[PDF] Analyse et synthèse des filtres numériques: une introduction





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Présentation PowerPoint

1.2 Transformée en Z. 1.5 Fonction de transfert. 1.3 Signaux. 2 Filtrage. 2.1 Introduction. 2.6 Synthèse d'un filtre RII. 2.2 Filtre analogique.



Le Filtrage des Signaux Numériques

La transformée en z n'a pas de sens que si l'on précise le domaine de convergence Pour un filtre passe-bas est conduit à introduire 3 régions.



Conception de filtres numériques

6. Types de distorsion en pratique. Distorsion d'amplitude ( )= H(f ) n ? Z. Réponse fréquentielle du filtre numérique passe-bas idéal.



Transformée en Z

Un SLI causal ne dépend que du passé de son entrée. Un filtre numérique est un SLI sur Z ... On veut approximer un passe bas de fréquence 0.125.



Diapositive 1

Tolérances sur le gabarit d'un filtre passe-bas non idéal La transformée en z est un outil mathématique très utile pour la synthèse des filtres ...



Traitement du signal

3.5.2 Transformée de Fourier d'un signal numérique . 4.2.3 Exemple de filtre passe-bas d'ordre 1 . ... 4.4.3 Exemple 2 : le filtre passe-bas .



FILTRAGE ANALOGIQUE et NUMERIQUE (Vol. 8)

II-2- Réalisation d'un filtre passe-bas d'ordre égal à deux I- Réponse impulsionnelle d'un système numérique et transformée en Z.



Analyse et synthèse des filtres numériques: une introduction

La transformée en Z bilatérale d'un signal `a temps discret x(n) est définie par : Un filtre passe-bas (ou passe-haut) poss`ede trois zones : la bande.



Analyse de filtres numériques

Exemple : déterminer la fonction de transfert du filtre passe-bas qui On dit que X(z) est la transformée en Z du signal x(k). Transformée en Z. Z x(k).



Traitement linéaire du signal numérique

?? ????? ?????? ???? ?? Table de transformées en z ... La transformée en z est présentée de façon détaillée dans ... Il s'agit d'un filtre passe bas type «box».

Pourquoi les filtres passe-bas sont-ils importants ?

Les filtres passe-bas sont de toute première importance, d'une part parce qu'ils sont très utilisés et d'autre part parce que la synthèse des autres filtres est grandement facilitée par la connaissance des fonctions de transfert des filtres passe-bas (voir suite du cours).

Pourquoi utiliser un filtre passe-bas numérique ?

Conclusion Le filtre passe-bas numérique permet d'obtenir une sélectivité très forte, pratiquement impossible à obtenir avec un filtre analogique. Cette grande sélectivité s'obtient avec une valeur importante de l'indice de troncature P.

Comment calculer la transformée en Z d'un filtre ?

Exemple de filtre RII : Soit le filtre obéissant à la relation suivante : y n x n y n ( ) ( ) ( ) = + ?1 2 . La transformée en Z de ce filtre s'écrit : H z z ( ) = ?? 1 21 La transformée en z inverse permet de déterminer l'élément h(n) de la réponse impulsionnelle : h n n ( ) = ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 .

Analyse et synthese des ltres numeriques: une

introduction

Olivier Sentieys

ENSSAT - Universite de Rennes 1

IRISA - CAIRN

sentieys@irisa.fr http://r2d2.enssat.fr/enseignements/Tns

28 mai 2008

Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction Plan

0Introduction

1Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Transformee enZTransformee de Fourier d'un signal discret Condition d'existence de laTFTransformee de Fourier discrete 3/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction Plan

2Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants dans le temps Representation frequentielle des systemes discrets

