[PDF] Calcul matriciel Rappelons qu'un système

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Chapitre 1Calcul matriciel

Dans tout ce chapitre la lettreKdésigneraQ,R, ouC.

1.1 Systèmes et point de vue matriciel

Rappelons qu"un système d"équations linéaires (disons, ànéquations etminconnuesx1,...,xmdansK) se

présente sous la forme ?a

1,1x1+...+a1,mxm=b1

a2,1x1+...+a2,mxm=b2. a n,1x1+...+an,mxm=bn

Trouver les solutions d"un tel système (s"il y en a!) revient à trouver l"image inverse de{b1,...,bn}par une

certaine fonction associée au système : la fonction?:K m→Kndéfinie par f(x

1,...,xm) = (a1,1x1+...+a1,nxm,...,an,1x1+...an,mxm).

En effet, dire que(x

1,...,xm)est solution du système revient à dire quef(x1,...,xm) = (b1,...,bn), ou encore

que(x

1,...,xm)?f-1({b1,...,bn}).

Toute l"information sur la fonction?est contenue dans les valeurs dea

1,1,...,a1,m,...,an,1,...,an,m; on

regroupe ces nombres dans unematrice.

Définition 1.1.Unematriceànlignes etmcolonnes à coefficients dansKest un tableau de la forme

(a

1,1... a1,m.

an,1... an,m Quandn= 1on dit queAest unematrice ligne; quandm= 1on dit queAest unematrice colonne. Enfin, quandn=mon dit que la matrice est unematrice carrée.

On noteM

n,m(K)l"ensemble des matrices ànlignes etmcolonnes à coefficients dansK. L"ensemble des matrices carrées ànlignes etncolonnes est simplement notéM n(K).

Ces objets sont très utiles pour mener à bien des calculs pratiques; souvent, on est en fait intéressé par un

système ou une fonction associée à la matrice comme ci-dessus.

1.2 Opérations sur les matrices

Les opérations sur les fonctions se traduisent en opérations sur les matrices; notons que sif,gsont deux

fonctions deK mdansKnalors on peut considérer leur sommef+g:x?Km?→f(x) +g(x). 1 Définition 1.2.Soitn,m?N?, etA,B?Mn,m(K), leur sommeA+Best la matrice dont le coefficient sur lai-ième ligne et laj-ième colone est égal àa i,j+bi,j; et leur différenceA-Best la matrice de coefficients a i,j-bi,j.

Par exemple,?1 23 4?

+?0 11 0? =?1 33 4? . La somme de?1 11 1? et?1221? n"est pas définie.

Il est également facile de multiplier une matrice par unscalaire, c"est à dire un élément deK.

Définition 1.3.Soitn,m?N

?,λ?KetA?Mn,m(K). AlorsλAest la matrice de coefficientsλai,j. Notons que l"addition des matrices est commutative : pour toutA,B?M n,m(K)on aA+B=B+A. Elle

est également associative :(A+B) +C=A+ (B+C), et en général on l"écrit simplementA+B+C. Enfin,

pour toutλ?Kon aλ(A+B) =λA+λB.

Le produit de matrices est une opération plus intéressante; il correspond à lacompositiondes fonctions

associées aux matrices. On peut composer deux fonctions?:K m→Knetg:Km?→Kn?et considérer la

fonctionf◦gexactement quand l"espace d"arrivée degest égal à l"espace de définition de?, autrement dit

quandn ?=m. En termes de matrices, le produit de deux matricesABsera donc défini exactement quandBa autant delignesqueAa decolonnes.

Définition 1.4.Soitn,m,n

?,m??N?,A?Mn,m(K)etB?Mn?,m?(K). Alors le produitABest défini si, et seulement si,m=n ?, et dans ce cas c"est la matrice ànlignes etm?colonnes dont le coefficient sur la lignei et la colonnejest égal à (AB) i,j= m? k=1 ai,kbk,j. Pourquoi cette formule? Pensons queAest la matrice associée à une application?:K m→Kn, etBest la matrice associée à une applicationg:K m?→Km. AlorsABdoit être la matrice associée à l"application f◦g:K m?→Kn. Pourx= (x1,...,xm?), calculons : f◦g(x

1,...,xm?) =f(g(x1,...,xm?))

