A/B/C/K/N/D : ? A : processus d'arrivée (M = markovien ou
Cours de Tronc Commun Scientifique Recherche Opérationnelle
Modélisation dans le cadre Markovien. Processus de Poisson. File M/M/1. Autres files. Un exemple. Conclusion. Les files d'attente (1). 1 Introduction.
Processus stochastiques modélisation
Chapitre 6 : FILE D'ATTENTE UNIQUE. 6.1 Files d'attente markoviennes p60. 6.1.1 Processus de naissance et de mort général p60. 3.1.2 La file M/M/1.
Modélisation dune le dattente
Les files d'attente sont aujourd'hui des phénomènes que l'on rencontre markovien (file M/M/1) qui repose sur l'absence de mémoire de certaines ...
SYSTÈME DE FILE DATTENTE M/M/m/FIFO/N/F À TEMPS DE
27 avr. 2001 MOTS-CLÉS : File d'attente fermé Service individuel. 1. INTRODUCTION ... m i i. 1. µ ? ?. (1c) et désignons par m – le nombre des serveurs.
Aide mémoire sur la file M/M/1
On considère une file d'attente simple avec 1 serveur. On suppose que le processus d'arrivée est un processus de Poisson de paramètre ?. Les temps de services
Files dattente
Si de plus tous les taux de naissance sont égaux à ? c'est un processus de Poisson d'intensité ?. Exemple 2 : La file M/M/1. La notation M/M/1 sera justifiée
Cours de Modélisation et dEvaluation de Performance
1. Auteur: PHAM Cong-Duc. Files d 'attente. Cours de Modélisation et m = i) ? = (P. 0. P. 1.
Files dattente
3 juin 2016 Caractérisation d'une file d'attente (Notation de Kendall). A/B/s/K/DS. Exemples : M/M/1 G/G/3/K. Dr Stephan Robert
Files d’attente
>Files d’attentehttps://membres-ljk imag fr/Bernard Ycart/cma/fil_datt pdf · Fichier PDF
14 Introduction aux files dattente - GERAD
>14 Introduction aux files d'attente - GERADhttps://www gerad ca/Sebastien Le Digabel/MTH2302D/14_files_ · Fichier PDF
TP-1 Réseaux : Simulation de la ?le M/M/1 1 Objectifs
>TP-1 Réseaux : Simulation de la ?le M/M/1 1 Objectifs https://www i3s unice fr/ /teaching/L3miage_reseaux/TP/TP1/TP1 · Fichier PDF
Les les dattente (1) - LORIA
>Les les d'attente (1) - LORIAhttps://members loria fr/FSur/enseignement/RO/Files1_FSur pdf · Fichier PDF
Comment calculer le d’attente ?
S. Remarque : La loi de Little s’applique a tous les modeles de le d’attente rencontres en pratique (pas seulement a la le M=M=1). MTH2302D: Files d’attente 13/24 1/32/33/3 Exemple 2 On considere une le d’attente M=M=1 de taux = 1 et = 2. Calculer (a l’equilibre) : 1. Le nombre moyen de clients dans le systeme, N. 2.
Comment accéder à la file d’attente ?
Le client peut accéder à la file d’attente de différentes façons, mais voici un exemple de la plus courante, étape par étape : Le client accède à la file d’attente : il scanne le code QR affiché à l’extérieur du bâtiment (p. ex., sur la porte d’entrée ou une fenêtre) avec son téléphone portable.
Comment appelle-t-on une file d'attente ?
Une file M/M/1. En théorie des files d'attente, une file M/M/1 est un type de file d'attente classique.
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14. Introduction aux les d'attente
MTH2302D
S. Le Digabel,
Ecole Polytechnique de Montreal
A2017 (v1)MTH2302D: Files d'attente1/24
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Plan1. Introduction
2. ModeleM=M=1
3. ModeleM=M=1=KMTH2302D: Files d'attente2/24
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1. Introduction
2. ModeleM=M=1
3. ModeleM=M=1=KMTH2302D: Files d'attente3/24
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Introduction
La theorie des les d'attente consiste en l'etude de systemes ou des clientsse presentent a un dispositif de service, appeleserveur. Puisqu'un client occupe le serveur pendant un certain temps, les autres clients doivent attendre avant d'^etre servis, formant ainsi unele d'attente. Quelques exemples d'application : I Reseaux informatiques : serveur = routeur, client = paquet. I Ateliers (job shop) : serveur = machine, client = t^ache. En ingenierie, on s'interesse a des metriques de performance des les d'attente, par exemple : ITaille moyenne de la le d'attente.
ITaux d'utilisation du serveur.
I Temps moyen d'attente d'un client.MTH2302D: Files d'attente4/241/32/3 3/3
Modele elementaire de le d'attente
En general, pour etudier l'impact de dierents choix de conception sur la performance d'une le d'attente, il faut construire un modele de simulation. On peut aussi utiliser un modele simplie pour lequel les metriques s'expriment par des equations analytiques. Le modele de base en les d'attente se nommeM=M=1et se generalise ennotation de KendallA=B=C=K=N=D: I A: processus d'arrivee (M= markovien oumemoryless). I B: processus de service (M= markovien oumemoryless). IC: nombre de serveurs.
IK: capacite du systeme (le + serveurs).