3Filtres numeriques

Filtrage numerique : introduction

Representation d'un ltre numerique

Specication d'un ltre numerique

Filtres non recursifs RIF

Filtres recursifs RII

4/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction Plan

4Synthese des ltres numeriques RIF

Introduction

Filtres a phase lineaire

Synthese par fen^etrage

Synthese par echantillonnage frequentiel

Synthese par approximation optimale de fonctions

5References

5/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Introduction

Introduction

Traitement (numerique) du signal (numerique) :Modeliser{ ou identier { consiste en l'analyse d'un signal

ou d'un systeme, dans le domaine temporel ou frequentiel (i.e.

spectral). On parlera egalement d'estimation.Synthetiser{ ou generer { un signal.Transmettreun ensemble de signaux sur un support.Transformerun ensemble de signaux a l'aide d'un systeme

lineaire (ltrer, moduler, coder, ...) ou non lineaire (()2,j j, 6/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Signaux a temps discrets

SequenceXde nombres dans laquelle lenieme nombre est x(n). On ecrira : X=fx(n)g 1Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Signaux a temps discret de base

1Impulsion unite(n),(nk)2Echelon uniteu(n)

u(n) =1X k=0(nk) =nX k=1(k) (n) =u(n)u(n1)3x

1(n) =An,x2(n) =Anu(n)4Sinuso

de :x3(n) =Acos(n!0+')5Cas general :x(n) =P+1 k=1x(k)(nk) e.g.p(n) =(n) + 0:5(n2)0:5(n4) 8/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Signaux a temps discret de base

1Impulsion unite(n),(nk)2Echelon uniteu(n)

u(n) =1X k=0(nk) =nX k=1(k) (n) =u(n)u(n1)3x

1(n) =An,x2(n) =Anu(n)4Sinuso

de :x3(n) =Acos(n!0+')5Cas general :x(n) =P+1 k=1x(k)(nk) e.g.p(n) =(n) + 0:5(n2)0:5(n4) 8/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Signaux a temps discret de base

1Impulsion unite(n),(nk)2Echelon uniteu(n)

u(n) =1X k=0(nk) =nX k=1(k) (n) =u(n)u(n1)3x

1(n) =An,x2(n) =Anu(n)4Sinuso

de :x3(n) =Acos(n!0+')5Cas general :x(n) =P+1 k=1x(k)(nk) e.g.p(n) =(n) + 0:5(n2)0:5(n4) 8/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Signaux a temps discret de base

1Impulsion unite(n),(nk)2Echelon uniteu(n)

u(n) =1X k=0(nk) =nX k=1(k) (n) =u(n)u(n1)3x

1(n) =An,x2(n) =Anu(n)4Sinuso

de :x3(n) =Acos(n!0+')5Cas general :x(n) =P+1 k=1x(k)(nk) e.g.p(n) =(n) + 0:5(n2)0:5(n4) 8/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Signaux a temps discret de base

1Impulsion unite(n),(nk)2Echelon uniteu(n)

u(n) =1X k=0(nk) =nX k=1(k) (n) =u(n)u(n1)3x

1(n) =An,x2(n) =Anu(n)4Sinuso

de :x3(n) =Acos(n!0+')5Cas general :x(n) =P+1 k=1x(k)(nk) e.g.p(n) =(n) + 0:5(n2)0:5(n4)8/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Transformee enZTransformee enZ

La transformee enZbilaterale d'un signal a temps discretx(n)est denie par :

Z[x(n)] =X(z) =1X

n=1x(n)zn(1) ouzest une variable complexe (z2C) denie partout ou cette serie converge. 9/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Transformee de Fourier d'un signal discret

TFd'un signal discret (non periodique)

Pour un signalx(n)discret quelconque non periodique, sa transformee de Fourier (TF) s'ecrit : X(ej ) =1X n=1x(n)ej n(2) X(ej )peut ^etre exprime a partir de la transformee enZpar la relation : X(ej ) =1X n=1x(n)znz=ej =X(z)jz=ej (3)X( )estperiodiquede periode2. Ceci implique quele spectre d'un signal discret est periodique.