=f( (m?? j=1 b1,jxj,..., m?? j=1 bm,jxj m? k=1 a1,k( m?? j=1 bk,jxj),..., m? k=1 an,k( m?? j=1 bk,jxj)) m?? j=1 m? k=1 a1,kbk,j)xj,..., m?? j=1 m? k=1 an,kbk,j)xj L"applicationf◦ga donc pour matrice la matrice ànlignes etm ?colonnes dont le coefficient sur la ligneiet la colonnejest égal à?m k=1ai,kbk,j, ce qui correspond bien à notre définition du produit de matrices.

Avec ces conventions, sixest l"élément deK

mde coordonnéesx1,...,xm, et?:Km→Kna pour matriceA, et qu"on considère le vecteur colonneX=( (x 1. x m ), la matrice colonneAX=( m? k=1 a1,kxk m? k=1 an,kxk )peut être vue comme

écrivanten colonnel"imagef(x). Toujours en écrivant les vecteurs en colonnes, on voit donc que résoudre un

système revient à résoudre une équation de la formeAX=B, d"inconnueX, oùBetXsont deux vecteurs

colonnes (Xa le même nombre de lignes que d"inconnues du systèmes, tandis que le nombre de lignes deBest

le nombre d"équations du système).

Par exemple, calculons le produit

2 3-1?(

(4 -2 3) )=?8-6-3?= (-1) ; 2 ou encore?0-1 0 5?? 2-3 0 0? =?0 00 0? alors que ?2-3 0 0?? 0-1 0 5? =?0-17 0 0?

Le dernier exemple ci-dessus nous montre deux phénomènes inhabituels : on peut avoirAB= 0(la matrice

nulle) alors queA?= 0etB?= 0; et on peut avoirAB?=BA. On a tout de même l"associativité du produit de

matrices. Exercice 1.5.Montrer que siA,B,Csont trois matrices telles queABetBCsont définis, alorsA(BC)et (AB)Csont bien définis etA(BC) = (AB)C. Autrement dit, le produit matriciel est associatif. On retrouve la règle habituelle de distributivité : pour toutes matricesA?M n,m(K)etB,C?Mm,p(K)on aA(B+C) =AB+AC. Définition 1.6.Soitn,mdeux entiers. Lamatrice nulle0 n,m?Mn,m(K)est la matrice dont tous les coefficients valent0. Quand il n"y a pas de risque de confusion, on la note simplement0.

Notons que pour toutA?M

n,m(K)on a0+A=A+0 =A; et siB?Mm,p(K)alors0n,mBest bien défini et0 n,mB= 0.

Définition 1.7.Soitn?N

?. La matrice identitéInest l"élément deMn(K)dont le coefficient sur lai-ième ligne et laj-ième colonne vaut0sii?=j, et1sii=j. En notantδ i,j= 1sii=j,0sii?=j, le coefficient(i,j) deI nest doncδi,j.

Proposition 1.8.Pour toute matriceA?M

n(K)on aInA=AIn=A.

Démonstration.Par définition,AI

nest l"élément deMn(K)dont le coefficient sur la ligneiet la colonnejvaut n? k=1 ai,kδk,j=ai,jδj,j=ai,j.

Donc on a comme attenduAI

n=A. De mêmeInAa pour coefficient(i,j) n? k=1

δi,kak,j=δi,iai,j=ai,j.

En général, on ne peut pas multiplier une matriceApar elle-même : le seul cas où c"est possible est celui où

Aa autant de lignes que de colonnes, c"est-à-dire le cas oùAest une matrice carrée.

Définition 1.9.Soitn?N

?etA?Mn(K). LespuissancesdeAsont les matricesAi?Mn(K)définies par récurrence par A

0=In;?i?NAi+1=A·Ai.