I N: taille de la population des clients (habituellement innie). I D: discipline de service (par defaut, FIFO, ou PAPS : 1er arrive 1er servi, mais aussi RANDOM ou PRIORITY).MTH2302D: Files d'attente5/24
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1. Introduction
2. ModeleM=M=1
3. ModeleM=M=1=KMTH2302D: Files d'attente6/24
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ModeleM=M=1
I Les clients se presentent au systeme aleatoirement selon un processus de Poisson de taux. I Le temps de service suit une loi exponentielle de taux, independamment d'un client a l'autre. ILa le d'attente peut s'etendre a l'inni.
Rappel sur le processus de Poisson :
I Le nombreA(t)d'arrivees dans l'intervalle de temps[0;t]suit une loi de Poisson de parametrec=t. I Les arrivees dans deux intervalles de temps disjoints sont independantes. I Le temps qui s'ecoule entre deux arrivees suit une loi exponentielle de taux.MTH2302D: Files d'attente7/241/32/3 3/3
Exemple 1
SoitTnle temps d'arrivee duniemeclient dans une leM=M=1. On dit queTnsuit une loi d'Erlang de parametresnet, i.e. T n(=n;).1.Trouver la fonction de repartition deTn(utiliser le processus
de Poisson).2.Calculer E(Tn)et V(Tn).MTH2302D: Files d'attente8/24
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Arrivee avant un depart et depart avant une arrivee ITemps pour qu'une nouvelle arrivee se produise :
AExp().
ITemps pour qu'un nouveau depart se produise :
DExp().
(AetDsont independantes). I Probabilite qu'une arrivee se produise avant un depart :P(A < D) =+.
I Probabilite qu'un depart se produise avant une arrivee :P(D < A) =+.MTH2302D: Files d'attente9/24
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Analyse en regime stationnaire
Il est dicile d'etudier la variable aleatoireN(t)representant le nombre de clients au tempstdans le systeme. On s'interesse plut^ot aN= limt!1N(t). On parle alors d'analyse en regime stationnaire (ou analyse a l'equilibre). Pour qu'une leM=M=1 puisse atteindre l'equilibre, il faut que < (sinon la taille de la le augmentera a l'inni).A l'equilibre, on peut montrer queP(N=n) =+P(N=n1) ++P(N=n+ 1).
Il s'agit de la regle des probabilites totales. Le terme +represente la probabilite qu'un nouveau client arrive avant que le client en service quitte le systeme, et +est la probabilite que le client en service quitte avant qu'un nouveau client n'arrive.MTH2302D: Files d'attente10/24
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Equations d'equilibre
Soitn=P(N=n). En posant les equations
1=+0++2,2=+1++3,:::,
n=+n1++n+1,:::, etP1 n=0n= 1, on trouve que n= (1)n pourn= 0;1;2;3;:::, ou= <1est deni comme l'intensite du trac. On remarque queN+ 1Geom(1).MTH2302D: Files d'attente11/241/32/3 3/3
Notations
INQ: nombre moyen de clients faisant la queue.
IN S: nombre moyen de clients en train d'^etre servis.IN=E(N) =N
Q+NS: nombre total (attente + service)
moyen de clients dans le systeme en equilibre. INQ,NSetNsont les v.a. correspondantes.
IOn aP(N=k) =k.
ITQ: temps moyen d'attente.
ITS: temps moyen de service.
IT=T Q+TS: temps moyen qu'un client passe dans le
systeme. I TQ,TSetTsont les v.a. correspondantes.MTH2302D: Files d'attente12/241/32/3 3/3
La loi de Little
La loi s'enonce ainsi :N=eT
oueest le taux d'entree dans le systeme (e=pour une leM=M=1). PuisqueN=N
Q+NSetT=T
Q+TS, on trouve
egalement queN Q=eT QetN S=eT S. Remarque :La loi de Little s'applique a tous les modeles de le d'attente rencontres en pratique (pas seulement a la leM=M=1).MTH2302D: Files d'attente13/241/32/3 3/3
Exemple 2
On considere une le d'attenteM=M=1de taux= 1et= 2.Calculer (a l'equilibre) :
1.Le nombre moyen de clients dans le systeme,N.
2.Le nombre moyen de clients en service,N
S.3.Le nombre moyen de clients dans la le d'attente,N
Q.MTH2302D: Files d'attente14/24
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ModeleM=M=1: formules
I IN=1. INS=10=.
IN Q=NN S=21.IT=N==(1)=1.
ITS= 1=.
IT Q=TTS=().MTH2302D: Files d'attente15/24
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ModeleM=M=1: formules (suite)
IUn seul serveur :NQ=0siN= 0ouN= 1,
N1siN >1.
IP(NQ= 0) =P(N= 0) +P(N= 1) =0+1=
1+(1) =(1 )(1 +).
IP(NQ=k) =P(N=k+ 1) =k+1=k+1(1), pour
k >0.MTH2302D: Files d'attente16/241/32/3 3/3
ModeleM=M=1: formules (suite)
I SiNest le nombre de clients dans le systeme a l'equilibre, alorsN+ 1 =N1Geom(p= 1). I Nombre de clients en train d'^etre servis :NSBern(). I Temps total (attente + service) passe dans la le :TExp().
ITemps d'attenteTQ(variable mixte) :
IP(TQ= 0) =0= 1.
ITQfNQ>0g Exp()(commeT).MTH2302D: Files d'attente17/241/32/3 3/3
Exemple 3
On considere une le d'attenteM=M=1de taux= 1et= 2.Calculer (a l'equilibre) :
1.Le temps moyen de sejour d'un client dans le systeme,T.
2.Le temps moyen d'attente d'un client dans la le,T
Q.3.Le temps moyen de service d'un client,T
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