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- Automatique -

Mod´elisation par fonction de transfert et

Analyse des syst`emes lin´eaires continus

invariants

M1/UE ICCP/CSy (1`ere partie)

Jean-Jos´e ORTEU

2019-2020

2Avant-propos

Avant-propos

Le cours d"automatique situ´e en M1 a ´et´e structur´e en 2 modules : - Mod´elisation, Analyse et Commande des Syst`emes Lin´eaires Continus (avec TP) - Projet de commande/simulation sous MATLAB (*) Les modules marqu´es d"une (*) sont des modules au choix. Le pr´esent support de cours concerne la 1`ere partie du cours"Mod´elisation, Analyse et Commande des Syst`emes Lin´eaires Continus». Il est incomplet mais il a sembl´e `a l"auteur qu"il avait n´eammoins le m´erite d"exister... Les ´etudiants sont vivement encourag´es `a ´emettre toutes les critiques qu"ils jugeront n´ecessaires pour en am´eliorer le contenu tant sur le plan de la forme que du fond. Enfin, ce support de cours ne dispense ni de la pr´esence en courset TD, ni de la lecture des ouvrages de base dont la liste (non exhaustive) est fournie dans l"annexe bibliographique.

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imprim´ee le 15 juillet 2019Jean-Jos´e ORTEU

Table des mati`eresI Notions g´en´erales7

1 Introduction8

1.1 Objet de l"automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Classification des syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Syst`emes continus ou syst`emes discrets . . . . . . . . . . . . . .8

1.2.2 Syst`emes lin´eaires ou non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Syst`emes variants ou invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Finalit´e d"un syst`eme de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Outils Math´ematiques10

2.1 Rappels sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2 Propri´et´es des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3 Repr´esentation d"un nombre complexe dans le plan r´eel . . . . .11

2.1.4 Repr´esentation trigonom´etrique d"un nombre complexe . . . .. 11

2.1.5 Repr´esentation exponentielle d"un nombre complexe . . . . . . . 12

2.2 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3

4Table des mati`eres

2.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3 Transform´ee de Laplace de signaux usuels . . . . . . . . . . . . 16

2.2.4 Table des transform´ees de Laplace usuelles . . . . . . . . . . . . 19

2.2.5 Inversion de la transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 21

II Repr´esentation des syst`emes par fonction de transfert22

3 Fonction de transfert d"un syst`eme lin´eaire stationnaire 23

3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Exemple ´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2 Exemple m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.3 Exemple thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.4 Exemple hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Utilisation de variables d"´ecart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Interpr´etation physique de la fonction de transfert . . . . . . .. . . . . 29

3.5 Classe et gain d"un syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Structure et stabilit´e de la r´eponse d"un syst`eme . . . . . . . . .. . . . 30

3.6.1 Etude de

A p-a,a?R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6.2 Etude de

Ap+B (p-a)2+b2,a?Retb?R. . . . . . . . . . . . 31

3.6.3 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.6.4 R`egle de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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Table des mati`eres5

3.7 M´ethodes d"analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et

analyse fr´equentielle des syt`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . .. 35

3.7.1 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.7.2 Analyse fr´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Syst`eme du 1er ordre37

4.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Echelon de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.3 Exercice : Cr´eneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.4 Echelon de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.5 Signal sinuso

¨ıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Analyse fr´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.1 Plan de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.2 Plan de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.3 Plan de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Influence d"une variation deτ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4.1 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4.2 Analyse fr´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5 Relation entretr5%etBP(-3dB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5.1 Exemple 1 : oscilloscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5.2 Exemple 2 : table tra¸cante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Syst`eme du second ordre58

5.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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imprim´ee le 15 juillet 2019IMT Mines Albi

6Table des mati`eres

5.2 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2.1 Echelon de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2.2 Echelon de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.3 Signal sinuso

¨ıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Analyse fr´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.1 Lieu de transfert dans le plan de Bode . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3.2 Le coefficient de surtension Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Comparaison d"un syst`eme du 1er ordre et du second ordre . . .. . . . 72

6 Autres syst`emes73

6.1 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.1 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.2 Analyse fr´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Syst`emes d"ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.4 Syst`emes avec z´ero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Stabilit´e79

7.1 Crit`ere de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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Premi`ere partie

Notions g´en´erales

7

Chapitre 1Introduction1.1 Objet de l"automatiqueL"automatique a pour objet l"´etude des m´ethodes permettant d"assurer, dans des condi-

tions donn´ees, la commande d"un syst`eme quelconque. Le terme"commande»d´esigne toute action exerc´ee sur un syst`eme pour influencer son ´evolution dynamique.