On vérifie facilement (par exemple, par récurrence surj) que pour touti,j?Non aA i+j=AiAj.

Définition 1.10.Soitn?N

?etA?Mn(K). On dit queAestinversibles"il existeB?Mn(K)telle que

AB=BA=I

n. On dit alors queBest l"inversedeAet on noteB=A-1.

Seule une matrice carrée peut être inversible; notons que l"inverse, s"il existe, est unique : siAB=BA=I

n etAC=CA=Inalors on a d"une partC(AB) =CIn=CetC(AB) = (CA)B=InB=B, d"oùB=C.

On verra un peu plus bas que, quandA,B?M

n(K), avoirAB=Inentraîne nécessairement queBA=In; mais pour l"instant on n"a pas les moyens de prouver cela.

Proposition 1.11.1. SiAest inversible alorsA

-1est inversible et(A-1)-1=A.

2. SiA,B?M

n(K)sont inversibles alorsABest inversible et(AB)-1=B-1A-1. 3

3. SiAest inversible alors pour toutm?NAmest inversible et(Am)-1= (A-1)m; on note simplement

cette matriceA -m. Démonstration.Le premier point est immédiat : on aA -1A=AA-1=In, ce qui montre à la fois queA-1est inversible et que son inverse estA. Le deuxième point découle de l"associativité du produit de matrices : (AB)(B -1A-1) =A(BB-1)A-1=AA-1=In; (B-1A-1)(AB) =B-1(A-1A)B=B-1B=In.

Le troisième point est aussi une conséquence de l"associativité et se montre par exemple par récurrence : le

résultat est clair pourm= 0,1. S"il est vrai au rangmalors on a A m+1(A-1)m+1=A(Am(A-1)m)A-1=AA-1=In.

1.3 Matrices élémentaires et opérations élémentaires sur les lignes et

les colonnes

Une méthode pour résoudre les systèmes est de faire des opérations sur les lignes pour se ramener à un

système plus simple. Ces opérations sont de la forme : multiplier une ligneL iparλLi, oùλest un scalaire non nul; remplacer la ligneL ipar la ligneLi+λLj, oùj?=ietλest un scalaire; et permuter les lignesLietLj.

Ces trois opérations sont appeléesopérations élémentaires sur les ligneset peuvent être interprétées en terme

de produit matriciel.

Définition 1.12.Soitn?N

1. Pouri? {1,...,n}etλ?K

?, la matriceEi(λ)est obtenue en multipliant parλlai-ième ligne deIn(et en ne touchant pas aux autres lignes). Par exemple (pourn= 5) E

3(12) =(

(1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 12 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1)

2. Pouri,j? {1,...,n}, la matriceE

i,jest obtenue en échangeant lai-ème et laj-ième ligne deIn. Par exemple (toujours pourn= 5) : E

2,4=E4,2=(

(1 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 1 0 0 00 0 0 0 1)

3. Enfin, pouri,j? {1,...,n}etλ?K, la matriceE

i,j(λ)est la matrice obtenue en ajoutantλfois la j-ième ligne deI nà sai-ième ligne. Par exemple (sempiternellement pourn= 5) : E

2,1(3) =(

(1 0 0 0 03 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1) Remarquons que les matrices élémentaires sont celles qu"on obtient en appliquant àI nune opération élémen-

taire sur les lignes; on pourrait aussi définir les opérations élémentaires sur les colonnes, et on vérifie facilement

que les matrices élémentaires sont également celles qui sont obtenues en appliquant àI nune opération élémen- taire sur les colonnes.

Le lien entre matrices élémentaires et opérations élémentaires est le suivant : multiplierAà gauchepar

une matrice élémentaire revient à appliquer àAla même opération élémentaire qui a servi à définir la matrice

élémentaire en question. Plus précisément : 4 Proposition 1.13.Soitn,mdeux entiers, etA?Mn,m(K). Alors :

1. Pouri? {1,...,n}etλ?K

?, la matriceEi(λ)Aestla matrice obtenue en appliquant àAl"opération Lquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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