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Signaux a temps discrets

Transformee de Fourier d'un signal discret

TFd'un signal discret non periodique

Exemple :x(n) =anu(n)0246810121416180

0.5 1 an avec a=0.75 -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.50 1 2 3 4

Module

-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1 -0.5 0 0.5 1

Argument11/ 59

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Signaux a temps discrets

Transformee de Fourier d'un signal discret

TFd'un signal discret non periodique

Exemple :x(n) =an;pourn= 0:::N10246810121416180

0.5 1 an limité à 6 points -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.50 1 2 3 4

Module

-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-2 -1 0 1 2

Argument12/ 59

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Signaux a temps discrets

Condition d'existence de laTFCondition d'existence de laTF(1/3) Une condition susante a la convergence de laTFpeut ^etre determinee comme suit (x(n)est diteabsolument sommable) : jX(ej )j 1X n=1jx(n)j<1 De plus, la serie converge uniformement vers une fonction continue de Certaines sequences ne sont pasabsolument sommablesmais sont decarre sommable(ou a energie nie), i.e. 1 X n=1jx(n)j2<1(4)

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Signaux a temps discrets

Condition d'existence de laTFCondition d'existence de laTF(2/3) Ces sequences peuvent ^etre representees par une transformee de Fourier mais sans convergence uniforme de la somme innie denissantX(ej

Cela signie que l'erreurjX(ej

)XM(ej )jne tend pas vers0quand M! 1mais que par contre l'energie de l'erreur tend vers0.

Exemple :

H(ej ) =1;j j< c 0; c14/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Condition d'existence de laTFCondition d'existence de laTF(3/3) H M(ej ) =MX n=Msinn cnejn

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Signaux a temps discrets

Transformee de Fourier discrete

Transformee de Fourier discrete

X(k) =N1X

n=0x(n)ej2knN ;k= 0;;N1(5) x(n) =1N N1X k=0X kej2knN ;n= 0;;N1(6)AH(A)^W ()^W A

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Systemes discrets

4. Systemes discrets

1Systemes lineaires invariants dans le temps

2Representation temporelle

3Analyse par transformee enZ4Representation frequentielle

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Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants dans le temps Systemes discrets lineaires invariants dans le temps

1Un signal d'entreee(n)esttransformeen un signal de sortie

s(n): s(:) =T[e(:)]2Un systeme est ditlineaireetinvariantdans le temps ssi :

T[ae1(n) +be2(n)] =a T[e1(n)] +b T[e2(n)]

8e1(:);8e2(:);8(a;b)

e(n)T!s(n))e(nk)T!s(nk)8e(:);8k2(N)

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Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants dans le temps

Produit de convolution (1/2)

e(n) =+1X k=1e(k)(nk) s(n) =T[e(n)] =T[+1X k=1e(k)(nk)] =+1X k=1e(k)T[(nk)]

On poseh(n) =T[(n)], alors

s(n) =+1X k=1e(k)h(nk) =e(n)h(n) =h(n)e(n)

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Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants dans le temps

Produit de convolution (2/2)

Un systeme discret est donc entierement caracterise par sareponse impulsionnelleh(n). L'operationliant la sorties(n)a l'entree e(n)et a la reponse impulsionnelle du systemeh(n)est appelee produit de convolution.

Exemple-30-20-1001020300

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 indice temporel: n reponse impulsionnelle h(n) -30-20-1001020300 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 indice temporel: n signal entrée e(n) -30-20-1001020300 1 2 3 4 5 6 7 8 indice temporel: n signal de sortie y(n)h(n): reponse impulsionnelle;e(n): entree du systeme;s(n): reponse du systeme a l'entree

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Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants dans le temps

Equation aux dierences nies

Une equation aux dierences nies peut s'ecrire sous la forme : s(n) =NX k=1a ks(nk) +MX k=0b ke(nk)(7)Systemerecursifounon-recursifReponse impulsionnelle innie (RIIou IIR) ou nie (RIFou FIR)

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