1.2 Classification des syst`emes

1.2.1 Syst`emes continus ou syst`emes discrets

Dans un syst`eme continu, les grandeurs caract´erisant ce syst`eme sont pr´esentes `a tout instant. Dans un syst`eme discret une grandeur au moins n"est connue que pour certaines va- leurs du temps (instants d"´echantillonnage). On rencontre cette derni`ere classe de syst`emes d`es que l"on ins`ere un calculateur nu- m´erique dans une boucle.

1.2.2 Syst`emes lin´eaires ou non lin´eaires

Dans un syst`eme lin´eaire, on peut appliquer le principe de superposition.

Sie1(t)-→s1(t)

ete2(t)-→s2(t) alorse1(t) +e2(t)-→s1(t) +s2(t) 8

1.3. Finalit´e d"un syst`eme de commande9

Les syst`emes d´ecrits par des ´equations diff´erentielles lin´eaires homog`enes et `a coeffi-

cients constants sont lin´eaires.

1.2.3 Syst`emes variants ou invariants

Un syst`eme variant est tel que l"´equation diff´erentielle qui le d´ecrit a des coefficients

fonction du temps alors que les coefficients sont constants pour unsyst`eme invariant.

1.3 Finalit´e d"un syst`eme de commande

Commander un syst`eme consiste `a choisir un syst`eme de commande qui exerce une loi de commande afin que la sortie ´evolue pour r´epondre `a un certainbut. Ce signal de commandeu(t) sera fourni `a partir de la loi de commande en fonction du but poursuivi. ?ButpoursuiviSyst`eme de commande?signal de commande u(t)SYST`EME?sortie

Figure1.1

1.3.1 Exemple

(voir cours)

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Chapitre 2Outils Math´ematiques2.1 Rappels sur les nombres complexes2.1.1 D´efinitionC: corps des nombres complexes.

z?C z= (a,b) =a+j b jest le nombre complexe (0,1) tel quej2=-1

On appelle :

-alapartie r´eelledeznot´eeRe(z). -blapartie imaginairedeznot´eeIm(z).

On rappelle queCest muni :

-d"une loi additive: z

1+z2=z3

(a1,b1) + (a2,b2) = (a1+a2,b1+b2) -d"une loi multiplicative: z

1.z2=z3

(a1,b1).(a2,b2) = (a1a2-b1b2,a1b2+a2b1) 10

2.1. Rappels sur les nombres complexes11

2.1.2 Propri´et´es des nombres complexes

-conjugu´e dez: ˜z z=a+j b-→˜z=a-j b -module dez:

A=|z|=⎷

z˜z=⎷a2+b2 -argument dez: ?=Arg(z) d´efini modulo 2π si A?= 0 sin?=b

Acos?=aAtan?=ba

(2 des 3 relations pr´ec´edentes suffisent `a d´efinir?sans ambigu¨ıt´e) -module et argument du produit de 2 nombres complexeszetz?: |z z?|=|z| |z?|

Arg(z z?) =Arg(z) +Arg(z?)

-module et argument du quotient de 2 nombres complexeszetz?: ?z z????? =|z||z?| Arg ?z z?? =Arg(z)-Arg(z?)

2.1.3 Repr´esentation d"un nombre complexe dans le plan r´eel

La repr´esentation d"un nombre complexe (et du nombre complexe conjugu´e) dans le plan r´eel est donn´ee sur la Figure 2.1.

Plan complexe = Plan de Nyquist (en automatique)

2.1.4 Repr´esentation trigonom´etrique d"un nombre complexe

z=a+j b=Acos?+j Asin? =A(cos?+jsin?)

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122.2. Transformation de Laplace

0?Re(z)

?Im(z) ?????Md"affixez M ?d"affixe ˜za b -b?

Figure2.1

2.1.5 Repr´esentation exponentielle d"un nombre complexe

cos?= 1-?2

2!+?44!-?66!+···

sin?=?-?3

3!+?55!-?77!+···

cos?+j sin?= 1 +j ?-?2

2!-j?33!+?44!+j?55!+···

= 1 +j ?+(j ?)2

2!+(j ?)33!+(j ?)44!+···

=ej? z=a+j b=A ej ?

2.2 Transformation de Laplace

2.2.1 D´efinition

Soitfune fonction r´eelle de la variablet.

t? Rf-→f(t)

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2.2. Transformation de Laplace13

fcroit moins vite qu"une exponentielle quandt→ ∞? lim t→+∞f(t)e-pt= 0? On appelle transformation de Laplace (monolat`ere) l"application telleque : f(t)L-→ L[f(t)] =F(p) =?

0f(t)e-ptdt p? C

La fonctionF, de la variable complexep1, est appel´ee transform´ee de Laplace def. Remarque: Cette int´egrale converge siRe(p)> σappel´erayon de convergence.

Exemple

Consid´erons le signal suivant, appel´e ´echelon de Heaviside (ou ´echelon de position unit´e) et calculons sa transform´ee de Laplace. 0 ?t ?1´echelon unit´e

Figure2.2

f(t) = 1 pourt?[0,+∞[

F(p) =?

0e-ptdt=?

-1 pe-pt? 0 =1p

Remarque:

Nous verrons plus loin que dans le cas de signaux"simples», le calcul de la transform´ee

de Laplace peut ˆetre effectu´e sans recourir au calcul int´egral,`a la condition de connaˆıtre

la transform´ee de Laplace de quelques signaux de base.

1. les anglophones d´esignent parsla variable de Laplace.

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142.2. Transformation de Laplace

2.2.2 Propri´et´es

-Lest lin´eaire :

L[a f1+b f2] =aL[f1] +bL[f2] =a F1+b F2

- Calcul deL?df dt? Consid´erons une fonctionfcontinue et d´erivable pourt≥0 (elle admet une limite `a droite quandt→0+)

Posons :

F(p) =L[f(t)]

L ?df(t) dt?

0df(t)dte-ptdt

En int´egrant par partie :

v=e-ptdu=df(t) dtdt dv=-p e-ptdt u=f L ?df dt? = [f(t)e-pt]+∞0+p?

0f(t)e-ptdt

= lim t→+∞f(t)e-pt =0-limt→0f(t)e-pt+p F(p) L ?df dt? =p F(p)-f(0) En tant que fonctionf(0) = limt→0+f(t) =f(0+).

Attention

Dans le cas d"un signal que l"on ne peut plus consid´erer comme une fonction (Cf. th´eorie des distributions), on montre, et nous l"admettrons, que pour prendre en compte une ´eventuelle discontinuit´e ent= 0la formule pr´ec´edente devient : L ?df dt? =p F(p)-f(0-)

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2.2. Transformation de Laplace15

- Calcul deL? ?t

0f(ξ)dξ?

Posonsg(t) =?

t

0f(ξ)dξ

L[g(t)] =?

0g(t)e-ptdt

Int´egrons par partie :

v=g(t)du=e-ptdt dv=f(t)dt u=-1 pe-pt L ?t

0f(ξ)dξ?

-1 pe-ptg(t)? 0

0-1pe-ptf(t)dt

-1 pe-pt?t

0f(ξ)dξ?

0 =0-

0-1pe-ptf(t)dt

1 p?

0e-ptf(t)dt

L ?t

0f(ξ)dξ?

=F(p) p - Th´eor`eme du retard

On suppose quef(t) = 0 pourt <0.

Consid´erons un retard deτ(τ >0) appliqu´e au signalf(t). t0τf(t-τ)f(t)

Figure2.3

L[f(t-τ)u(t-τ)] =?

0f(t-τ)e-ptdt

On fait le changement de variable :t?=t-τ

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162.2. Transformation de Laplace

L[f(t-τ)u(t-τ)] =?

-τf(t?)e-p(t?+τ)dt? =e-pτ?0 -τe-pt?f(t?)dt? =0+e-pτ?+∞

0f(t?)e-pt?dt?

=e-pτF(p)

L[f(t-τ)u(t-τ)] =e-pτL[f(t)u(t)]

- Th´eor`eme de la valeur initiale f(0+) = limp→+∞p F(p)?F(p) - Th´eor`eme de la valeur finale f(+∞) = limp→0p F(p) valable que sip F(p) a tous ses pˆoles `a partie r´eelle strictement n´egative.

2.2.3 Transform´ee de Laplace de signaux usuels

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